【摘 要】準(zhǔn)變量思維在學(xué)生小初思維銜接中起著重要作用。教師教學(xué)時(shí)基于新課標(biāo)理念，通過增強(qiáng)全域觀念、錨定種子資源、滲透方程思想、激活抽象能力等策略，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思維；準(zhǔn)變量思維；全域觀念；種子資源；方程思想；抽象能力

【中圖分類號】G623.5" 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）37-0046-05

【作者簡介】1.孫朝仁，江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院（江蘇蘇州，215004）教育發(fā)展研究所所長，正高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師；2.劉玉勇，江蘇省蘇州高新區(qū)文昌實(shí)驗(yàn)小學(xué)校（江蘇蘇州，215151）教科室主任，高級教師，蘇州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)思維發(fā)展是人的發(fā)展和社會發(fā)展的應(yīng)然追求。在思維的諸多分類中，算術(shù)思維和代數(shù)思維是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)的兩大基本思維形式，介于其間的準(zhǔn)變量思維則是一座融合二者的橋梁，具有較高的理論和實(shí)踐價(jià)值。

一、準(zhǔn)變量思維的內(nèi)涵解讀

準(zhǔn)變量思維是基于算術(shù)思維和代數(shù)思維融合需求而產(chǎn)生的概念。算術(shù)思維是主要通過運(yùn)算關(guān)系進(jìn)行“執(zhí)果索因”或“由因?qū)Ч钡某绦蚴剿季S，它關(guān)注數(shù)或數(shù)量的運(yùn)算求解；代數(shù)思維是重視關(guān)系、結(jié)構(gòu)和模式的整體性思維，它注重對符號、變量和式的運(yùn)算理解，繼而發(fā)現(xiàn)新的關(guān)系、結(jié)構(gòu)和模式。不難發(fā)現(xiàn)，兩者之間存在較大的差異，需要一定的思維中介來彌合。

這一中介就是準(zhǔn)變量思維。準(zhǔn)變量思維是識別、提取并運(yùn)用所隱含的代數(shù)關(guān)系、結(jié)構(gòu)或模式，對非符號化的語句或表達(dá)式進(jìn)行準(zhǔn)變量式、準(zhǔn)代數(shù)式的轉(zhuǎn)換和表達(dá)，從而實(shí)現(xiàn)“代數(shù)地思考”。簡言之，即把“數(shù)”當(dāng)“式”計(jì)算，就是先不考慮具體的結(jié)果，而是提取、變換、生成新的關(guān)系、結(jié)構(gòu)或模式。因其具有中介特性，故準(zhǔn)變量思維常常被認(rèn)為是學(xué)生從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維的“最近發(fā)展區(qū)”。

日本學(xué)者利明·藤井和澳大利亞學(xué)者麥克斯·斯蒂芬斯經(jīng)過研究指出：即使在解釋和使用作為變量標(biāo)記的文字符號之前，學(xué)生也能夠進(jìn)行“準(zhǔn)變量思維”。比如，當(dāng)學(xué)生從一般化的視角解釋“為什么‘56-27+27=56’這樣的算式是對的”時(shí)，他們的準(zhǔn)變量思維就已經(jīng)顯現(xiàn)出來了。這是因?yàn)椋m然學(xué)生或許還不明白“56-a+a=56”這樣的等式的普遍適用范圍，但它們可以幫助學(xué)生逐步理解更為正式的變量符號。

在小學(xué)階段，學(xué)生的算術(shù)思維占比較大，初中階段則更為側(cè)重代數(shù)思維，算術(shù)思維和代數(shù)思維之間存在著復(fù)雜的非線性關(guān)系?！跋人阈g(shù)，后代數(shù)”的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)，使得不少學(xué)生難以適應(yīng)從計(jì)算訓(xùn)練到抽象代數(shù)思維的突然轉(zhuǎn)變。隨著新課改的深入，算術(shù)思維與代數(shù)思維的融合引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。算術(shù)思維向代數(shù)思維的發(fā)展可能出現(xiàn)四種基本樣態(tài)（如圖1），第一象限中的“強(qiáng)算術(shù)思維+強(qiáng)代數(shù)思維”是發(fā)展的理想目標(biāo)，當(dāng)然也可能發(fā)展為第二象限樣態(tài)，小學(xué)生多處于第三或第四象限狀態(tài)。培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維，將有助于他們發(fā)展代數(shù)思維。從內(nèi)容角度而言，準(zhǔn)變量思維讓算術(shù)思維和代數(shù)思維有了新的生長平臺，豐富了算術(shù)思維和代數(shù)思維發(fā)展的廣度與深度。但是，準(zhǔn)變量思維的培養(yǎng)不是一蹴而就的。教師教學(xué)時(shí)既要在知識和能力上關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，更要引導(dǎo)他們在數(shù)學(xué)思想和學(xué)習(xí)習(xí)慣上進(jìn)行雙效提升。

二、準(zhǔn)變量思維的培養(yǎng)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）提出的“三會”目標(biāo)，在一定程度上已經(jīng)架構(gòu)出了準(zhǔn)變量思維的培養(yǎng)框架。其中，“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”指向算術(shù)思維的背景理解和代數(shù)思維的概念抽象，形成關(guān)系結(jié)構(gòu)；“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”指向算術(shù)思維的運(yùn)算和代數(shù)思維的邏輯推理，形成理性精神；“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”指向算術(shù)思維的數(shù)據(jù)意識和代數(shù)思維的概括模型，形成實(shí)踐應(yīng)用能力。教師在教學(xué)中要基于新課標(biāo)理念，有效培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。

1.增強(qiáng)全域觀念

加拿大學(xué)者路易斯·拉弗德對代數(shù)及其小學(xué)生的代數(shù)思維分析發(fā)現(xiàn)，思維是一個(gè)“物質(zhì)—想象”的動態(tài)系統(tǒng)，對于思維的研究應(yīng)作為一個(gè)全域的整體來展開，這里的整體包括鄰近知識系統(tǒng)的整體化，也包含不同知識系統(tǒng)和跨學(xué)科知識的整體化。新課標(biāo)提出要“整體把握教學(xué)內(nèi)容”“重視教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”“關(guān)注教學(xué)環(huán)節(jié)的整體設(shè)計(jì)”“形成跨學(xué)科的應(yīng)用意識與實(shí)踐能力”等，恰好與上述主張相對應(yīng)。

“數(shù)形結(jié)合”“跨學(xué)科”等關(guān)鍵詞與思維的全域化相關(guān)聯(lián)。教師在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生形成全域化思維結(jié)構(gòu)的意識，這有利于他們準(zhǔn)變量思維的自我孵化；在跨域的數(shù)學(xué)教學(xué)中通過尋找不同域知識的共性，有助于學(xué)生運(yùn)用準(zhǔn)變量思維實(shí)現(xiàn)從算術(shù)關(guān)系到代數(shù)關(guān)系的實(shí)踐轉(zhuǎn)變。

其一，通過數(shù)形結(jié)合促進(jìn)學(xué)生發(fā)展準(zhǔn)變量思維。數(shù)形結(jié)合是一種常見的跨域準(zhǔn)變量思維。以形來量數(shù)，以數(shù)可定形。充分利用數(shù)形結(jié)合，有助于學(xué)生實(shí)現(xiàn)具象思維和抽象思維的準(zhǔn)變量運(yùn)作。通過對數(shù)和形的屬性、關(guān)系及結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比、概括、抽象，有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)代數(shù)思維的整體性和結(jié)構(gòu)化抽象表達(dá)。如圖2所示，在一個(gè)立體圖形（如圓柱、長方體、三棱柱等）中豎直貫穿挖去一個(gè)與原來形體等高的其他立體圖形，通過字母抽象（原立體圖形的底面積為S1，挖去的立體圖形的底面積為S2，高為h），對每個(gè)空心立體圖形的體積進(jìn)行準(zhǔn)變量推理，可以得到：V=S1h-S2h=（S1-S2）h。也就是說，通過準(zhǔn)變量字母表達(dá)和推演，由原來基于數(shù)據(jù)進(jìn)行算術(shù)思維的體積數(shù)值計(jì)算（體積差），可得到代數(shù)思維的關(guān)系表達(dá)——體積=底面積差×高，從而實(shí)現(xiàn)不同形體計(jì)算方法的一致性。

其二，通過跨學(xué)科學(xué)習(xí)助力學(xué)生發(fā)展準(zhǔn)變量思維?？鐚W(xué)科學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。具有跨學(xué)科性質(zhì)的學(xué)科實(shí)踐是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，基于生活的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)多呈現(xiàn)出算術(shù)思維的特性，而對生活中的數(shù)學(xué)進(jìn)行抽象、主題化或項(xiàng)目化后，則容易讓準(zhǔn)變量思維得到運(yùn)用，從而有助于學(xué)生形成代數(shù)思維。如圖3所示，從左圖兩組物體質(zhì)量的天平平衡關(guān)系到右圖不同數(shù)量的等距離長度和兩個(gè)質(zhì)量的平衡關(guān)系，都源于生活經(jīng)驗(yàn)，通過觀察思考可以發(fā)現(xiàn)，兩者存在同樣的等量關(guān)系，即兩個(gè)圓形物體的質(zhì)量之和等于四個(gè)星形物體的質(zhì)量之和，繼而可以抽象為“6×2=？×4”這樣的準(zhǔn)方程，這里將生活、科學(xué)、數(shù)學(xué)進(jìn)行跨領(lǐng)域、跨學(xué)科融合，有助于學(xué)生實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)變量思維的發(fā)展和運(yùn)用。教師還可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生通過此準(zhǔn)方程進(jìn)行生活聯(lián)想，尋找生活中相關(guān)的例子，促進(jìn)他們在準(zhǔn)變量思維的溝通下實(shí)現(xiàn)算術(shù)思維和代數(shù)思維的共同發(fā)展。

2.錨定“種子”資源

小學(xué)階段有不少利于培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)變量思維的教學(xué)內(nèi)容，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生充分運(yùn)用這些內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)化、概括、推理，從而促進(jìn)學(xué)生發(fā)展準(zhǔn)變量思維，提升思維品質(zhì)。

其一，特定的教學(xué)單元結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)變量思維的抓手?，F(xiàn)有各版本教材都安排了一些具有規(guī)律性或思想性的教學(xué)內(nèi)容，如蘇教版教材中的“一一列舉”和人教版教材中的“烙餅問題”，都是以有序、不重復(fù)、不遺漏的列舉為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從有限數(shù)到不確定數(shù)的演變過程的，這有助于促進(jìn)他們實(shí)現(xiàn)代數(shù)思維的萌芽與發(fā)展。

其二，小學(xué)計(jì)算教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)變量思維的保障。在現(xiàn)代公理體系下，數(shù)學(xué)推理可以實(shí)現(xiàn)從一個(gè)命題判斷到另一個(gè)命題邏輯的思維過程。概括是學(xué)習(xí)代數(shù)的一種有效途徑，基于概括的歸納推理有利于思維創(chuàng)新，基于應(yīng)用的演繹推理有利于實(shí)證和遷移。如9+5的計(jì)算，若拆分成9+1+4，則屬于數(shù)學(xué)程序思維；若變換為（9+1）+（5-1），則更傾向于代數(shù)思維，看似繁雜了，卻是一種思維升級和創(chuàng)新。新課標(biāo)在計(jì)算中強(qiáng)化了計(jì)數(shù)單位的作用，倡導(dǎo)通過計(jì)數(shù)單位統(tǒng)整多種數(shù)的計(jì)算；在筆算中強(qiáng)化了橫式的重要性，提出在關(guān)注豎式算法的基礎(chǔ)上強(qiáng)化橫式的算理作用。如筆算18×23的橫式為“=18×（20+3）=18×20+18×3”，這種基于定律的轉(zhuǎn)化凸顯了算理代數(shù)思維的通用性，并能與豎式進(jìn)行算理和算法的有效對應(yīng)與銜接，還能用計(jì)數(shù)單位對復(fù)雜計(jì)算進(jìn)行一致解釋。可以發(fā)現(xiàn)，上述算式雖然沒有用字母表達(dá)，但其模型基礎(chǔ)是乘法分配律，具有典型的準(zhǔn)變量思維特點(diǎn)。

綜上，準(zhǔn)變量模型化發(fā)展一方面基于大量事實(shí)境脈，另一方面基于基本事實(shí)（定律、定理等）。在算術(shù)思維的表象要求下，定位好“種子”資源，教師在教學(xué)中多走幾步或許可以更好地促進(jìn)學(xué)生發(fā)展準(zhǔn)變量思維，從而實(shí)現(xiàn)算術(shù)思維和代數(shù)思維的有效銜接。

3.滲透方程思想

通過培養(yǎng)準(zhǔn)變量思維讓算術(shù)思維更好地向代數(shù)思維過渡，其實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)思想在個(gè)體思維中確立、完善、統(tǒng)領(lǐng)和運(yùn)用的過程。數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、模型等數(shù)學(xué)思想在上文已有所體現(xiàn)。其實(shí)，在小學(xué)階段滲透方程思想和函數(shù)思想，對于學(xué)生發(fā)展準(zhǔn)變量思維、形成代數(shù)思維也尤為重要。

我國最早的方程解法起源于古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“秦九韶算法”。充滿代數(shù)思維的方程讓很多數(shù)學(xué)家折服。法國數(shù)學(xué)家笛卡爾曾指出：任何問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，任何數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，任何代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為方程問題。我國數(shù)學(xué)家吳文俊教授也認(rèn)為：四則運(yùn)算的難題可以借助代數(shù)進(jìn)行突破。由此可見方程在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決中的重要性，可以說，方程是代數(shù)思維的重要起點(diǎn)。

新課標(biāo)將簡易方程移至了初中階段。在小學(xué)階段，教師需要更加重視引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中理解等式的性質(zhì)，用字母表示事物的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律，感受字母表達(dá)的一般性，其目的在于更好地和初中代數(shù)式、方程、不等式、直角坐標(biāo)系、函數(shù)及統(tǒng)計(jì)等進(jìn)行銜接，充分體現(xiàn)方程的代數(shù)思維價(jià)值，實(shí)現(xiàn)知識體系的階段性和一致性。其實(shí)，現(xiàn)有教材編排也充分體現(xiàn)了準(zhǔn)變量思維培養(yǎng)的理念。如蘇教版五下《簡易方程》，教材要求學(xué)生聯(lián)系天平保持平衡的過程，思考等式如何變化后其結(jié)果還是等式。（如圖4）從具體數(shù)字的變化到字母抽象的一般化，從單一字母到多個(gè)字母，讓學(xué)生通過準(zhǔn)變量思維的推進(jìn)充分理解等式的性質(zhì)，為他們利用等式的性質(zhì)并以代數(shù)化解方程奠定了基礎(chǔ)。

另外，新課標(biāo)將反比例移至初中學(xué)習(xí)，保留“成正比例的量的認(rèn)識”這一內(nèi)容。在成正比例的量之間關(guān)系的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助列表或畫圖的方法分析量的對應(yīng)和變化，探索成正比的量的變化規(guī)律和變化趨勢，通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維，促進(jìn)學(xué)生從算術(shù)思維走向代數(shù)思維，為初中學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、方程及其他函數(shù)等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。

4.激活抽象思維能力

史寧中教授認(rèn)為，抽象是從許多事物中舍棄個(gè)別的非本質(zhì)屬性，得到共同的本質(zhì)屬性的思維過程，是形成概念的必要手段。抽象可以把現(xiàn)實(shí)世界的東西抽取變成數(shù)學(xué)的研究對象，實(shí)現(xiàn)一般化代數(shù)思維的過程，繼而實(shí)現(xiàn)表示、論證和推理的代數(shù)思維的發(fā)展。抽象包含對數(shù)或關(guān)系進(jìn)行抽象，通常通過符號來實(shí)現(xiàn)。從某種意義上來說，抽象的過程也是準(zhǔn)變量思維發(fā)展的過程。英國數(shù)理邏輯學(xué)家羅素說：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯?！睌?shù)學(xué)家萊布尼茨說：“符號的巧妙和符號的藝術(shù)，是人們絕妙的助手，因?yàn)樗鼈兪顾伎脊ぷ鞯玫焦?jié)約。在這里它以驚人的形式節(jié)省了思維?！币虼耍覀儠l(fā)現(xiàn)，世界都是以符號和符號關(guān)系來呈現(xiàn)的，這里的符號是抽象的產(chǎn)物，更是代數(shù)思維的原料。

抽象出的符號是一個(gè)廣義的概念，不一定都用字母來表示，也可以用自然語言、圖形、手勢、行為和節(jié)奏等來表示。不少定理、公式（如S=vt）都是在各單詞中選取首字母實(shí)現(xiàn)符號化，此處對數(shù)量的抽象包含語言意義、關(guān)系境脈和字母呈現(xiàn)等多重抽象表征。數(shù)軸在小學(xué)（數(shù)線）和初中（數(shù)軸、坐標(biāo)）的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到了很重要的抽象和準(zhǔn)變量的銜接作用，從自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)到相反數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)，都能在數(shù)軸上找到相應(yīng)的點(diǎn)，如數(shù)軸上的某點(diǎn)A，其字母實(shí)際上可能是多種數(shù)的一般表示。小學(xué)的數(shù)線模型銜接初中的數(shù)軸概念，將實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，將順序關(guān)系、絕對值、運(yùn)算等融入代數(shù)思維。若把數(shù)軸“拉”為面，則從長度的數(shù)或數(shù)量的抽象提升成了面積數(shù)量關(guān)系式的抽象，為坐標(biāo)、函數(shù)等關(guān)系抽象提供支撐，再次實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)變量思維推動下的代數(shù)思維發(fā)展。

法國數(shù)學(xué)家、“代數(shù)學(xué)之父”韋達(dá)通過引進(jìn)符號系統(tǒng)促進(jìn)了代數(shù)學(xué)的發(fā)展，開辟了數(shù)學(xué)的新篇章。字母表示數(shù)或式子是學(xué)習(xí)方程、函數(shù)的基礎(chǔ)，其重要性在新課標(biāo)中也有所體現(xiàn)。如新課標(biāo)要求學(xué)生“經(jīng)歷用字母表示數(shù)的過程”“形成符號意識、運(yùn)算能力、推理意識”“能用字母表示數(shù)量關(guān)系和規(guī)律”，提出“學(xué)生先經(jīng)歷從數(shù)量到數(shù)、從數(shù)量的多少到數(shù)的大小的抽象過程，然后經(jīng)歷字母表示數(shù)的進(jìn)一步的抽象過程”。字母進(jìn)入代數(shù)思維的發(fā)展，伴隨著字母變量化的發(fā)展，用字母表示思維呈現(xiàn)出動態(tài)過程和靜態(tài)對象的融合屬性。變量和定量是代數(shù)思維的基本因子，像π這樣的字母表示圓周率，從表象上看是定值，其實(shí)蘊(yùn)含著C÷d中兩個(gè)變量之間的動態(tài)對應(yīng)關(guān)系。其雙重屬性，讓圓相關(guān)周長和面積的計(jì)算、圓柱的表面積和體積計(jì)算、圓錐體積的計(jì)算，在運(yùn)算中既可用算術(shù)思維數(shù)值表示結(jié)果，也可用含有π的式子來呈現(xiàn)關(guān)系。因此，看似算術(shù)思維的定量π中其實(shí)蘊(yùn)含著變量結(jié)構(gòu)，是培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)變量思維的很好資源。

綜上所述，要更好地培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維，教師需要充分做好知識、能力等方面的準(zhǔn)備，也要有數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)下創(chuàng)新課堂的行動呈現(xiàn)，還要整體把握教材，基于新課標(biāo)理念深度滲透數(shù)學(xué)思想，開發(fā)更加科學(xué)合理的思維評價(jià)方式。

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［5］張丹.如何理解和發(fā)展代數(shù)思維：讀《早期代數(shù)思維的認(rèn)識論、符號學(xué)及發(fā)展問題》有感（上）［J］.小學(xué)教學(xué)：數(shù)學(xué)版，2012（11）：5-7.

［6］劉久成，劉久勝.代數(shù)思維及其教學(xué)［J］.課程·教材·教法，2015，35（12）：76-81.

［7］徐文彬.如何在算術(shù)教學(xué)中也教授代數(shù)思維［J］.江蘇教育，2013（33）：16-17.

［8］張丹.如何理解和發(fā)展代數(shù)思維：讀《早期代數(shù)思維的認(rèn)識論、符號學(xué)及發(fā)展問題》有感（下）［J］.小學(xué)教學(xué)：數(shù)學(xué)版，2012（12）：4-6.