摘" 要：課程的改革，課標(biāo)的修訂，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提出，“雙減”政策的出臺推動了數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展.教育教學(xué)更重視知識產(chǎn)生的過程和學(xué)以致用的能力的提高.數(shù)形轉(zhuǎn)化作為一種重要的高層次的數(shù)學(xué)思想，是指導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識的一種常用的思想，它是通過數(shù)轉(zhuǎn)形、形轉(zhuǎn)數(shù)來實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換，具有數(shù)的抽象和形的直觀的特點，優(yōu)化了研究問題的思路，指明了快速解決問題的方向.本文通過數(shù)與形轉(zhuǎn)化的教學(xué)，探究怎樣在教學(xué)中滲透數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；數(shù)形轉(zhuǎn)化；滲透

數(shù)學(xué)思想本質(zhì)上是對數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)事實加以歸納提煉，經(jīng)過思維加工而產(chǎn)生的結(jié)果，是一種反映現(xiàn)實中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的意識，是一種具有普遍性、總結(jié)性、指導(dǎo)性的觀點.其對于運用數(shù)學(xué)知識解決問題具有普遍指導(dǎo)作用.學(xué)懂弄通數(shù)學(xué)思想，基本上就掌握了數(shù)學(xué)的靈魂和精髓.

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).數(shù)量關(guān)系是研究數(shù)方面的內(nèi)容，空間形式是研究形方面的內(nèi)容，它們之間有著非常密切的關(guān)系.往往數(shù)量的關(guān)系可以通過圖形的性質(zhì)來研究，圖形的性質(zhì)可以通過數(shù)量的關(guān)系來研究，也就是數(shù)與形不是互相獨立，而是可以互相轉(zhuǎn)化的.數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想就是這種運用數(shù)與形之間的互相轉(zhuǎn)化來解決問題，是一種高層次的數(shù)學(xué)思想之一.它既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)，也有直觀的形，主要包含形轉(zhuǎn)化為數(shù)、數(shù)轉(zhuǎn)化為形兩個方面.

滲透是指液體從多孔的物體透過漏出.轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透是指教師在教學(xué)過程中，把已經(jīng)準(zhǔn)備好的轉(zhuǎn)化思想，有目的、有計劃地按步驟結(jié)合課堂不失時機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會掌握，逐漸給學(xué)生形成一種意識、一種思維、一種能力.

1" 數(shù)形和諧對應(yīng)，凸顯轉(zhuǎn)化功能

在數(shù)學(xué)教材中的實數(shù)與數(shù)軸、有序數(shù)對與點、集合、復(fù)數(shù)、向量的運算都蘊涵著數(shù)形轉(zhuǎn)化思想，無不體現(xiàn)數(shù)形的和諧完美的對應(yīng)，為數(shù)形的轉(zhuǎn)化奠定了堅實的基礎(chǔ).因此教師在備課和教學(xué)中不僅要學(xué)會學(xué)透，而且要在教學(xué)的環(huán)節(jié)中巧妙設(shè)置滲透的時機(jī)，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)交流的過程中能潛移默化地熟悉和領(lǐng)會數(shù)形轉(zhuǎn)化對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生自主地、有意識地運用數(shù)形轉(zhuǎn)化思想，從而掌握常用的數(shù)形轉(zhuǎn)化技巧.如運用坐標(biāo)系繪制函數(shù)圖象、賦予數(shù)式（如方程、不等式等）的幾何直觀、給予直觀圖形的數(shù)式表達(dá)等.

2" 數(shù)形巧妙轉(zhuǎn)化，突出特色效果

2.1" 形轉(zhuǎn)數(shù)，揭示數(shù)的細(xì)微

解決形的問題，可以考慮其對應(yīng)的數(shù)的模型，通常通過方程（組）、坐標(biāo)系、向量、復(fù)數(shù)等數(shù)量關(guān)系，把形的推理部分削弱或者省去，精確地將形的部分或全部轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的數(shù)，最終形的相關(guān)問題都?xì)w結(jié)為對應(yīng)的數(shù)量相關(guān)問題.如我們平時常遇到幾何中的線段、角的關(guān)系問題，事實上就是研究關(guān)于這些線段、角的數(shù)量之間的關(guān)系.可以用字母來表示線段、角，問題實質(zhì)上就轉(zhuǎn)化為含字母的數(shù)式關(guān)系，實現(xiàn)了形轉(zhuǎn)數(shù)，進(jìn)而利用恒等式或方程解決圖形的有關(guān)性質(zhì)問題.

2.1.1" 借助方程（組）、不等式等實現(xiàn)形轉(zhuǎn)數(shù)

例1" 一個長方體紙箱的長、寬、高分別為5m、4m、2m，它要通過一個正方形窗口，試計算正方形窗口的最小邊長.

圖1

分析：根據(jù)題意畫出示意圖（如圖1），應(yīng)該選擇長方體各個面中寬和高所在面，利用勾股定理建立方程，從而確定正方形與長方形的邊長之間的關(guān)系.

解：設(shè)AE=x，BE=y，根據(jù)題意，得

AE=AH=CF=CG=x，

BE=BF=DG=DH=y.

根據(jù)勾股定理，得

x2+x2=42，

y2+y2=22，解得x=22，

y=2.

∴x+y=22+2=32.

例2" 如圖2，△ABC中，點D是BC邊上一點，DE∥AC交AB于點E，且△ADE的面積為5，試確定△ABC面積S的取值范圍.

分析：由DE∥AC可知，△ABC的面積與△BDE面積有關(guān)，而△BDE與△ADE的面積比等于BE與AE的比，那么△ABC與△ADE的面積關(guān)系就可以確定，△ABC面積的取值范圍就可以求出來.

圖2

解：設(shè)BEAB=x.

∴S△BDES=x2.

∴S△BDE=Sx2.

S△BDES△ADE=BEAE=x1-x=Sx25.

整理，得Sx2-Sx+5=0.

∵這個關(guān)于x的方程有實數(shù)根，

∴Δ=S2-4×S×5≥0.

∴S≥20.

2.1.2" 借助函數(shù)實現(xiàn)形轉(zhuǎn)數(shù)

例3" 如圖3，△ABC中，AB=BC，D為AC邊上一動點，作DE∥AB交BC于E，DF∥BC交AB于F，EM、FN、BH分別是△DEC、△AFD、△ABC的高.

圖3

（1）猜想EM、FN、BH之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

（2）若tanC=2，AC=4，試求四邊形DFBE的面積的最值.

分析：（1）根據(jù)DE∥AB及DF∥BC可以得到△DEC、△AFD均是等腰三角形，那么EM、FN、BH都是等腰三角形的底邊上的高，借助三角函數(shù)可得EM=CMtanC=12CDtanC，同理FN=12ADtanA，BH=12ACtanA，又∠A=∠C，就可以知道EM、FN、BH之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）確定四邊形DFBE的函數(shù)表達(dá)式，通過函數(shù)的性質(zhì)來求面積的最值.

解：（1）EM+FN=BH.

證明如下：∵AB=BC，

∴∠A=∠C.

∵DE∥AB，DF∥BC，

∴∠CDE=∠A，∠FDA=∠C.

∴∠CDE=∠C，∠FDA=∠A.

∵EM、FN、BH分別是△DEC、△AFD、△ABC的高，

∴EM=CMtanC=12CDtanC.

同理，F(xiàn)N=12ADtanA，BH=12ACtanA.

又tanC=tanA.

∴EM+FN=12CDtanC+12ADtanA=12（AD+CD）tanA=12ACtanA=BH.

即EM+FN=BH.

（2）設(shè)CD=x，四邊形DFBE的面積為S.

則EM=12CDtanC=x，F(xiàn)N=4-x，BH=4.

∴S△DCE=12x×x=12x2，S△ADF=12（4-x）×（4-x）=12（4-x）2，S△ABC=12×4×4=8.

∴S=S△ABC-S△DCE-S△ADF=8-12x2-12（4-x）2=-x2+4x=-（x-2）2+4.

∴當(dāng)x=2時，S有最大值4.

2.2" 數(shù)轉(zhuǎn)形，展現(xiàn)形的直觀

形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，探究抽象的數(shù)所蘊含的圖形幾何直觀，從而把抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的形，然后利用圖形的性質(zhì)將問題解決.如在解方程、不等式、求函數(shù)的定義域及值域、代數(shù)式及函數(shù)的最值、三角函數(shù)的問題都可以運用這種方法進(jìn)行解決.這是問題解決中最為常見的思路，可以直接簡化解題過程，避免繁雜的計算和推理.

2.2.1" 巧用數(shù)式、方程（組）、不等式等所賦予的幾何意義實現(xiàn)數(shù)轉(zhuǎn)形

例4" 若0lt;xlt;4，求代數(shù)式x2+1+（4-x）2+4的最小值.

分析：由x2+1及（4-x）2+4聯(lián)想到勾股定理，構(gòu)造兩個直角三角形，把問題轉(zhuǎn)化為求幾何最值問題.

解：如圖4，作線段AB=4、Rt△ACD、Rt△BED，其中∠A=∠B=90°，點D是線段AB上的動點.

由于0lt;xlt;4，可設(shè)AD=x，則BD=4-x，CD=x2+1，DE=（4-x）2+4.

∴x2+1+（4-x）2+4的最小值就是CD+DE的最小值.

∴當(dāng)C、D、E三點共線時，CD+DE最小，即為線段CE的長度（如圖5）.

這時過C點作CF∥AB交EB的延長線于點F.

∴∠F=∠ABF=90°，且四邊形ABFC為矩形.

∴BF=AC=1，CF=AB=4.

∴EF=3.

∴CE=CF2+EF2=42+32=5.

2.2.2" 巧用函數(shù)的幾何直觀實現(xiàn)數(shù)轉(zhuǎn)形

例5" 已知函數(shù)y=-x+12t-1，xlt;t，

x-32t-1，x≥t，其中t為常數(shù)，記這個函數(shù)的圖象為M.已知點A（0，-1），B（0，2），C（2，-1），當(dāng)t滿足什么條件時，圖象M與△ABC有兩個公共點.

分析：通過函數(shù)圖象可以直觀展現(xiàn)圖象與△ABC的交點情況，由圖象經(jīng)過特殊定點A、B、C來確定t所滿足的條件.

解：設(shè)y1=-x+12t-1，y2=x-32t-1.

①如圖6，當(dāng)y2經(jīng)過點B時，圖象M與△ABC有一個公共點，

這時2=0-32t-1，

解得t=-2.

圖6

②如圖7，當(dāng)y2經(jīng)過點A時，圖象M與△ABC有兩個公共點，把A（0，-1）代入y2，得

-1=0-32t-1，

解得t=0.

圖7

綜合①②，得當(dāng)-2lt;t≤0時，圖象M與△ABC有兩個公共點.

③當(dāng)y1經(jīng)過點A時，把A（0，-1）代入y1，得-1=0+12t-1，

解得t=0.

∴tgt;0時，隨著t值的增大，y1與線段AB、AC各有一個交點，y2與線段AC、BC各有一個交點，因而圖象M與△ABC有四個交點，直到y(tǒng)2經(jīng)過點C（如圖8）.

圖8

④如圖9，當(dāng)y2經(jīng)過點C時，把C（2，-1）代入y2，得

-1=2-32t-1，

解得t=43.

這時y1分別與AB、AC各有一個交點，此時圖象M與△ABC有三個公共點，當(dāng)t繼續(xù)增大時，圖象M與△ABC有兩個公共點，直到y(tǒng)1經(jīng)過點B.

圖9

⑤如圖10，當(dāng)y1經(jīng)過點B時，圖象M與△ABC有一個交點，把B（0，2）代入y1，得

2=0+12t-1，

解得t=6.

圖10

綜合④⑤，得當(dāng)43lt;t≤6時，圖象M與△ABC有兩個公共點.

∴當(dāng)-2lt;t≤0或43lt;t≤6時，圖象M與△ABC有兩個公共點.

3" 數(shù)形轉(zhuǎn)化教學(xué)中應(yīng)遵循的原則

數(shù)形轉(zhuǎn)化作為重要的數(shù)學(xué)思想，其實它也是一種重要數(shù)學(xué)解題策略.由于它是在數(shù)與形對應(yīng)基礎(chǔ)下進(jìn)行的，所以在教學(xué)過程中，分析問題和解決問題注意要遵循如下原則.

（1）等價性原則：進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化要充分考慮圖形的存在性、整體性、準(zhǔn)確性、界限性、合理性，確保代數(shù)性質(zhì)與幾何性質(zhì)可以進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換.

（2）科學(xué)性原則：數(shù)形的互化包含了圖形的代數(shù)抽象和代數(shù)的圖形的直觀賦予，這兩部分的相互對應(yīng)必須

科學(xué)合理，能充分揭示數(shù)形完美的結(jié)合，實現(xiàn)數(shù)與形的雙重科學(xué)統(tǒng)一.

（3）簡易化原則：數(shù)形轉(zhuǎn)化的作用是解決問題快速、簡捷、高效.選擇這種思想后，就要選擇方法，如幾何法或代數(shù)法，還是幾何法和代數(shù)法相結(jié)合.在充分分析問題的基礎(chǔ)上選擇簡單快速有效的方法，避免為了“數(shù)形轉(zhuǎn)化”而把問題復(fù)雜化.

4" 教學(xué)中滲透數(shù)形轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

4.1" 加強(qiáng)教材研究，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)挖掘數(shù)形轉(zhuǎn)化思想

教學(xué)中滲透數(shù)形轉(zhuǎn)化思想可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)他們的思維能力，提升他們的解題水平，滲透數(shù)形轉(zhuǎn)化思想的途徑主要有下面三類.

（1）坐標(biāo)類.有直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、復(fù)平面等.

（2）建模類.構(gòu)建幾何、函數(shù)等模型.

（3）轉(zhuǎn)化類.準(zhǔn)確分析數(shù)式、方程（組）、不等式等所賦予

的

幾何直觀意義，圖形所對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行數(shù)與形的精確轉(zhuǎn)化.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》著重提到學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)，因而在教學(xué)中注重滲透數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想，有利于提高學(xué)生上面的“四力”，對開拓學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、類比、聯(lián)想能力有很大的幫助，對學(xué)生學(xué)習(xí)和探索最佳的解決問題的方法有一定的指導(dǎo)意義.［1］數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想形成后，可以促進(jìn)學(xué)生自覺進(jìn)行抽象化思考，形成自己正確的解題策略，提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)鉆研數(shù)學(xué)的興趣.

4.2" 重視教學(xué)探索，尋找恰當(dāng)時機(jī)滲透數(shù)形轉(zhuǎn)化思想

數(shù)形轉(zhuǎn)化中的數(shù)有豐富的內(nèi)涵及外延，可以是平時普遍接觸的數(shù)，也可以是式子、方程、不等式、函數(shù)等.數(shù)的幾何直觀圖形表示就稱為形.形是研究圖形的性質(zhì)，只要精確尋找出抽象的數(shù)的問題所對應(yīng)的幾何圖形，問題就可以用圖形直觀的來表達(dá).數(shù)的抽象理解可以轉(zhuǎn)化為直觀的圖形來展示，所以抽象的理解如果變?yōu)閳D形的識別，多么復(fù)雜的數(shù)的抽象問題都會用圖形輕而易舉地解決，學(xué)生的思維深刻性也會得到進(jìn)一步培養(yǎng).

其實數(shù)形轉(zhuǎn)化始終貫穿在數(shù)學(xué)教材的每一章節(jié)之中，我們教師應(yīng)該要胸有成竹，如不等式的解集與數(shù)軸、函數(shù)與圖象、集合與文氏圖等，又如引入坐標(biāo)系后，代數(shù)與幾何在解析幾何中實現(xiàn)統(tǒng)一等.教師在教學(xué)探索中應(yīng)善于運用實際的事例，結(jié)合生活實際和學(xué)生發(fā)展具體情況，在課堂教學(xué)中實時滲透數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想方法，有計劃、有目的地引導(dǎo)學(xué)生啟動動態(tài)思維，改變思維方式，對問題進(jìn)行多角度、多層次、有針對性的思考，學(xué)生的思維發(fā)散性也會進(jìn)一步得到培養(yǎng).

我們知道事物是運動變化的，數(shù)與形的關(guān)系可理解為事物運動的某時刻的兩個量的刻畫，即數(shù)量取值和位置，于是在分析、處理、研究教材時，可以適當(dāng)采用動態(tài)思維來思考，從而揭開知識前后變化及相互聯(lián)系的成因，進(jìn)而從根本上認(rèn)清事物的變化發(fā)展，有力地促進(jìn)學(xué)生辯證思維的發(fā)展.因此在平時的教學(xué)中，應(yīng)不失時機(jī)地合理進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化思想的滲透，同時還要關(guān)注學(xué)生如下能力的培養(yǎng).

（1）圖形觀察能力的培養(yǎng)，能從圖形的動靜變化中迅速發(fā)現(xiàn)所對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.

（2）圖形繪制能力的培養(yǎng)，能使所繪制的圖形準(zhǔn)確契合所對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.

（3）數(shù)形轉(zhuǎn)化意識的培養(yǎng)，能熟練做到觀形識別數(shù)量關(guān)系，看數(shù)學(xué)關(guān)系聯(lián)系圖形性質(zhì).

通過數(shù)形轉(zhuǎn)化的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)與形的內(nèi)在關(guān)系的深入了解，它也是一種數(shù)學(xué)問題模型轉(zhuǎn)化研究的基本思路和方法，可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會形轉(zhuǎn)數(shù)，數(shù)轉(zhuǎn)形的妙用，掌握數(shù)與形等價轉(zhuǎn)化技巧.這不僅能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，也有助于學(xué)生情感價值觀的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)家波利亞（George Polya）說過掌握數(shù)學(xué)就是善于解題.解題通俗說就是求出問題的結(jié)果，通常也可以叫做問題的答案，

揭示問題中的條件和結(jié)論的聯(lián)系，探究怎樣把已知的條件推導(dǎo)出未知的結(jié)論.而數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想正是一種化未知為已知的直觀有效并且簡潔的思路，直觀的圖形和精確的數(shù)量完美結(jié)合常常會給我們美妙的啟迪，甚至給我們開辟了一種別樣的解決問題的途徑，可以使繁雜的問題簡單化、抽象問題具體化，從而優(yōu)化解題過程，提高解題效率.

我們知道數(shù)學(xué)問題種類繁多，考查的知識不同，設(shè)置的條件和結(jié)論不同，難易程度也不同，但是解題的思想方法可以在不同的問題中使用.因而教師在教學(xué)中要尤為重視數(shù)形轉(zhuǎn)化思想的滲透.這是一項長期的工作，只要通過日積月累、潛移默化，一定能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

俗話說“授人以魚”不如“授人以漁”，教師在教學(xué)中更要重視“教什么”“怎么教”“為什么這么教”，切實幫助學(xué)生變被動學(xué)習(xí)為自主學(xué)習(xí)，主動探索知識的產(chǎn)生過程，探究數(shù)學(xué)問題的思想方法，變“老師要我學(xué)什么，我就學(xué)什么”為“我要學(xué)什么，怎么學(xué)，為什么這么學(xué)”，真正體現(xiàn)學(xué)生主體，教師主導(dǎo)的作用.數(shù)形轉(zhuǎn)化思想就是一種重要的數(shù)學(xué)“漁法”，可以利用數(shù)形互化，化復(fù)雜為簡捷，去抽象為具體.

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