摘" "要：由于高中生對(duì)近似運(yùn)算相關(guān)知識(shí)的缺失和混沌現(xiàn)象的存在，使其對(duì)高中物理教科書中的近似運(yùn)算過程產(chǎn)生困惑。給出了結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識(shí)先推導(dǎo)精確結(jié)果再進(jìn)行近似運(yùn)算的解決策略，建議教科書編寫與教學(xué)設(shè)計(jì)要切合學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與認(rèn)知能力。

關(guān)鍵詞：高中物理；近似運(yùn)算；雙縫干涉；條紋間距公式

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " " 文章編號(hào)：1003-6148（2025）1-0072-3

1" " 高中物理近似運(yùn)算中的困惑

現(xiàn)行人教版高中物理教科書中有不少問題涉及近似運(yùn)算，但近似運(yùn)算只停留在告訴學(xué)生可以那樣運(yùn)算，卻沒有很好地提供可以那樣運(yùn)算的理由，這就形成了典型的灌輸式教學(xué)。學(xué)生憑借死記硬背來掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，無疑在增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的同時(shí)也使學(xué)生失去了學(xué)習(xí)的興趣。加上高中物理教師對(duì)近似運(yùn)算知識(shí)的缺乏，不能給學(xué)生足夠的指導(dǎo)，近似運(yùn)算在學(xué)生心中變得神秘莫測(cè)，產(chǎn)生了諸如“反正書上是這樣寫的，這樣寫就是對(duì)的”等主動(dòng)放棄批判性思維的認(rèn)識(shí)，“小了就都近似相等了（比如當(dāng)θ角很小時(shí)，有θ=sinθ=tanθ）”等錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。此外，很多學(xué)生都了解作為一種混沌現(xiàn)象的蝴蝶效應(yīng)——一只南美洲的蝴蝶扇動(dòng)翅膀，結(jié)果可能引發(fā)美國(guó)德克薩斯州的一場(chǎng)龍卷風(fēng)。20世紀(jì)60年代初，美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲將僅僅相差0.0001的兩個(gè)初始條件輸入一個(gè)數(shù)學(xué)方程，計(jì)算得出的兩條曲線不久就分道揚(yáng)鑣、南轅北轍，真是“差之毫厘，謬以千里”［1］。這就進(jìn)一步加劇了近似運(yùn)算對(duì)學(xué)生的神秘感。因?yàn)楦咧形锢斫炭茣系慕七\(yùn)算從一開始便采用近似處理，這些近似處理會(huì)不會(huì)像洛倫茲所面對(duì)的問題一樣在計(jì)算的過程中產(chǎn)生“混沌現(xiàn)象”使結(jié)果嚴(yán)重偏離真實(shí)值呢？學(xué)生對(duì)此毫不知情。綜上，有兩個(gè)原因使學(xué)生在學(xué)習(xí)近似運(yùn)算相關(guān)的問題時(shí)遇到巨大的困難，以至于產(chǎn)生不良的學(xué)習(xí)效果，挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，阻礙核心素養(yǎng)的發(fā)展：

（1）近似運(yùn)算相關(guān)知識(shí)的缺失；

（2）混沌現(xiàn)象的存在（微小的初值差別，使結(jié)果差異巨大）。

下面以雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)為例，進(jìn)行具體說明。人教版高中物理教科書中的推導(dǎo)如下：如圖1所示，在線段P1S2上作P1M=P1S1，由于兩縫之間的距離d遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縫到屏幕的距離l，所以能夠認(rèn)為三角形S1S2M是直角三角形。根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，有r2-r1=dsinθ，另一方面x=ltanθ≈lsinθ，消去sinθ，有r2-r1=d。當(dāng)r2-r1=nλ時(shí)，出現(xiàn)亮條紋，因此亮紋中心的位置為x=nλ。相鄰兩條亮條紋或暗條紋的中心間距是Δx=λ。

教科書中的證明初看并不復(fù)雜，但高中生卻不容易理解。一是為什么在θ很小的情況下，用弧度制表示的θ與sinθ、tanθ近似相等；二是為什么兩縫之間的距離d遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縫到屏幕的距離l，就可以認(rèn)為三角形S1S2M是直角三角形［2］；三是開始運(yùn)算時(shí)物理量的近似會(huì)不會(huì)導(dǎo)致最后結(jié)果偏差較大。很明顯，前兩點(diǎn)是由于近似運(yùn)算知識(shí)的缺失而帶來的疑惑，第三點(diǎn)是由于混沌現(xiàn)象而帶來的疑惑。但是，近似運(yùn)算知識(shí)需要運(yùn)用高等數(shù)學(xué)進(jìn)行解釋，高中生不具備這個(gè)知識(shí)基礎(chǔ)，因而無法理解近似運(yùn)算知識(shí)，對(duì)混沌現(xiàn)象也只是了解其大概。至于在推導(dǎo)中會(huì)不會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生大幅度的影響，學(xué)生也無從得知?？梢姡炭茣泄降耐茖?dǎo)方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了學(xué)生的認(rèn)知，高中階段的學(xué)生不能把握，更不能很好地理解和運(yùn)用，需要探求新的方法。

2" " 高中物理近似運(yùn)算的解決策略

為了解決學(xué)生近似運(yùn)算知識(shí)不足的問題，可以使用高中數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)。為了避免混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)，可以先進(jìn)行精確的推導(dǎo)，最后再進(jìn)行近似（如果有必要的話），避免在推導(dǎo)開始的時(shí)候就進(jìn)行近似?？傊?，選擇的推導(dǎo)方式應(yīng)該符合學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知能力，使學(xué)生真正理解推導(dǎo)的過程，做到舉一反三、靈活運(yùn)用，進(jìn)而提升分析問題和解決問題的能力，最終實(shí)現(xiàn)物理學(xué)科核心素養(yǎng)的提升。

為了推導(dǎo)雙縫干涉條紋間距公式，可以在圖1中建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的原點(diǎn)置于圖中的O點(diǎn)，x軸與S1S2重合，y軸與OP0重合（圖中未畫出）。容易得到，兩縫S1、S2距離之差等于nλ的點(diǎn)的軌跡是一對(duì)雙曲線。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是-=1。相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)方程中的a，相當(dāng)于半焦距c，標(biāo)準(zhǔn)方程中的b2=c2-a2=（）2-（）2，代入雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得

上式是精確的x的表達(dá)式，但比較復(fù)雜，物理學(xué)中常用抓住主要因素、忽略次要因素的方法對(duì)復(fù)雜的結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)化，在不失科學(xué)性的同時(shí)得到簡(jiǎn)單的物理規(guī)律。通過分析精確表達(dá)式中各個(gè)物理量的數(shù)量級(jí)，可以有效把握近似計(jì)算過程中產(chǎn)生的誤差是否為次要的、可忽略的。學(xué)生也可以在這個(gè)過程中明確何謂“次要”，何謂“主要”，哪些可以忽略，哪些不可以忽略。這樣做可以增加學(xué)生對(duì)具體數(shù)字的敏感度，在數(shù)字的意義上明確“抓住主要，忽略次要”的意義，從根本上提升學(xué)生的認(rèn)知。

d的數(shù)量級(jí)為10-4 m，λ的數(shù)量級(jí)為10-7 m，故d2-n2λ2≈d2，x的表達(dá)式簡(jiǎn)化為

x=nλ

上式中l(wèi)的數(shù)量級(jí)為100 m，d的數(shù)量級(jí)為 10-4 m。故≈104，+≈，x的表達(dá)式簡(jiǎn)化為

x=nλ=nλ

當(dāng)上式中的n分別取0、1、2、3時(shí)，代表x處到雙縫的距離之差從0到λ、2λ、3λ…不同的x值構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，公差為λ，這說明：

（1）條紋是等間距的；

（2）相鄰兩明或暗條紋的間距為λ。

至此，找到了條紋間距公式Δx=λ。雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中亮條紋或暗條紋等間距的事實(shí)是對(duì)該公式正確性的一種肯定。

3" " 啟" 示

利用高中數(shù)學(xué)，先將精確公式推導(dǎo)出來，再對(duì)結(jié)果進(jìn)行近似的方法，避免了近似運(yùn)算相關(guān)知識(shí)的缺失和混沌現(xiàn)象的存在而給學(xué)生帶來的困惑。高中物理教科書中除條紋間距公式推導(dǎo)外，還有單擺周期公式的推導(dǎo)、回旋加速器中運(yùn)動(dòng)時(shí)間計(jì)算等諸多需要進(jìn)行近似計(jì)算的問題。雖然本文僅討論了雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)，但其原則與方法可以用到其他情境中去。

以學(xué)生為中心，并不簡(jiǎn)單地只是讓學(xué)生學(xué)、讓學(xué)生交流、讓學(xué)生展示，還應(yīng)該在教科書編寫和教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中考慮學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)識(shí)能力。人教版高中物理教科書關(guān)于雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)采用了看似簡(jiǎn)單、實(shí)則是以復(fù)雜的數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)、以學(xué)生未知的混沌現(xiàn)象為未知風(fēng)險(xiǎn)的推導(dǎo)方式，顯然未充分考慮學(xué)生的基礎(chǔ)和認(rèn)知能力。教科書中的這種推導(dǎo)方式超出了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生跳幾跳也夠不著，最后在教科書的權(quán)威下產(chǎn)生困惑和無奈的情感，進(jìn)而失去批判的信心，喪失奮斗的精神，最終形成習(xí)得性無助，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)造成損害的同時(shí)，也損害了學(xué)生的身心健康。人的發(fā)展既有連續(xù)性，又有階段性［3］?？畿S了學(xué)生的認(rèn)識(shí)階段，超出了學(xué)生認(rèn)知范疇的教科書編寫和教學(xué)設(shè)計(jì)，不但收不到好的效果，還會(huì)帶來不利的影響。

教科書編寫與教學(xué)設(shè)計(jì)也不能明顯低于學(xué)生的基礎(chǔ)與認(rèn)知。同時(shí)，教師在教學(xué)中要努力提高自己對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)，了解學(xué)生的基礎(chǔ)，尤其是學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)?，F(xiàn)階段，由于各種原因，高中物理解決問題時(shí)幾乎局限和僵化在了用方程解決物理問題這一條思路上，高中數(shù)學(xué)中的向量、函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)和方法并沒有得到廣泛的應(yīng)用。如果是高中物理問題都用初中數(shù)學(xué)知識(shí)解答，而初中物理都用小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解答，就不利于數(shù)學(xué)與物理兩個(gè)學(xué)科的融合，也不利于學(xué)生綜合素質(zhì)的提高，更不利于拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理必修1［M］.北京：人民教育出版社，2006：5.

［2］江立坤，陳紫鵬.雙縫干涉中相鄰亮條紋間距公式的巧證［J］.湖南中學(xué)物理，2012，27（10）：45，26.

［3］劉獻(xiàn)君.論“以學(xué)生為中心”［J］.高等教育研究，2012，33（8）：1-6.

（欄目編輯" " 蔣小平）