摘 要：數(shù)學課程以培養(yǎng)核心素養(yǎng)為導向，但常態(tài)課堂，特別是習題講評課中常有技能傳授替代能力培養(yǎng)的情況.本文以統(tǒng)計部分的習題講解為例，展示在常態(tài)講評課堂中教師通過對學生答題情況的深入分析，發(fā)現(xiàn)學生的真實問題和切實疑惑，設計適配學情的問題串，引導學生探究、思考，生成真實問題引領下的課堂，最終實現(xiàn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標.

關鍵詞：問題串；問題引領；核心素養(yǎng)

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》強調(diào)數(shù)學課程應以培養(yǎng)核心素養(yǎng)為導向，但數(shù)學常態(tài)課堂中仍然會出現(xiàn)用技能傳授替代能力培養(yǎng)的情況，特別是“問題解決”的“習題講評”課.

在此類常態(tài)性“習題講評”過程里，教師通過對解題過程的分析讓學生理解答案、掌握方法，完成問題求解，之后再配合多解討論、變式訓練，完成解題訓練閉環(huán).這樣的講解模式以“問題求解”為主，確實有利于解題能力的訓練，但也會因為目標過于具體明確或內(nèi)容過于深刻豐滿，致使教師忙于直奔主題，急于在有限的時間內(nèi)完成所有內(nèi)容，更容易出現(xiàn)“教師講解答案即為講評”“學生知道答案即為理解”的課堂場景.于是，問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析，思維的發(fā)散、深入、提升，都無暇顧及，更談不上核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

如何在“習題講評”中重視問題發(fā)現(xiàn)，體現(xiàn)教師引領，實現(xiàn)素養(yǎng)目標？下面筆者就某次試卷講評課中遇到的一個統(tǒng)計題目展開分析與思考，以供研討.

1 原題重現(xiàn)

為增進學生對安全知識的了解，某校開展了兩次知識問答活動，從中隨機抽取了20名學生兩次活動的成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行整理、描述和分析.如圖是這20名學生第一次活動和第二次活動成績情況統(tǒng)計圖（某一個點的橫坐標代表第一次成績，縱坐標代表第二次成績）.

（1）①學生甲第一次成績是85分，他兩次活動的平均成績是 """"分.

②學生乙第一次成績低于80分，第二次成績高于90分，請在圖中用“〇”圈出代表乙的點.

（2）為了解每位學生兩次活動平均成績的情況，A，B，C三位學生分別作出了每位學生的兩次活動平均成績的頻數(shù)分布直方圖（數(shù)據(jù)分成6組：70≤x＜75，75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95，95≤x≤100）.已知這三人中只有一人正確作出了統(tǒng)計圖，則作圖正確的是""" .

（3）假設有1 200名學生參加此次活動，估計兩次活動平均成績不低于90分的學生人數(shù).

2 試題分析

本題目為統(tǒng)計類綜合題，涉及統(tǒng)計圖信息讀取，頻數(shù)計算，通過樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)等問題.試題情境中要求學生能夠理解統(tǒng)計圖的橫、縱坐標的實際意義，并能夠通過對平均成績的理解在統(tǒng)計圖中找到對應的數(shù)據(jù)，常規(guī)解答如下.

（1）①根據(jù)統(tǒng)計圖可直接得出該生第二次成績，即可求出平均分.

由統(tǒng)計圖可以看出，橫坐標為85的直線上只有一個點，其縱坐標為90.

這兩次的平均分為（85＋90）÷2＝87.5（分）.

②符合要求的范圍在直線x＝80的左側(cè)，且在直線y＝90的上方，圈出即可（如圖1）.

（2）根據(jù)統(tǒng)計圖可得出落在各區(qū)間的頻數(shù)，再與頻數(shù)分布直方圖對照即可得出答案.

第一次成績70≤x＜75的點有6個，75≤x＜80的點有2個，80≤x＜85的點有1個，85≤x＜90的點有2個，90≤x＜95的點有5個，95≤x≤100的點有4個.

第二次成績70≤x＜75的點有4個，75≤x＜80的點有3個，80≤x＜85的點有1個，85≤x＜90的點有1個，90≤x＜95的點有5個，95≤x≤100的點有6個.

B作圖正確.

（3）用總?cè)藬?shù)乘抽樣中兩次活動平均成績不低于90分的占比即可.

1 200名學生參加此次活動，兩次活動平均成績不低于90分的學生人數(shù)約為1 200×920＝540（人）.

3 學情分析

本題為八年級下學期期末復習練習第20題，來源于2022年北京市二模，滿分6分.全班35人滿分，4人得5分，2人得4分，2人得3分，班級滿分率約為81.45%，得分率約為94.6%.未得到滿分的8人中，有6人第（2）問答錯，4人第（3）問答錯.

單從得分率來看，此題不需要安排集體講評，但由于題目條件的呈現(xiàn)形式較為新穎，且本題除最后一問以外，都是填空題或選擇題，無法看到學生的解題方法，且從統(tǒng)計圖中獲取平均成績的方法是難點，答案并不清晰且有缺陷，因而需要安排講評.

4 教學片段

習題講評的目標不能局限于獲得特定的知識和技能，教師應該通過精心的設計，引導學生將單個知識技能的學習上升到思維習慣的自覺培養(yǎng)，思維品質(zhì)的自覺提升層面.這樣的課堂設計通常以有引導性的“問題串”來實現(xiàn)，用問題的層層遞進，推動問題的深入解決，包括針對實際情況不斷追問，促進學生重復“發(fā)現(xiàn)—反思—總結(jié)”的過程，讓問題串的設計和應用對已獲得的結(jié)果做出推廣和拓展，從而促進認識的不斷發(fā)展與深化.［1］

問題串1.

師：第 20題第（1）問我們班的正確率是100%，看來大家都能從圖中找到甲、乙兩人的兩次活動成績.請問兩次的活動成績是從哪里獲取的？

生：圖里標注了橫軸意義是學生的第一次成績，縱軸是第二次成績.

師：那怎么看到每人的成績呢？

生：圖里的一個點就代表一位學生，就像平面直角坐標系里的點，點的橫坐標表示他第一次成績，縱坐標表示他第二次成績.

反思分析1.

此題第（1）問里的兩小問都是填空題，沒有解答過程的展示.同樣做對的學生對這個問題的認知理解是不一樣的，那么解題之后反思和總結(jié)，再把自己的方法用語言表述出來，可以讓學生明確這個問題對應的知識點，引導他們形成“回頭看”的習慣，不僅要會做，還要知道原理.

這個學生的回答已經(jīng)用數(shù)學語言來描述了這個問題的解決過程，讓大家看到第（1）問的本質(zhì)就是坐標問題，實現(xiàn)了代數(shù)與統(tǒng)計內(nèi)容的遷徙、類比，從問題中抽象出了“坐標系模型”.對第（1）問的理解會對第（2）問的解決起到引導作用.

問題串2.

師：第（2）問中提出了確定兩次活動的平均成績，那么從哪里可以得到平均成績呢？

生：每個學生活動的平均成績就是兩次成績之和除以2，則由第（1）問可得平均成績=（點的橫坐標＋縱坐標）÷2.

師：那你算出這20個學生的平均成績了嗎？

生：圖中很多點的橫縱坐標沒有給出準確值，所以不能算出所有學生的平均成績.

師：我看你第（2）問是正確的，沒有平均成績，你是怎么做出來的呢？

生：我是采取了估算，然后排除錯誤答案的方法.我先看到圖中有四個點的橫、縱坐標都沒有超過75（如圖2），那么估算他們的平均成績一定也不會超過75，所以第一組的頻數(shù)不可能是3，所以排除A；然后再看95≤x≤100這組，也找到這樣四個點，橫、縱坐標都在這個范圍，所以最后一組的頻數(shù)應該是4，因而答案是B.

師：為什么直接判斷這兩組，不按照順序依次判斷？

生：因為我沒法確定每個平均成績的值，但是可以根據(jù)一些位置較為明顯的點的橫、縱坐標的取值范圍判斷平均成績的范圍，就是不等式的原理，70≤x＜75，70≤y＜75，則70≤x＋y2＜75，這兩組正好有這樣的點.

師：很好，你們解題中進行了方法優(yōu)選，很快就能得到答案了.但是第一組的頻數(shù)你們說不會是3，那么為什么是6呢？剛才不是只找到4個坐標滿足“70≤x＜75，70≤y＜75，則70≤x＋y2＜75”的點嗎？另外兩個點在哪里？

教師組織學生課堂討論，歸納發(fā)現(xiàn)“70≤x＜75，70≤y＜75，則70≤x＋y2＜75”的逆命題是假命題，平均成績滿足第一組的還有可能有兩個（如圖3）.

反思分析2.

學生給出的方法“性價比”很高，雖然無法準確計算每個平均成績，但我們也可以通過合情推理得到第一組和最后一組的正確頻數(shù)，從而進行答案選擇，可以快速解決問題.

其中用不等式表示的原理，非常清晰地解釋了判斷原則，體現(xiàn)了靈活使用數(shù)學方法解決問題的能力.但是如果分析到此為止，那就是答案的講解，讓學生習慣于“只知道做，不知道想”的解題模式.教學應該促進學生更為積極地去進行思考，并能逐步學會想得更清晰、更全面、更深、更合理.［2］

問題串3.

師：解決剛才這個問題時，我們使用代數(shù)式x＋y2來表示平均成績，用不等式組n≤x＋y2＜m來表示每一組的范圍，這其實是用數(shù)的方式來詮釋了題中的文字條件，請問你還能用其他方法表示這些條件嗎？

生：可以用形，平均成績=x＋y2就是x，y之間的關系，也就是一次函數(shù)關系，是一條直線，那么每一組的邊界就可以用這些直線表示.畫出這些直線，就能得到每一組的形的范圍，那就可以直接看出含在范圍中的點的頻數(shù).

師：到底是哪些直線？

生：y=140-2x，y=150-2x，y=160-2x，…，y=190-2x，y=200-2x，

就是直線y=-2x＋2m（m=分點值），應該是一組平行線.

師：很好，大家試著畫出這些直線，看看是否能更加直觀地得到答案.

教師組織學生畫圖觀察.

生：老師，我畫出的直線是這樣的（如圖4），這樣可以直觀看出夾在兩條直線之間的點的數(shù)量了.

師：確實很直觀，大家再看看這幅圖，是不是可以呼應前面的分析，驗證答案B正確？

反思分析3.

通過這組問題串，引導學生從數(shù)的角度進入到形的方法，直觀地體現(xiàn)分組情況，既是一題多解，更是培養(yǎng)多角度觀察、分析、描述問題的能力，鞏固數(shù)形結(jié)合的基本方法.

同時，驗證答案的需求，可以吸引學生再次反思、對比不同方法，引導他們發(fā)現(xiàn)問題，即所作直線與坐標軸交點位置與計算值不一致.

問題串4.

生：雖然我畫的直線與坐標軸交點坐標不對，但相對于點來說位置沒錯，所以不影響判斷點的分組.

師：怎么保證相對位置正確？

生：經(jīng)過特殊點（70，70），（75，75），…，（90，90），（100，100）且與坐標軸夾銳角為45°就可以，因為直線斜率k的值為-1，所以這些特殊點位置是對的.

師：很好，那這些直線坐標軸交點計算與作圖矛盾產(chǎn)生的原因是什么？

學生討論后發(fā)現(xiàn)，本題圖的坐標軸單位長度設置不一致導致了矛盾.學生展示調(diào)整后的作圖，驗證確實不影響分組頻數(shù).

生：老師，根據(jù)這個圖，我發(fā)現(xiàn)答案B也不對.第二組、第三組、第四組的頻數(shù)應該是1、1、3（如圖5）.

師：確實，看來B只能算是有部分正確，作為選擇題來說的唯一選擇，但不是正確答案.

反思分析4.

問題串4是得到答案之后的追問，是在真實問題情境中產(chǎn)生的真實問題.其實，這個問題不是設計出來的，而是由情境生成，引導學生發(fā)現(xiàn)的.這樣的過程，將“情境設計”和“問題提出”連接起來，促進了學生主動參與教學活動，提升學生的“發(fā)現(xiàn)問題”意識［3］，同時培養(yǎng)學生的“質(zhì)疑”能力.

5 結(jié)語

核心素養(yǎng)的提升，應該由教學的實施者、參與者共同實現(xiàn).在常態(tài)習題講評中，教師設計的問題串能夠創(chuàng)設讓所有學生參與思考，主動反思的氛圍，引導學生發(fā)現(xiàn)問題，理解問題的來由，針對問題調(diào)動學生從不同角度觀察、嘗試不同方案，發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)，不局限于問題的預設和單純的問題解答，通過合作、討論解決問題串，不斷深化對問題的認知.

如此的習題講評，以問題為中心點，不忽視相關問題的發(fā)生，將發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）培養(yǎng)形成閉環(huán)［4］，互為引導、互為掣肘，從而真正實現(xiàn)習題講評的素養(yǎng)目標.

參考文獻

［1］鄭毓信.從“問題解決”到“問題引領的數(shù)學教學”——國際視野下的中國數(shù)學教育（1）［J］.中學數(shù)學月刊，2024（1）：1-4+9.

［2］鄭毓信.數(shù)學教育視角下的“核心素養(yǎng)”［J］.數(shù)學教育學報，2016（3）：1-5.

［3］鄭毓信.從“情境學習理論”到“數(shù)學教學中的情境設置”——國際視野下的中國數(shù)學教育（2）［J］.中學數(shù)學月刊，2024（2）：1-6.

［4］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.