摘 "要：“二次函數(shù)與直角三角形”是初三二輪復(fù)習(xí)中的重要內(nèi)容之一，也是“二次函數(shù)與幾何圖形”系列微專題的第一節(jié)課. 教學(xué)中通過開放性問題引入、變式探究推進(jìn)、聯(lián)想構(gòu)建框架，讓學(xué)生在啟發(fā)式探究中經(jīng)歷從直角三角形到銳角三角形、從一個點動到兩個點動的探究過程.構(gòu)建解決二次函數(shù)與幾何圖形類問題的常見模型，可以豐富學(xué)生對“二次函數(shù)與幾何圖形”的認(rèn)識，在問題解決過程中發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，使核心素養(yǎng)在復(fù)習(xí)課教學(xué)中落地生根.

關(guān)鍵詞：復(fù)習(xí)教學(xué)；情境問題；核心素養(yǎng)

基金項目：江蘇省“十四五”規(guī)劃課題“境脈視域下初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)的實踐研究”（項目編號：C/2003/03/36）.

復(fù)習(xí)教學(xué)一個很重要的任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生靈活運用所學(xué)知識解決問題，使學(xué)生學(xué)會審題、找到解題思路、搭建解題框架、構(gòu)建解題模式，在解題過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 本文將以初三一節(jié)“二次函數(shù)與直角三角形”微專題復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勅绾卧趶?fù)習(xí)課教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1" 聚焦核心素養(yǎng)，設(shè)計復(fù)習(xí)教學(xué)框架

二次函數(shù)是學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)的第三種特殊函數(shù)，也是高中階段的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，是貫穿初、高中階段的重要函數(shù)模型.本節(jié)課之前已經(jīng)復(fù)習(xí)了二次函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)、一元二次方程和不等式的關(guān)系，并能用二次函數(shù)解決簡單的實際問題.二次函數(shù)與圖形相結(jié)合類型的問題，因為具有更復(fù)雜的情境，對學(xué)生的思維能力要求更高.為了提高學(xué)生解決此類問題的能力，在二次函數(shù)復(fù)習(xí)中安排了微專題復(fù)習(xí)課“二次函數(shù)與直角三角形”.

1.1" 復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)

（1）通過解決二次函數(shù)背景下的直角三角形問題，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)綜合運用知識的能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、推理能力等核心素養(yǎng).

（2）在圖象法和代數(shù)法的探尋比較中，構(gòu)建解決二次函數(shù)背景下圖形類問題的通性通法，掌握解決二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)問題的一般方法，感受解題方法的內(nèi)部一致性，發(fā)展學(xué)生推理能力、運算能力、模型觀念等核心素養(yǎng).

（3）通過引導(dǎo)學(xué)生提出問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和探究能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.2" 復(fù)習(xí)教學(xué)思路

本節(jié)課的主線是讓學(xué)生參與提出問題、解決問題的探究性學(xué)習(xí)過程，經(jīng)歷“為什么學(xué)” “學(xué)什么”“怎么學(xué)”的一般學(xué)習(xí)流程.了解“二次函數(shù)微專題”要研究的內(nèi)容、策略，并形成自己的研究框架.在此過程中通過學(xué)生集體智慧感知二次函數(shù)微專題，搭建二次函數(shù)微專題的框架結(jié)構(gòu)，強化對二次函數(shù)的認(rèn)識.在不斷的探究中，逐步提高學(xué)生思維能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2" 圍繞核心素養(yǎng)，設(shè)計探究情境與問題

2.1 "創(chuàng)設(shè)開放情境，引出課題

如圖1，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A、B兩點，且點A（1，-4）為拋物線的頂點，點B在x軸上.請同學(xué)們根據(jù)熟悉的情境，設(shè)計并提出幾個問題？

圖1

【設(shè)計意圖】學(xué)生會根據(jù)已有經(jīng)驗，提出各種問題.例如，求直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式；求交點三角形的面積；求三角形面積的最值等.教師在同學(xué)提出“在拋物線上求一點Q，使△QAB為直角三角形”后，順勢引出課題.

本環(huán)節(jié)中，呈現(xiàn)常見問題情境，以開放型問題引入，引導(dǎo)學(xué)生回溯已經(jīng)研究過的相關(guān)題型.在學(xué)生不斷提出問題的過程中，帶領(lǐng)全班同學(xué)一起梳理已有研究內(nèi)容，并由學(xué)生提出本節(jié)課要解決的問題.該開放型問題圍繞幾何直觀核心素養(yǎng)設(shè)計，通過不斷地探尋“看什么”“想什么”“還能聯(lián)想什么”，進(jìn)一步強化學(xué)生感知二次函數(shù)背景中的幾何圖形及其元素，建立形與數(shù)的聯(lián)系，以提升學(xué)生幾何直觀核心素養(yǎng).

2.2" 鋪設(shè)思維臺階，探究問題

問題1" 將“從拋物線上找點”改為“從y軸上找點”，即“Q是y軸上一點，使得△ABQ為直角三角形，怎樣求點Q的坐標(biāo).”

【設(shè)計意圖】問題1為培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)鋪墊好“第一塊磚”.將“從拋物線上找點”弱化為“從y軸上找點”，在共同探究環(huán)節(jié)降低思維難度，樹立解決問題的信心，更為后續(xù)從直角三角形變?yōu)殇J角三角形做鋪墊.同時，讓幾何元素“直角三角形”更突出，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有的圖形學(xué)習(xí)經(jīng)驗分析直角三角形的典型特征，即一個角為直角，學(xué)生提出“要考慮分類”.

問題2" 為什么分類？如何分類？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在追問中反思分類的依據(jù)，明確分類的標(biāo)準(zhǔn).讓學(xué)生在“不得不分”中，進(jìn)一步體會分類討論的必要性、按角分類的合理性以及“化繁為簡”解題思想，感受數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成合乎邏輯的思維習(xí)慣并將問題順勢聚焦到討論“以B為直角頂點”的情況.

問題3" 如圖2，若Q是y軸上一點，且∠ABQ為直角，求點Q的坐標(biāo).

圖2

學(xué)生活動1：獨立思考，講述解題思路.多位同學(xué)提出不同思路.有的借助三角函數(shù)，用tan∠OBQ=tan∠OMB列式（如圖3）；有的構(gòu)造三角形相似，由△BQP∽△ABN得邊長對應(yīng)成比例（如圖4）；有的利用勾股定理，由QB2+BA2=QA2求解（如圖5）.

【設(shè)計意圖】本題解決的過程，是直角類問題的模型構(gòu)建過程.在此過程中請不同方法的同學(xué)分享思路，并由教師板書，體會方法的合理性并突出揭示方法背后的本質(zhì)工具.讓學(xué)生逐步意識到解決直角問題中由“邊、角、邊與角”能產(chǎn)生聯(lián)想的三個常用幾何工具：勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形.從而將復(fù)雜的綜合性問題與學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗建立實質(zhì)性聯(lián)系，并建構(gòu)起解決直角類問題的方法模型.在問題解決的過程中提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

學(xué)生活動2：學(xué)生自主探求“以A為直角頂點”和“以Q為直角頂點”時點Q的坐標(biāo)，并由兩位同學(xué)上黑板板演且進(jìn)行交流分享.

【設(shè)計意圖】在教師剛剛總結(jié)過3種方法后，學(xué)生趁熱打鐵地通過將剛剛發(fā)現(xiàn)認(rèn)識的新方法進(jìn)行實際操練，能鞏固3種方法的策略性經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力，并逐步強化模型意識.在學(xué)生交流之后，教師再總結(jié)明確三種方法的優(yōu)劣，突出三種方法的共性，即利用點坐標(biāo)將斜方向的線段轉(zhuǎn)化到水平或豎直方向，進(jìn)而突出平面直角坐標(biāo)系中解決圖形類問題的重要紐帶“點坐標(biāo)”.在學(xué)生獨立解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、模型觀念等核心素養(yǎng).

學(xué)生活動3：解決同學(xué)提出的動點在拋物線上的相關(guān)問題“在拋物線上求一點Q，使△QAB為直角三角形”.留2分鐘討論時間，隨后請小組代表發(fā)言.有的學(xué)生會基于前兩個活動的經(jīng)驗，設(shè)點Q坐標(biāo)利用相似求解.有的同學(xué)則提出當(dāng)“以A、B為直角頂點”時，可以直接利用上一問中求出的直線表達(dá)式聯(lián)立拋物線的函數(shù)表達(dá)式求解.

【設(shè)計意圖】前后呼應(yīng)，回歸到同學(xué)提出的問題，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和挑戰(zhàn)欲，此外，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何法外的解析法——“借點定線”，運用幾何層面的“對偶原理”將Q看作是符合條件的軌跡交點.在此過程中總結(jié)出解決“二次函數(shù)背景下直角三角形”問題的常見方法類型，即幾何法與解析法，并比較方法的使用時機.

2.3" 巧設(shè)思維挑戰(zhàn)，拓展深度

變式1" 若Q是y軸上一點，且∠BQA為銳角，求點Q的縱坐標(biāo)范圍.

學(xué)生小組討論，并確定代表交流發(fā)言.在討論過程中，大部分學(xué)生都以∠BQA為直角時的點（0，-1）和點（0，-3）為臨界點，采用畫圖并測量的方式，發(fā)現(xiàn)兩點之間的點與B、A相連后得到的是鈍角.進(jìn)而匯報時，有小組提出猜想：當(dāng)∠BQA為銳角時點Q的縱坐標(biāo)應(yīng)大于-1或小于-3.隨后，有小組提出利用“輔助圓”和用三角形的外角性質(zhì)解釋該答案（如圖6）.最值得欣喜的是，還有2個小組提出質(zhì)疑，強調(diào)需要注意答案的完備性，要去掉“Q、B、A三點共線的情況”.在“小組討論+全班展示”的過程中合力探求出本題的最終結(jié)果.

圖6

變式2" 若Q是y軸上一點，且△BQA為銳角三角形，求點Q的縱坐標(biāo)范圍.

學(xué)生獨立完成，并由代表交流發(fā)言.第一位學(xué)生提出本題由上一變式變化而來，只要再加上考慮∠QAB、∠QBA為銳角時點Q的縱坐標(biāo)范圍即可；第二位同學(xué)更直接借上一問中所畫圖象說明求解過程.

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)問題設(shè)計從直角走向銳角，讓學(xué)生構(gòu)建從特殊到一般的轉(zhuǎn)化劃歸思維方式.依舊從“一個角為銳角”走向“三個角為銳角”，進(jìn)一步強化分類討論的意識.學(xué)生經(jīng)歷集體討論、獨立思考、互相補充的過程，在利用已有工具解釋銳角范圍過程中，進(jìn)一步感受并體會直角、銳角、鈍角三者之間的聯(lián)系，從而突破本節(jié)課的難點，將更一般的銳角三角形的問題轉(zhuǎn)化劃歸到直角三角形問題，在此過程中，提升學(xué)生幾何直觀、推理能力核心素養(yǎng).

2.4" 改變運動模型，擴展寬度

變式3" 如圖7，記拋物線與y軸交于點C，若Q為線段OB上一動點，過點Q作x軸的垂線，分別交直線BC和拋物線于M、N兩點，求當(dāng)△CMN為直角三角形時點Q的坐標(biāo).

圖7

【設(shè)計意圖】鑒于學(xué)生對于“點動”情況掌握良好，將問題中的一個“動點”升級為一條“動直線”.看似出現(xiàn)更多的動點，問題更為復(fù)雜.給予學(xué)生充分時間畫圖分析，學(xué)生容易探究發(fā)現(xiàn)∠CMN始終等于45°不可能為直角，進(jìn)而以∠MCN＝90°和∠CNM＝90°進(jìn)行分類，通過作圖進(jìn)一步求解，教師適當(dāng)啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用已掌握的分類思想、直角模型，在此過程中感受把握問題本質(zhì)、模型應(yīng)用價值，進(jìn)一步提升學(xué)生幾何直觀、

推理能力、運算能力核心素養(yǎng).

2.5" 學(xué)生反思小結(jié)，提煉深化

提問：本節(jié)課我們研究了什么內(nèi)容？是如何研究的？你有什么體會？你總結(jié)出哪些策略或方法？你還能提出哪些問題？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課解決問題中所涉及的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行反思（特別是數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、分類討論數(shù)學(xué)思想），并由學(xué)生進(jìn)一步暢想還可以研究的問題.通過不同學(xué)生的不斷總結(jié)，完善解決二次函數(shù)與幾何圖形類問題的一般思路框架，同時進(jìn)一步消除學(xué)生對二次函數(shù)問題的畏難情緒，發(fā)展學(xué)生的模型觀念核心素養(yǎng).

3" 落實核心素養(yǎng)，全面規(guī)劃整個復(fù)習(xí)教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.”［1］從學(xué)生學(xué)的立場來說，“解題學(xué)習(xí)”同樣需要學(xué)生親自獨立地進(jìn)行解題活動，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維，在群體活動中有所發(fā)現(xiàn)和體驗，體會和運用數(shù)學(xué)的思想和方法，從而獲得基本活動經(jīng)驗.在有意義的“問題解決”過程中，逐步提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.1" 問題驅(qū)動，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

問題是數(shù)學(xué)的心臟，興趣是學(xué)習(xí)的動力.對于復(fù)習(xí)課，若老生常談式地從基礎(chǔ)復(fù)習(xí)到例題講解再到強化訓(xùn)練，課堂中學(xué)生一點興趣都沒有，僅是被動聽講模仿練習(xí).本節(jié)課以開放型問題引入，引導(dǎo)學(xué)生提出種種問題假設(shè)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，極大地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，學(xué)生情緒高漲，積極發(fā)言并提出問題，在爭相解決問題的過程中鞏固陳述性知識，形成對二次函數(shù)與圖形類問題的整體認(rèn)識，發(fā)展學(xué)生的直觀思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和模型觀念等核心素養(yǎng).

3.2" 變式推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究

在從“一個角為直角”到“一個三角形為直角三角形”再到“一個三角形為銳角三角形”，從“y軸上找點”到“拋物線上找點”再到“動直線上找點”.循環(huán)推進(jìn)的過程中，用“變式”鋪設(shè)思維的臺階，在對原問題的抽象過程中，不斷推進(jìn)得到更多“半等價”問題，讓學(xué)生在探究中感受“理解題意”的重要性，體會分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想，以提升學(xué)生運算能力、推理能力、幾何直觀等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使核心素養(yǎng)落地生根.

整個過程中教師的作用在于引導(dǎo)，給予學(xué)生自主的解決問題的空間，一節(jié)課能推進(jìn)到哪個變式環(huán)節(jié)由學(xué)生的課堂表現(xiàn)而定，教師以學(xué)生為主體做到“順勢而為”，提供多樣化的教學(xué)手段，針對問題特點設(shè)置獨立解答、合作討論、相互補充等多種形式.讓學(xué)生在“拾級而上”的過程中，不斷地將散落的、零碎的知識點串聯(lián)成相關(guān)的知識鏈，在群體性認(rèn)知過程中內(nèi)化知識建構(gòu).

3.3" 模型輔助，助力學(xué)生構(gòu)建路徑

此前，在獨立幾何情境中，學(xué)生已較好掌握了構(gòu)造“K型相似”求解邊長類問題的模型，因此在遇到平面直角坐標(biāo)系中的直角問題時，直接遷移應(yīng)用此模型能縮減思維長度.［2］但在總結(jié)時，教師需要強調(diào)知識原型，這便于學(xué)生在后續(xù)處理變換類問題中進(jìn)行類比聯(lián)想，更進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和形象思維，有助于學(xué)生探尋并形成自己的基本解題路徑.

不少教師在總結(jié)直角類型的解題模型時，會強調(diào)“兩線一圓”，但讓學(xué)生理解分類依據(jù)，通過畫圖進(jìn)一步探究分析，能形成圖形認(rèn)知，并為后續(xù)解決銳角三角形的問題提供合理猜想.在群體的探究過程中，自主建構(gòu)出解決一類問題的“模型”，這樣的探究歷程更能為后續(xù)解決二次函數(shù)與其他幾何類圖形問題提供可遷移路徑.

3.4" 小組合作，強化基本活動經(jīng)驗

解題教學(xué)中，不能只重視“是否找到方法或得出結(jié)果”，更應(yīng)著眼于學(xué)生的參與過程和質(zhì)量，著眼于解題探究中的體悟和經(jīng)驗.通過對條件的深度分析、對問題的類比聯(lián)想、對解法的嘗試優(yōu)化、對錯解的剖析重建，學(xué)生的抽象能力、幾何直觀、推理能力、運算能力、建模觀念等核心素養(yǎng)得到了提升.學(xué)生以小組合作的方式，在親身實踐中突破難點，建立數(shù)形聯(lián)系，感受分類價值，體會價值歸一.在此過程中所有的知識、技能都成為發(fā)展提升學(xué)生核心素養(yǎng)的手段和衍生物，提升核心素養(yǎng)才是本節(jié)課教學(xué)的根本目標(biāo).

越來越多的教師在概念建構(gòu)、命題學(xué)習(xí)、實際問題等新授課的教學(xué)中重視起學(xué)生的主導(dǎo)地位.但在解題教學(xué)中，尤其是初三復(fù)習(xí)課中，部分教師因顧慮課時、學(xué)生層次等多種因素，將課堂變成“一言堂”，嚴(yán)重壓縮學(xué)生的思考空間.解題教學(xué)中，應(yīng)把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生的主要任務(wù)從“解題”還原回“思考”，讓學(xué)生在解題中經(jīng)歷猜想、試誤、探究、建構(gòu)、檢驗、反思的過程，在具體的學(xué)習(xí)活動中提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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［3］喻平.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)與評價研究［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

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