摘" 要：“統(tǒng)計與概率”作為高中數(shù)學(xué)中重要組成，對學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng)進行了全方位的考查，已成為當(dāng)前高考的亮點與熱點.尤其是在新高考背景下，“統(tǒng)計與概率”考試題目背景常常與實際問題相結(jié)合，進一步增加了學(xué)生的解題難度.鑒于此，基于數(shù)學(xué)新高考視域下“統(tǒng)計與概率”考查方向，全面加強解題教學(xué)，提升學(xué)生的解題能力已成為當(dāng)前研究的重點.本文聚焦于此，結(jié)合解題實踐，對其展開了詳細(xì)的探究.

關(guān)鍵詞：新高考；“統(tǒng)計與概率”；解題教學(xué)

“統(tǒng)計與概率”主要是從數(shù)量的角度，圍繞隨機現(xiàn)象規(guī)律展開研究，是高中數(shù)學(xué)的重要組成.同時，“統(tǒng)計與概率”中也蘊含了大量的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，包括：數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等，歷來是考查的重點.尤其是在新高考視域下，考查的內(nèi)容、形式也隨之發(fā)生改變.縱觀最新高考下的數(shù)學(xué)試卷，關(guān)于“統(tǒng)計與概率”的考查內(nèi)容基本上與新課程標(biāo)準(zhǔn)保持一致，更加關(guān)注內(nèi)容的全面性、層次性，突出了核心概念、主干知識、重要思想的考慮.從考查形式上來說，題目背景更加生活化、情境性，致使題干更加冗長.在這種情況下，部分學(xué)生很難將數(shù)學(xué)問題從實際問題中抽象出來，致使其在解題時面臨著極大的難度.鑒于此，基于新高考下的要求，全面加強“統(tǒng)計與概率”解題教學(xué)研究已成為擺在一線教師面前的重任.

1" 新高考下“統(tǒng)計與概率”試題特點分析

縱觀新高考?xì)v年各地數(shù)學(xué)試卷，關(guān)于“統(tǒng)計與概率”知識的考查，呈現(xiàn)出以下幾個特點.

（1）試題背景更加豐富.新高考下“統(tǒng)計與概率”這一部分的試題突出了“統(tǒng)計與概率”和現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系，試題設(shè)置背景更加生活化.例如，以普及垃圾分類知識、長途客車運行、流行病調(diào)查等作為試題的背景.可以說，新高考下“統(tǒng)計與概率”的考試背景和實際生活、社會生產(chǎn)緊密相連，突出了試題的時代性，以及數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性和實踐性.

（2）考查內(nèi)容聚焦主干知識.基于各地試卷分析，當(dāng)前數(shù)學(xué)考查的知識點集中在主干知識中，主要涉及概率計算、概率性質(zhì)和相互獨立事件的概率、條件概率和全概率公式、隨機變量分布列與數(shù)字特征、二項分布、正態(tài)分布等.可以說，新高考下關(guān)于這一部分知識考查更加全面、系統(tǒng)、聯(lián)系性更強，真正體現(xiàn)了統(tǒng)計與概率知識的特點.

（3）更加關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).新高考下，關(guān)于“統(tǒng)計與概率”考查題目中，更加關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).例如，數(shù)學(xué)閱讀素養(yǎng)，學(xué)生必須認(rèn)真閱讀題目含義，在審題中抽象出數(shù)學(xué)問題，了解問題的背景，形成新的解題思路和方案.在數(shù)學(xué)題目中融入了一定的數(shù)學(xué)思想，其中以建模思想尤為突出，學(xué)生需要利用一定的數(shù)學(xué)思想進行解題.

2" 新高考下“統(tǒng)計與概率”解題教學(xué)研究

2.1" 加強審題教學(xué)，增強題目理解能力

新高考下“統(tǒng)計與概率”題目也呈現(xiàn)出全新的特點，題目文字?jǐn)⑹霰容^長，數(shù)據(jù)非常多，對學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)分析能力都提出了更高的要求.鑒于此，在解題教學(xué)中，應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的題目閱讀能力，強化審題意識，使其在審題時能夠精準(zhǔn)把握題目中的關(guān)鍵條件，深層次挖掘題目中的隱含信息等，為學(xué)生更好地解題奠定堅實的基礎(chǔ).

例1" 11分制乒乓球比賽中，每次贏得一球之后就會得1分.當(dāng)比賽某一局達成10∶10之后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多贏得2分的隊員獲勝，該局比賽獲得勝利.甲乙兩位學(xué)生在乒乓球單打比賽中，假設(shè)同學(xué)甲發(fā)球時的得分概率為0.5，同學(xué)乙發(fā)球時甲同學(xué)的得分概率為0.4，各個球結(jié)果相互獨立，在某一局雙方10∶10平之后，由甲先發(fā)球，兩位同學(xué)又打了X個球之后，比賽才結(jié)束.求解以下兩個問題.

（1）P（X=2）.

（2）求事件X=4且同學(xué)甲獲得比賽勝利的概率.

分析：本題目解答存在以下兩個關(guān)鍵條件：①比賽的規(guī)則是兩位選手比賽到10∶10之后，每球都要交換發(fā)球權(quán)，先多贏得2分的一方獲得；②比賽時同學(xué)甲的得分概率，在甲發(fā)球時其得分概率為0.5，在同學(xué)乙發(fā)球時其得分概率為0.4.同時，從這一條件中還可推出，當(dāng)甲發(fā)球時，同學(xué)乙的得分概率為0.5，當(dāng)同學(xué)乙發(fā)球時得分概率為0.6.學(xué)生在審題中只要明確這一點，即可形成明確的解題思路.

（1）由題意可知，X=2包括同學(xué)甲連續(xù)贏得兩個球，或者同學(xué)乙連續(xù)贏得兩個球.因此，P（X=2）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.

（2）根據(jù)題目已知條件可知，事件X=4且同學(xué)甲獲得比賽勝利，前兩個球中同學(xué)甲、同學(xué)乙各贏得1分，之后兩個球均為同學(xué)甲得分.因此，所求概率為（0.5×0.6+0.5×0.4）×0.5×0.4=0.1.［1］

2.2" 培養(yǎng)模型意識，強化解題能力

新高考視域下，“統(tǒng)計與概率”題目中融入了大量的數(shù)學(xué)模型，如超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布、回歸分析、獨立性檢驗等.鑒于此，在解題教學(xué)過程中，應(yīng)立足于這一考查點，強化學(xué)生的模型意識，使其在分析題目時能夠從實際問題中將數(shù)學(xué)問題抽象出來，進而運用相關(guān)的知識進行解答.

例2" 從某一批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品兩次，每次隨機抽取1件產(chǎn)品.假設(shè)事件A為取出2件產(chǎn)品中至多有1件產(chǎn)品是二等品的概率為0.96.求解以下兩個問題.

（1）從該產(chǎn)品中任取1件產(chǎn)品是二等品的概率為多少？

（2）如果該產(chǎn)品中共有100件，從中任意抽取2件，用ξ表示取出2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求ξ的分布列.

分析：在解答本題目時，關(guān)鍵在于正確識別、區(qū)分超幾何分布、二項分布模型.其中，超幾何分布模型主要是任意抽取n件產(chǎn)品，且是不放回的抽取，一次僅取1件產(chǎn)品，連續(xù)取產(chǎn)品n次.如果在抽取產(chǎn)品時，出現(xiàn)了“有放回抽取”的現(xiàn)象，則為n次獨立重復(fù)實驗，這屬于二項分布.因此，就本題目來說，在第（1）問中即為二項分布.在第（2）問中即為超幾何分布.由此即可形成明確的解題思路.

（1）取2件產(chǎn)品中無二等品的事件表示A0，取2件產(chǎn)品中恰好有1件產(chǎn)品為二等品的事件表示為A1.由于A0、A1為互斥事件，且A=A0+A1，因此，P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1-p）2+C12p（1-p）=1-p2.因為1-p2=0.96，解方程，得p1=0.2，p2=-0.2（舍去）.

（2）因為ξ可能取值為0，1，2，假如這一批產(chǎn)品中共有100件，根據(jù)（1）得知題目中二等產(chǎn)品共有100×0.2=20件.因此，P（ξ=0）=C280C2100=316495，P（ξ=1）=C180C120C2100=160495，P（ξ=2）=C220C2100=19495.

因此，ξ的分布列如下.

ξ012

P31649516049519495

2.3" 轉(zhuǎn)化函數(shù)，優(yōu)化解題

新高考視域下，面對“統(tǒng)計與概率”的相關(guān)題目，常常會遇到求最值、范圍等問題.鑒于此，即可融入函數(shù)意識，選取變量構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，最終將所求的問題進行轉(zhuǎn)化，使其成為求函數(shù)最值和值域等問題，并運用相關(guān)的知識進行解答.

例3" 調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致全球氣候變暖、海平面上升的主要原因是汽車尾氣排放超標(biāo).在可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略下，我國加大了對新能源項目的支持，積極推進新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.在對某新能源企業(yè)汽車銷售情況的調(diào)查中，得到如下統(tǒng)計表（見表1）.

（1）在該統(tǒng)計表中，表明了銷量y和年份代碼x之間存在較強的線性相關(guān)關(guān)系.求y關(guān)于x的線性回歸方程，并對該地區(qū)新能源汽車銷量在哪一年能夠突破50萬輛進行預(yù)測.

（2）為了對購車者性別和種類情況進行調(diào)查了解.該企業(yè)又隨機抽取200位車主作為調(diào)查樣本.結(jié)果顯示，男性車主中購置傳統(tǒng)汽車有ω名，購置新能源汽車的車主為45名.女性車主中則有20名購置了傳統(tǒng)的汽車.

①如果ω=95，將調(diào)查樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計總體，試著用（1）中線性回歸方程，對該地區(qū)2020年購置新能源汽車女性車主人數(shù)進行預(yù)測（假設(shè)每位車主只購買一輛汽車）.②假設(shè)男性車主中選擇購買新能源汽車的概率為P，如果將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查樣本中所有男性車主中隨機抽出5人，恰好有3人選擇了新能源汽車的概率為f（P），求當(dāng)ω為何值時，f（P）最大.

分析：本題目難度系數(shù)比較高，不僅以當(dāng)前社會生產(chǎn)熱點作為背景，同時又與函數(shù)知識整合到一起，主要對“線性回歸方程”展開考查.鑒于此，在解決這一問題時，需要明確獨立重復(fù)實驗成功次數(shù)對應(yīng)的概率公式f（P），之后再融入函數(shù)思想，運用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進行確定，最終完成題目的解答.

（1）根據(jù)題意得出x=1+2+3+4+55=3，y=10+12+17+20+265=17，5i=1xiyi=295，5i=1x2i=55.

因此=5ixiyi-5xy5ix2i-5x2=295-5×3×1755-5×3×3=4，=y-x=17-4×3=5.

所以求y關(guān)于x的線性回歸方程為=4x+5，令＞50時，則x＞11.25，最小的正整數(shù)x=12，則有2014+12=2026，即在2026年時該地區(qū)新能源汽車銷售量將突破50萬輛.

（2）①根據(jù)題意得知，該地區(qū)中200名車主中，女性車主為200-95-45=60名，則購買新能源的女性車主為60-20=40名.因此，在購買新能源汽車車主中，女性所占據(jù)的比例為4040+45=817，該地區(qū)中購置新能源汽車女性車主概率為817.根據(jù)預(yù)測得知，該地區(qū)在2020年時新能源汽車銷售為4×6+5=29萬輛.

因此，在2020年時購置新能源汽車新車主中女性人數(shù)約有29×817≈13.6萬.

②由題意可知，P=4545+ω（0≤ω≤135）.

則有f（P）=C35P3（1-P）2=10P3-20P4+10P5.

對其進行求導(dǎo)得出f′（P）=50P4-80P3+30P2=10P2（P-1）（5P-3）.

當(dāng)0＜P＜35時，f′（P）＞0；當(dāng)35＜P＜1時，f′（P）＜0.

則f（P）在0，35上單調(diào)遞增，在35，1上單調(diào)遞減，則fmax（P）=f35=C35353×252=216625，此時ω=30.

因此，當(dāng)ω=30時，f（P）存在最大值，且最大值為216625.［2］

3" 新高考下“統(tǒng)計與概率”解題教學(xué)啟示

鑒于新高考下“統(tǒng)計與概率”考試題目的類型和解題要求，高中數(shù)學(xué)教師唯有努力調(diào)整和完善課堂教學(xué)模式，使得學(xué)生在針對性的訓(xùn)練和學(xué)習(xí)中，逐漸提升自身的解題能力.首先，注重基礎(chǔ)知識教學(xué)，強化知識練習(xí).在日?！敖y(tǒng)計與概率”教學(xué)中，應(yīng)加強基本概念、基本性質(zhì)教學(xué)，注重相關(guān)知識的歸納與總結(jié)，以便于學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸形成系統(tǒng)化的知識網(wǎng)絡(luò).而要達到這一目標(biāo)，在日常教學(xué)中可適當(dāng)借助知識結(jié)構(gòu)圖、思維導(dǎo)圖等工具，強化基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)效果.其次，規(guī)劃專題，重點突破.鑒于新高考下的考試特點，在日常教學(xué)和復(fù)習(xí)指導(dǎo)中，可采用細(xì)分專題的模式，將“統(tǒng)計”“概率”等知識進行合理劃分，使其成為不同的板塊.同時，圍繞每一個板塊的知識點、常見題型、易混概念、易錯問題等進行整合，使得學(xué)生在針對性的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練中，逐漸掌握解題技巧.最后，關(guān)注本質(zhì)，提煉內(nèi)涵.新高考下，雖然“統(tǒng)計與概率”這一部分題目類型多種多樣，但本質(zhì)卻非常一致，甚至出現(xiàn)了題型異質(zhì)同的現(xiàn)象.鑒于此，在日常教學(xué)和復(fù)習(xí)指導(dǎo)中，必須帶領(lǐng)學(xué)生透過問題現(xiàn)象看到其本質(zhì)內(nèi)涵，提煉其內(nèi)涵，領(lǐng)悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，真正提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.［4］

參考文獻

［1］黃榕鑫.芻議新高考下“統(tǒng)計與概率”的解題策略［J］.試題與研究，2023（6）：25-27.

［2］郝飛宇.基于HPM視角的高中統(tǒng)計與概率教學(xué)研究［D］.濟南：山東師范大學(xué)，2022.

［3］秦樂，周瑩.高中數(shù)學(xué)教材習(xí)題綜合難度研究——以人教A版“統(tǒng)計與概率”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2019（13）：20-23.

［4］王浩然.如何增強高中數(shù)學(xué)解題能力——以《統(tǒng)計與概率》知識題為例［J］.高考，2018（29）：158.