摘" 要：“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”作為初中數(shù)學(xué)平面幾何問(wèn)題中一種經(jīng)典的添加輔助線(xiàn)的方法，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性，更是解決線(xiàn)段之間數(shù)量關(guān)系問(wèn)題的利器.基于此，筆者探討“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”的含義，舉例說(shuō)明其在平面幾何問(wèn)題中的應(yīng)用，并給出教學(xué)啟示，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

關(guān)鍵詞：平面幾何；“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”；全等三角形；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）35-0038-03

收稿日期：2024-09-15

作者簡(jiǎn)介：江同營(yíng)（1981.2—），男，江蘇省沛縣人，本科，中小學(xué)高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在初中平面幾何問(wèn)題中，線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的一大挑戰(zhàn)，也是學(xué)生普遍感到困惑的難點(diǎn)之一.“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”以其獨(dú)特的思維方式，為解決這類(lèi)問(wèn)題提供了一種有效途徑.筆者將從“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”的特征出發(fā)，分析其基本含義，并通過(guò)典型例題探討具體應(yīng)用策略.

1" “截長(zhǎng)補(bǔ)短法”的含義及應(yīng)用策略

“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”，顧名思義，包含“截長(zhǎng)”與“補(bǔ)短”兩種策略.“截長(zhǎng)”指的是在一條較長(zhǎng)的線(xiàn)段上截取一段與某條較短線(xiàn)段相等的部分；“補(bǔ)短”則是將一條較短的線(xiàn)段延長(zhǎng)至與某條較長(zhǎng)線(xiàn)段相等的長(zhǎng)度.這兩種方法的核心在于通過(guò)構(gòu)造新的幾何圖形，從而揭示原圖形中隱藏的線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系［1］.

在利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”解決問(wèn)題的過(guò)程中，首先要選擇合適的基準(zhǔn)線(xiàn)段，即需要確定哪條線(xiàn)段作為基準(zhǔn)進(jìn)行截取或延長(zhǎng).通常情況下，需選擇與其他線(xiàn)段有較多關(guān)聯(lián)或易于構(gòu)造新圖形的線(xiàn)段作為基準(zhǔn).選擇好合適的線(xiàn)段之后，再構(gòu)造全等三角形.即截取或延長(zhǎng)線(xiàn)段后，需要構(gòu)造出與原圖形部分或完全相同的圖形，以便利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明.同時(shí)，要注意線(xiàn)段的相對(duì)位置.在截取或延長(zhǎng)線(xiàn)段時(shí)，需要仔細(xì)考慮新線(xiàn)段與原線(xiàn)段之間的相對(duì)位置關(guān)系，以確保所構(gòu)造的圖形符合題目要求.

2" 典型例題分析

基于以上分析，筆者通過(guò)一些典型例題探討“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”的具體應(yīng)用策略.

例1" ［方法探究］（1）如圖 1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C ，探究AC，AB，BD之間的數(shù)量關(guān)系.

嘉銘同學(xué)思考發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”兩種方法解決問(wèn)題.

思路1：如圖2，在A(yíng)C上截取AE，使AE=AB，連接DE，可以得到全等三角形，從而解決此問(wèn)題.

思路2：如圖 3，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使BE=BD，連接DE，可以得到等腰三角形，從而解決此問(wèn)題.

請(qǐng)你選擇其中一種方法的解題思路，寫(xiě)出解題過(guò)程.

（2）［遷移應(yīng)用］如圖 4，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，∠B=2∠C，AD⊥BC于D， 探究CD，AB，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（3）［拓展延伸］ 如圖5，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD.以CD為邊在CD上方作等邊△CDE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.若∠G=∠ACE，求證：GF=AE+AF.

解析" （1）方法1：如圖2，因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD.在△BAD和△EAD中，因?yàn)锳D=AD，∠BAD=∠EAD，AB=AE，所以△ABD≌△AED，所以BD=ED，∠AED=∠ABC=2∠C.因?yàn)椤螦ED=∠C+∠EDC，所以∠EDC=∠C，所以EC=ED=BD，所以AC=AE+EC=AB+BD.

方法2：如圖3，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使BE=BD，連接DE，則∠E=∠BDE.因?yàn)椤螦BD=2∠C，

∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E，所以∠C=∠E.因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD.在△EAD和△CAD中，因?yàn)椤螮AD=∠CAD，∠E=∠C，AD=AD，所以△EAD≌△CAD.由此可知AE=AC.因?yàn)锳E=AB+BE=AB+BD，所以AC=AB+BD.

（2）如圖6，在CD上截取DE=DB，連接AE.因?yàn)锳D⊥BC，所以AE=AB，∠AEB=∠B.因?yàn)椤螦EB=∠C+∠CAE，∠B=2∠C，所以∠C+∠CAE=2∠C，所以∠CAE=∠C，所以EA=EC，所以CD=CE+ED=AE+DB=AB+DB.

（3）如圖7所示，因?yàn)椤鰽BC，△CDE為等邊三角形，所以∠ACB=∠ECD=60°，CA=CB，CE=CD，所以∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB=∠BCD，所以∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，因?yàn)镃A=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，所以△ACE≌△BCD，所以∠EAC=∠DBC=120°，所以∠ACE+∠AEC=60°.

過(guò)D作DH//AE，交AG于點(diǎn)H，則∠EAF=∠FHD.因?yàn)镕是ED的中點(diǎn)，所以EF=FD.在△AEF和△HDF中，因?yàn)椤螦FE=∠HFD，EF=DF，∠EAF=∠DHF，所以△AEF≌△HDF，所以AF=HF，AE=DH，∠AEF=∠HDF.因?yàn)椤螱DF=180°-∠CDE=180°-60°=120°，所以 ∠HDF+∠GDH=∠GDF=120°.又因?yàn)椤螦EF+∠ACE=∠FEC+∠AEC+∠ACE=60°+60°=120°，所以∠GDH=∠ACE.又因?yàn)?∠G=∠ACE，所以∠G=∠GDH，所以GH=HD=AE，所以GF=GH+HF=AE+AF.

點(diǎn)評(píng)" 本題主要考查“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”的綜合運(yùn)用.第（1）問(wèn)的思路1是典型的“截長(zhǎng)法”，通過(guò)在△ABC的AC邊上截取線(xiàn)段AE=AB，再連接DE，從而構(gòu)造出全等三角形，即△ABD≌△AED，再利用全等三角形的性質(zhì)將線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可證明AC=AB+BD.而第（1）問(wèn)的思路2則是典型的“補(bǔ)短法”，通過(guò)將△ABC的AB邊延長(zhǎng)到點(diǎn)E，得到BE=BD，再連接DE，從而構(gòu)造出全等三角形，即△ABE≌△ADC，再利用全等三角形的性質(zhì)將線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可證明AC=AB+BD.由此可以發(fā)現(xiàn)，“截長(zhǎng)法”和“補(bǔ)短法”的解題思路類(lèi)似，都是通過(guò)作一條與已知線(xiàn)段等長(zhǎng)的線(xiàn)段，從而構(gòu)造出全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解題.因此，“截長(zhǎng)法”和“補(bǔ)短法”是相輔相成的兩種解題方法.第（1）問(wèn)幫助學(xué)生熟悉“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”，為解答后兩問(wèn)提供了鋪墊.第（2）問(wèn)和第（3）問(wèn)采用的也是“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”，具體來(lái)說(shuō)是“截長(zhǎng)法”，但難度更大，要求學(xué)生深刻掌握“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”的本質(zhì)，并靈活運(yùn)用其解決問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高［2］.

3" 教學(xué)啟示

“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”作為幾何學(xué)中一種常用的解題策略，其教學(xué)價(jià)值不僅體現(xiàn)在解決具體問(wèn)題上，更體現(xiàn)在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力上.

3.1" 培養(yǎng)邏輯思維和問(wèn)題解決能力

“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”要求學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜幾何問(wèn)題時(shí)，能夠識(shí)別出問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，并通過(guò)構(gòu)造輔助線(xiàn)簡(jiǎn)化問(wèn)題.這一過(guò)程鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力，使他們學(xué)會(huì)如何將大問(wèn)題分解為小問(wèn)題，并逐步解決.同時(shí)，通過(guò)不斷嘗試和調(diào)整，學(xué)生能夠?qū)W會(huì)有效應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn)，進(jìn)而提升其問(wèn)題解決能力.

3.2" 加深學(xué)生對(duì)幾何概念的理解

“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”的應(yīng)用往往需要學(xué)生深入理解幾何中的基本概念和性質(zhì)，如平行、垂直、等腰三角形、直角三角形、全等三角形等.在運(yùn)用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”解題的過(guò)程中，學(xué)生需要反復(fù)運(yùn)用這些概念和性質(zhì)，從而加深對(duì)它們的理解和記憶.這種基于理解的學(xué)習(xí)，有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

3.3" 促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展

“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度審視問(wèn)題，尋找多種可能的解決方案.在解題過(guò)程中，學(xué)生需要發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力，嘗試?yán)貌煌姆绞綐?gòu)造輔助線(xiàn)，以找到最簡(jiǎn)潔、最有效的解題方法.這種嘗試和探索的過(guò)程能夠促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力［3］.

3.4" 提升學(xué)生對(duì)幾何圖形的直觀(guān)感知能力

“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”往往涉及對(duì)幾何圖形的直觀(guān)操作和觀(guān)察.通過(guò)動(dòng)手繪制圖形、截取或延長(zhǎng)線(xiàn)段等操作，學(xué)生可以更直觀(guān)地感知圖形的變化和性質(zhì).這種直觀(guān)感知能力的提升，有助于學(xué)生在未來(lái)的學(xué)習(xí)中更好地理解和應(yīng)用幾何知識(shí).

4" 結(jié)束語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”的教學(xué)價(jià)值在于它不僅能夠幫助學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決具體的幾何問(wèn)題，更在于它對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、問(wèn)題解決能力、幾何概念理解、創(chuàng)新思維發(fā)展的深遠(yuǎn)影響，能夠有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］ 周影.靈活運(yùn)用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法求證線(xiàn)段的和差關(guān)系：一道中考題的多種解法及策略分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（6）：78-79.

［2］ 袁魁.初中數(shù)學(xué)“截長(zhǎng)補(bǔ)短”模型的分析［J］.現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2024（4）：25-26.

［3］ 賈立娟.用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”巧解線(xiàn)段和差問(wèn)題［J］.數(shù)理天地（初中版），2022（2）：6-7.

［責(zé)任編輯：李" 璟］