摘要：整體思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，以“集成”的眼光，將某些代數(shù)式、圖形視為整體，以此把握已知和所求問題的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而從整體的視角處理問題.本文立足整體思想，基于整體思想的不同表現(xiàn)形式，對其在解題中的具體應(yīng)用展開探究，旨在強(qiáng)化學(xué)生整體思想意識，提升解題能力.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；整體思想；核心素養(yǎng)；解題教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)解題中，常常會遇到一些特殊的問題，從局部入手，很難各個(gè)突破；如果能夠從宏觀的角度出發(fā)，運(yùn)用整體思想分析問題，則可脫離傳統(tǒng)固化解題思維的束縛，出奇制勝，簡便解答問題.同時(shí)，整體思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在應(yīng)用其分析問題、解決問題時(shí)，還可以增強(qiáng)學(xué)生思維靈活性、敏捷性，為學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).筆者在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中占據(jù)主要地位，不僅貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)解題中，而且其表現(xiàn)形式多種多樣，如整體代入、整體設(shè)元、整體變形、整體補(bǔ)形、整體配湊、整體構(gòu)造等.因此，面對新課程下數(shù)學(xué)解題要求，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)立足整體思想的內(nèi)涵，充分挖掘其在解題中的應(yīng)用，促使學(xué)生在整體思想的引領(lǐng)下，提升分析問題和解決問題的能力，并促進(jìn)數(shù)學(xué)思維水平的發(fā)展.［1］

1整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

整體思想是一種實(shí)用型的思想方法，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中占據(jù)十分重要的地位，貫穿初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程，也是中考命題的重點(diǎn).具體來說，整體思想就是運(yùn)用集成的眼光看待、分析研究對象中的一個(gè)部分或全部，將其視為一個(gè)整體，充分把握條件和問題之間的聯(lián)系，進(jìn)而在整體、全局的視角下分析和處理問題.

1.1整體代入

整體代入是整體思想的主要形式之一.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，結(jié)合題目中給出的條件和所求的結(jié)論，將某個(gè)代數(shù)式視為整體，進(jìn)而對所求問題展開變形、化簡，最終完成數(shù)學(xué)題目的高效解答.

例題已知1x＋2y=5，求代數(shù)式2x＋xy＋y8x-3xy＋4y的值.

分析：在解答本題時(shí)，如果按照傳統(tǒng)的思維，需要先將x、y的值求出來，之后再代入代數(shù)式中求解.但在本題中，這種局部求解方式很難完成.因此，可以運(yùn)用整體思想，引導(dǎo)學(xué)生圍繞已知條件進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為2x＋y=5xy，所求代數(shù)式中也含有2x＋y、5xy的代數(shù)式.如此，即可采用整體代入的方式進(jìn)行求解.

解析：因?yàn)?x＋2y=5，所以2x＋y=5xy.

代數(shù)式2x＋xy＋y8x-3xy＋4y=2x＋y＋xy4（2x＋y）-3xy=5xy＋xy4×5xy-3xy=6xy17xy=617.

1.2整體設(shè)元

整體設(shè)元也是整體思想的表現(xiàn)形式之一，主要是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將數(shù)學(xué)表達(dá)式中的一個(gè)部分視為整體，運(yùn)用新的未知數(shù)表示出來，之后再根據(jù)題目中的已知條件求出新元，最終完成題目的解答.在解題實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，通過整體設(shè)元的方式，有效減少了學(xué)生的計(jì)算量，實(shí)現(xiàn)了化繁為簡、化難為易的解題效果.

例題解方程（x2-2x）2-3（x2-2x）-4=0.

分析：在解決這一問題時(shí)，如果按照常規(guī)解題思路，先用完全平方公式將其展開，之后再進(jìn)行計(jì)算，解題過程十分煩瑣，學(xué)生將面臨極大的運(yùn)算量.因此，解題時(shí)可以運(yùn)用整體設(shè)元的方式，對題目的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化，以便于學(xué)生更好地解題.

解析：設(shè)x2-2x=t，則原方程等價(jià)于t2-3t-4=0

，解方程得t1=4，t2=-1.

當(dāng)t1=4時(shí)，x2-2x=4，解方程得x1=1＋5，x2=1-5；

當(dāng)t2=-1時(shí)，x2-2x=-1，解方程得x3=x4=1.

綜上所述，原方程的根為x1=1＋5，x2=1-5，x3=x4=1.

1.3整體變形

整體變形也是整體思想的主要形式之一，主要是在解題的過程中，圍繞題目中某些局部展開變形，使其呈現(xiàn)出規(guī)律性的結(jié)構(gòu)形式，以此簡化學(xué)生的解題過程，并減少運(yùn)算量.

例題已知a=16，求1（a＋1）（a＋2）＋1（a＋2）（a＋3）＋1（a＋3）（a＋4）的值.

分析：在計(jì)算這一問題時(shí)，如果直接將a的值代入所求問題中，需要先進(jìn)行通分，之后再計(jì)算.這一過程相對煩瑣，在計(jì)算過程中極容易出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.因此，可以運(yùn)用整體思想，先進(jìn)行整體變形，再進(jìn)行計(jì)算.

解析：1（a＋1）（a＋2）＋1（a＋2）（a＋3）＋1（a＋3）（a＋4）

=1a＋1-1a＋2＋1a＋2-1a＋3＋1a＋3-1a＋4=1a＋1-1a＋4

=3（a＋1）（a＋4）=317×20=3340.

1.4整體合并

整體合并也是整體思想的常見形式.在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，將代數(shù)式、方程、不等式進(jìn)行合并之后，往往可實(shí)現(xiàn)湊整、消元等目標(biāo).因此，在解決初中數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)立足題目特征，對其進(jìn)行整體合并，進(jìn)而使問題變得更加簡單明了.［2］

例題設(shè)a、b、c為常數(shù)，x、y是任意實(shí)數(shù)，且滿足A=（a-b）x＋（b-c）y＋（c-a），B=（b-c）·x＋（c-a）y＋（a-b），C=（c-a）x＋（a-b）y＋（b-c），求證：A、B、C不都是正數(shù)，也不能都是負(fù)數(shù).

分析：這一問題難度系數(shù)比較高，常規(guī)解題思路中很難找到解題的切入點(diǎn)，并且學(xué)生需要圍繞a、b、c三個(gè)常數(shù)中一正兩負(fù)、一負(fù)兩正進(jìn)行討論.但是在具體解題中，又因?yàn)閤、y是任意實(shí)數(shù)，多數(shù)學(xué)生都面臨著無從下手的問題.鑒于此，即可融入整體思想，借助整體合并的方式進(jìn)行消元，以便于學(xué)生從全新的視角分析問題、解決問題.

解析：因?yàn)锳=（a-b）x＋（b-c）y＋（c-a），B=（b-c）x＋（c-a）y＋（a-b），

C=（c-a）x＋（a-b）y＋（b-c），

所以A＋B＋C=［（a-b）x＋（b-c）y＋（c-a）］＋［（b-c）x＋（c-a）y＋（a-b）］

＋［（c-a）x＋（a-b）y＋（b-c）］=0.

因?yàn)锳＋B＋C=0，所以可用反證法對結(jié)論進(jìn)行證明.

假設(shè)該結(jié)論不成立，則A、B、C同號，如果A、B、C均大于0，則有A＋B＋C＞0，這與題目中已有條件不相符；如果A、B、C均小于0，則A＋B＋C＜0，也與已知條件不相符.因此A、B、C不能均為正數(shù)，也不能均為負(fù)數(shù).

1.5整體補(bǔ)形

整體補(bǔ)形也是整體思想的重要表現(xiàn)形式，是破解幾何問題的重要途徑.整體補(bǔ)形解題的關(guān)鍵在于將原本不規(guī)則、非特殊的圖形進(jìn)行補(bǔ)充，最終成為規(guī)則或特殊的圖形.如此，真正實(shí)現(xiàn)了化隱為顯，以便于學(xué)生在整體補(bǔ)形中，迅速找到解題的切入點(diǎn)，最終完成數(shù)學(xué)問題的輕松解答.

例題如圖1所示，六邊形ABCDEF六個(gè)內(nèi)角都相等，如果AB=1，BC=CD=3，DE=2，求六邊形ABCDEF的周長.

分析：在本題目中，六邊形ABCDEF并非是一個(gè)規(guī)則的六邊形，但該六邊形的內(nèi)角都相等，均為120°.因此，在解答這一問題時(shí)，即可通過整體思想，采用整體補(bǔ)形的方式，借助向外作延長線的方式，最終得到一個(gè)等邊三角形，進(jìn)而完成題目的解答.

如圖2所示，分別作AB、CD、EF的延長線以及反向延長線，相交于點(diǎn)G、H、P.

因?yàn)榱呅蜛BCDEF六個(gè)內(nèi)角均為120°，

所以六邊形ABCDEF每一個(gè)外角均為60°，

所以△AHF、△BGC、△DPE、△GHP均為等邊三角形.

因?yàn)锽C=3，DE=2，

所以GC=BC=3，DP=DE=2，

所以GH=GP=GC＋CD＋DP=3＋3＋2=8，

FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，

EF=PH-HF-EP=8-4-2=2，

則六邊形ABCDEF的周長為1＋3＋3＋2＋4＋2=15.

1.6整體配湊

整體配湊也是整體思想的主要表現(xiàn)形式之一.整體配湊立足題目中已知條件、所求結(jié)論，對其進(jìn)行適當(dāng)?shù)嘏錅愔?，形成特殊化、公式化的題目結(jié)構(gòu)，最終結(jié)合相關(guān)的形式進(jìn)行求解.

例題如果a＋2b＋3c=12，且a2＋b2＋c2=ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c2的值.

分析：按照常規(guī)的解題思路，學(xué)生需要先將a、b、c的值求出來，再代入代數(shù)式求值，但是在這種解題思路中，已知條件無法滿足解題要求.因此，可以運(yùn)用整體思想，借助整體配湊的方式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，精準(zhǔn)找出a、b、c的關(guān)系，最終結(jié)合已知條件進(jìn)行解答.

解析：因?yàn)閍2＋b2＋c2=ab＋bc＋ca，所以2a2＋2b2＋2c2=2ab＋2bc＋2ca，

則（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2=0，即a=b=c.

將a=b=c代入a＋2b＋3c=12中，

得a=b=c=2，所以a＋b2＋c2=10.

1.7整體構(gòu)造

整體構(gòu)造立足代數(shù)和幾何的內(nèi)在聯(lián)系，將代數(shù)式賦予幾何意義，并由此構(gòu)造出幾何圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.

例題已知0＜x＜12，求x2＋4＋（12-x）2＋9的最小值.

分析：在解決這一問題時(shí)，如果單純地從代數(shù)角度上進(jìn)行思考，會陷入解題困境中.此時(shí)，可以立足代數(shù)和幾何的內(nèi)在聯(lián)系，采用數(shù)形結(jié)合思想，作出相應(yīng)的圖形，將其轉(zhuǎn)化為幾何問題，最終完成解答.

解析：如圖3所示，設(shè)AC=x，則x2＋4＋（12-x）2＋9的最小值即為CD＋CE的最小值.

結(jié)合幾何知識得知，當(dāng)D、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，x2＋4＋（12-x）2＋9存在最小值，且最小值為DE，DE=122＋（2＋3）2=13.

2基于整體思想解題的教學(xué)啟示

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，科學(xué)運(yùn)用整體思想，可促使學(xué)生在整體代入、整體設(shè)元、整體變形、整體合并、整體構(gòu)造、整體配湊、整體補(bǔ)形的過程中，將原本煩瑣的問題簡單化，使得學(xué)生另辟蹊徑完成題目的解答.［3］如此，不僅優(yōu)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題過程，也顯著提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.整體思想作為一種數(shù)學(xué)思想，將其融入數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展，為學(xué)生學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也落實(shí)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的教學(xué)目標(biāo).因此，初中數(shù)學(xué)教師不僅要樹立整體解題思想，并遵循以下原則，將其科學(xué)、合理地融入課堂教學(xué)中.

2.1整體思想培養(yǎng)原則

（1）滲透性.整體思想運(yùn)用能力的培養(yǎng)和其他數(shù)學(xué)思想一樣，并非一蹴而就，而是一項(xiàng)長期的工程，需要經(jīng)過長期的訓(xùn)練方可完成.因此，初中數(shù)學(xué)教師在開展課堂教學(xué)時(shí)，應(yīng)反復(fù)滲透，讓學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過程中了解整體思想，掌握其核心本質(zhì)，最終逐漸獲得運(yùn)用整體思想解題的能力.要達(dá)到這一目標(biāo)，教師必須要精心備課，選擇蘊(yùn)含這一數(shù)學(xué)思想的題目、知識點(diǎn)展開講解，以便于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中循序漸進(jìn)地掌握這一數(shù)學(xué)思想.

（2）明確性.在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，為了引導(dǎo)學(xué)生真正理解、內(nèi)化整體思想，必須遵循明確性的原則，精心選擇出典型問題，使得學(xué)生在典型題目的探究中，把握整體思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用方式和技巧.同時(shí)，鑒于初中生的實(shí)際情況，在完成教學(xué)之后，教師還應(yīng)及時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行概括、總結(jié)，以便于學(xué)生在明確的訓(xùn)練、概括和總結(jié)中，真正完成整體思想的內(nèi)化.

（3）反復(fù)性.初中數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用整體思想解題時(shí)，必須遵循“由簡到難、由具體到抽象、由特殊到一般”的原則，借助反復(fù)的訓(xùn)練，促使學(xué)生真正理解、應(yīng)用整體思想.

2.2整體思想培養(yǎng)策略

鑒于整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用，教師必須樹立整體思想解題的意識，將其滲透到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂的潛移默化中，逐漸獲得整體思想解題的能力.一方面，教師應(yīng)注重例題講解.在具體的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師必須立足整體思想的內(nèi)涵，選擇與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的題目，并兼顧題目的代表性，使得學(xué)生在針對性的例題學(xué)習(xí)中，深化整體思想的認(rèn)知，逐漸形成運(yùn)用整體思想解題的意識.另一方面，教師還應(yīng)全面加強(qiáng)應(yīng)用訓(xùn)練.在內(nèi)化整體思想解題的過程中，還應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生的實(shí)際情況，為學(xué)生準(zhǔn)備相關(guān)的練習(xí)題目，使得學(xué)生在針對性的訓(xùn)練中，強(qiáng)化整體思想解題意識，提升整體思想解題能力.［4］

3結(jié)語

整體思想作為重要的數(shù)學(xué)思想，將其植入數(shù)學(xué)解題中，可提升學(xué)生解題思維靈活性，使得原本復(fù)雜的問題簡單化、陌生問題熟悉化，真正提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率.初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視整體思想的教學(xué)，立足整體思想的內(nèi)涵，將其滲透到課堂教學(xué)中，使得學(xué)生在針對性的訓(xùn)練中，循序漸進(jìn)提升自身的整體思想解題能力.

參考文獻(xiàn)

［1］王二平.整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用——以“圖形與幾何”問題為例［J］.數(shù)理天地（初中版），2022（24）：39-41.

［2］張志華.登高望遠(yuǎn)，學(xué)以致用——談“整體思想”在初中數(shù)學(xué)解題過程中的策略達(dá)成［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（14）：60-61.

［3］姜華文.淺談?wù)w思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（11）：63-64.

［4］程小芹.整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2020（4）：28-29.