一道曲直交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題引發(fā)的深度探究
2024-12-31 00:00:00渠懷蓮
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2024年7期
題目 已知agt;0且a≠1，函數(shù)f（x）=xaax（xgt;0）．若曲線y=fx與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，由于原函數(shù)f（x）比較復(fù)雜，取對數(shù)運(yùn)算重構(gòu)函數(shù)分成g（x）=lnx與p（x）=xlnaa兩個(gè)函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點(diǎn)的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論，數(shù)形結(jié)合依據(jù)曲線凹凸性與直線很直觀地得出答案．
結(jié)語：根據(jù)函數(shù)凹凸性，我們可以斷定凹凸性相反時(shí)易于確定兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，凹凸性一致時(shí)就很難通過圖象判定其個(gè)數(shù)， 有必要借助多媒體軟件工具，幾何畫板或GGB等繪圖，啟發(fā)思路，輔助解決問題，然后通過嚴(yán)格的代數(shù)推理論證，達(dá)到完美解決問題的有效路徑.
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