摘" 要：題在書(shū)內(nèi)，用在書(shū)外.針對(duì)教材內(nèi)的典型習(xí)題，進(jìn)行多角度探究，做到一題多解，尋求優(yōu)解.同時(shí)開(kāi)展變式拓展，通過(guò)這種方式，提升思維品質(zhì)，培養(yǎng)思維能力.

關(guān)鍵詞：教材習(xí)題；一題多解；變式拓展

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）22-0047-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡(jiǎn)介：晏鴻（1975.6—），男，湖南省雙峰人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：全國(guó)教育科學(xué)規(guī)劃教育部青年課題“基于學(xué)科融合的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：EHA230482）.

在人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)138頁(yè)有這樣一道習(xí)題：如圖1，直線y=x-2與拋物線y2=2x交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB［1］.本人認(rèn)為可以做如下的解法探究與變式拓展，供大家參考.

圖1" 教材習(xí)題圖

1" 弄清問(wèn)題，擬定計(jì)劃

本題的問(wèn)題核心是確定兩直線垂直的充分條件是什么，有如下三個(gè)方向可供選擇，首先確定探究方向.

方向1：證明kOA·kOB=-1；

方向2：證明OA·OB=0；

方向3：證明以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，即|OM|=12|AB|（點(diǎn)M為AB中點(diǎn)）.

2" 開(kāi)始行動(dòng)，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

視角1" 從方向1入手，可以先求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，也可以“設(shè)而不求”，再計(jì)算兩直線OA，OB的斜率之積為-1.

解法1" 聯(lián)立y=x-2，y2=2x，

解得x=3+5，y=1+5或x=3-5，y=1-5.

則兩點(diǎn)為A（3-5，1-5），B（3+5，1+5）.

故kOA·kOB=1-53-5·1+53+5=-1.

所以O(shè)A⊥OB.

解法2" 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y=x-2，y2=2x，

消去y，得

x2-6x+4=0.

因?yàn)椤?36-16=20gt;0，

所以x1+x2=6，x1x2=4.

則kOA·kOB=y1x1·y2x2

=x1x2-2（x1+x2）+4x1x2

=-1.

故OA⊥OB.

視角2" 從方向2入手，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用A，B，C三點(diǎn)共線，計(jì)算OA·OB的值，也是常見(jiàn)的通性通法.

解法3" 設(shè)A（y212，y1），B（y222，y2），由點(diǎn)C（2，0）在直線y=x-2上，

則CA=（y21-42，y1），CB=（y22-42，y2），且A，B，C三點(diǎn)共線.

于是y21-42·y2=y22-42·y1.

化簡(jiǎn)，得y1y2=-4.

故OA·OB=y212·y222+y1y2=164-4=0.

因此OA⊥OB.

視角3" 從方向3入手，抓住圖形的幾何特征，轉(zhuǎn)“形”為“數(shù)”，用代數(shù)方法解決，重點(diǎn)訓(xùn)練直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

解法4" 由解法2知x1+x2=6，x1x2=4.

再設(shè)A，B中點(diǎn)為M，則有M（3，1），

|OM|=32+12=10，

|AB|=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2=210.

所以|OM|=12|AB|.

由直角三角形的幾何性質(zhì)可得OA⊥OB.

3" 開(kāi)發(fā)題源，變式拓展

反思上面的解法，發(fā)現(xiàn)解法1是通性通法；解法2和解法3基于整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行探究，通過(guò)“設(shè)而不求”有效降低運(yùn)算量；解法4體現(xiàn)解析幾何與平面幾何的關(guān)聯(lián)性，利用直角三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，都是值得學(xué)習(xí)、消化、吸收的方法.同時(shí)，我們還可以對(duì)試題進(jìn)行“二次開(kāi)發(fā)”，開(kāi)展變式拓展，挖掘它的深層價(jià)值.

3.1" 通過(guò)化靜為動(dòng)進(jìn)行變式

變式1" 設(shè)過(guò)點(diǎn)（2，0）的動(dòng)直線l與拋物線y2=2x交于A，B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)，求證：OA⊥OB.

分析" 將這道題條件中的定直線改為過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線，然后去探究結(jié)論.只要按解法2的思路就能很快解決（證法略）.

3.2" 通過(guò)反向思考進(jìn)行變式

變式2" 設(shè)A，B是拋物線y2=2x上非原點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，O是原點(diǎn)，若OA⊥OB，

求證：直線AB必過(guò)定點(diǎn)（2，0）.

分析" 反向思考，互換原題的結(jié)論與條件，變?yōu)閯?dòng)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.通過(guò)求原命題的逆命題，進(jìn)行變式拓展（證法略）.

3.3" 通過(guò)推廣結(jié)論進(jìn)行變式

變式3" 設(shè)A，B是拋物線y2=2px（pgt;0）上非原點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，O是原點(diǎn).

求證：OA⊥OB的充要條件是直線AB必過(guò)定點(diǎn)（2p，0）.

變式4" 設(shè)A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上的兩動(dòng)點(diǎn)，O是原點(diǎn).

求證：OA⊥OB的充要條件是點(diǎn)O到直線AB的距離d=aba2+b2.

變式5" 設(shè)A，B是雙曲線x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）上的兩動(dòng)點(diǎn)，O是原點(diǎn).

求證：當(dāng)bgt;agt;0時(shí)，OA⊥OB的充要條件是點(diǎn)O到直線AB的距離d=abb2-a2；當(dāng)a≥bgt;0時(shí)，OA⊥OB不存在.

3.4" 再進(jìn)一步變式

變式6" 設(shè)A，B是拋物線C：y2=2px上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P（x0，y0）是C上的定點(diǎn)，若PA與PB的斜率之積為定值m（m≠0），求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)（x0-2pm，-y0）.

證明" 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

y21=2px1，y22=2px2.

兩式相減，得

（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2）.

當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，x1≠x2，kAB=2py1+y2，直線AB的方程為y-y1=2py1+y2（x-y212p）.

即2px-（y1+y2）y+y1y2=0.①

因?yàn)閗PA·kPB=y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0

=（y1-y0）（y2-y0）［y21/（2p）-y20/（2p）］［y22/（2p）-y20/（2p）］

=4p2（y1+y0）（y2+y0）

=m，②

化簡(jiǎn)整理，得

4p2m

=y1y2+（y1+y2）y0+y20.

又y20=2px0，

即2px0-4p2m+y1y2+（y1+y2）y0=0.③

①-③，得

2px-（x0-2pm）-（y1+y2）（y+y0）=0.

令x=x0-2pm，y=-y0，

則直線AB過(guò)定點(diǎn)（x0-2pm，-y0）.

當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x1，-y1），

由②式知

kPA·kPB=y1-y0x1-x0·-y1-y0x1-x0

=y20-y21（x1-x0）2

=2p（x0-x1）（x1-x0）2

=-2px1-x0

=m.

所以x1=x0-2pm.

即直線AB的方程為 x=x0-2pm，

此時(shí)直線AB也過(guò)定點(diǎn)（x0-2pm，-y0）.

3.5" 基于一般圓錐曲線的變式

變式7" 過(guò)圓錐曲線C上一定點(diǎn)P（x0，y0）引兩條直線PE，PF分別交C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若PE與PF的斜率之積為定值m（m≠0），

求證：直線EF過(guò)定點(diǎn)（x0-CA-mB，y0+mDA-mB）.

證明" 設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓錐曲線C方程為

A（x-x0）2+B（y-y0）2+C（x-x0）+D（y-y0）=0（A2+B2≠0）.

令x′=x-x0，y′=y-y0， 則點(diǎn)P的坐標(biāo)變?yōu)椋?，0），C的方程為Ax′2+By′2+Cx′+Dy′=0 .④

設(shè)直線EF的方程為A1x′+B1y′=1，⑤

由④⑤，得Ax′2+By′2+Cx′·（A1x′+B1y′）+Dy′·（A1x′+B1y′）=0.

即（A+CA1）x′2+（CB1+DA1）x′y′+（B+DB1）y′2=0.

于是（B+DB1）（y′x′）2+（CB1+DA1）（y′x′）+（A+CA1）=0.⑥

設(shè)E（x′1，y′1），F(xiàn)（x′2，y′2），則

kPE·kPF=y′1x′1·y′2x′2=m（m≠0）.

由⑥，得kPE·kPF=m=A+CA1B+DB1.

整理，得A1·（-CA-mB）+B1·（mDA-mB）=1.

故直線EF過(guò)定點(diǎn)（x0-CA-mB，y0+mDA-mB）.

4" 結(jié)束語(yǔ)

一葉而知秋，一題一世界.教材習(xí)題就像一個(gè)“引子”，往回找，找到題根，往周?chē)?，又能變式出更多的結(jié)論，這都是對(duì)教材進(jìn)行縱深研究的好抓手，也是訓(xùn)練思維能力的好手段.

參考文獻(xiàn)：

［1］

課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中教科書(shū)：數(shù)學(xué)（選擇性必修第一冊(cè)）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［責(zé)任編輯：李" 璟］