摘"要：“最美十大實(shí)驗(yàn)”之一的卡文迪什扭秤實(shí)驗(yàn)被選入了2019年人教版高中物理必修第二冊(cè)教科書的“拓展學(xué)習(xí)”模塊。但在高中物理教學(xué)中，關(guān)于卡文迪什扭秤實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)研究較少。首先，本文從經(jīng)典卡文迪什扭秤實(shí)驗(yàn)的原貌入手，描述了卡文迪什扭秤裝置構(gòu)造及其發(fā)展歷史。其次，本文分析了實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的難點(diǎn)及其成因，并探討了利用科學(xué)方法來(lái)解決這些問題。最后，本文旨在通過深刻理解卡文迪什扭秤實(shí)驗(yàn)，為教學(xué)實(shí)踐提供創(chuàng)新性啟示。

關(guān)鍵詞：物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)；卡文迪什扭秤實(shí)驗(yàn)；問題解決；教學(xué)研究

卡文迪什扭秤實(shí)驗(yàn)不僅在物理學(xué)史上有著重要的地位和深遠(yuǎn)的影響，還對(duì)當(dāng)下的物理教學(xué)有著重要的實(shí)踐意義。該實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與操作中遇到了許多實(shí)際問題，運(yùn)用科學(xué)方法來(lái)解決這些問題的過程成為了實(shí)驗(yàn)教學(xué)的優(yōu)秀素材，這有助于培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際物理問題的能力。

1"卡文迪什扭秤實(shí)驗(yàn)原貌

1.1"測(cè)量引力常量的歷史困難及原因

經(jīng)典力學(xué)奠基人牛頓在提出萬(wàn)有引力定律后，一直被引力常量的測(cè)量難題困擾，他終生都未能解決這一難題。歷史上有人嘗試?yán)蒙襟w的引力測(cè)量引力常量，但未能得到精確結(jié)果。直至1798年，卡文迪什才第一次得出較為精確的引力常量數(shù)值。結(jié)合前人研究成果和物理學(xué)史記載，測(cè)量困難的原因主要有以下四個(gè)方面。

第一，萬(wàn)有引力十分微弱。萬(wàn)有引力是四種基本相互作用力中最微弱的，只有在質(zhì)量巨大的物體之間，引力的作用效果才變得明顯。與生活中常見的電磁力相比，萬(wàn)有引力要弱得多；通常電磁力比萬(wàn)有引力強(qiáng)約1039倍（例如單電子與單質(zhì)子相互作用時(shí)）。因此，在測(cè)量萬(wàn)有引力很容易受到諸如電磁力等其他作用力的干擾，從而增加了測(cè)量的難度。

第二，引力作用不可屏蔽。任何具有質(zhì)量的兩個(gè)物體之間都存在萬(wàn)有引力，具萬(wàn)有引力無(wú)法被屏蔽。在任何實(shí)驗(yàn)中，無(wú)論我們測(cè)量哪兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力，都會(huì)受到周圍所有物體產(chǎn)生的萬(wàn)有引力的影響［1］，這就給萬(wàn)有引力的測(cè)量帶來(lái)了巨大的麻煩。由于萬(wàn)有引力的不可屏蔽性，我們無(wú)法做到在測(cè)量中徹底消除其他物體的影響，只能通過一些方法來(lái)削弱其他引力的干擾。

第三，引力常量無(wú)法用其他基本物理常量表示。由于引力常量十分微弱且難以直接測(cè)量，因此，通過探索其他基本物理常量來(lái)間接得出其數(shù)值也是一種不錯(cuò)的辦法。但直至今日，人們都沒有找到引力常量與其他基本物理常量之間的關(guān)系。所以，這種間接測(cè)量的方法目前還行不通。

第四，測(cè)量技術(shù)水平影響測(cè)量結(jié)果的精度。引力常量的測(cè)量離不開技術(shù)支撐，沒有先進(jìn)的實(shí)驗(yàn)技術(shù)很難得出高精度的數(shù)值。因此，利用技術(shù)改進(jìn)實(shí)驗(yàn)裝置是提升實(shí)驗(yàn)精度的重要途徑。

1.2"經(jīng)典卡文迪什扭秤設(shè)計(jì)

卡文迪什計(jì)劃在實(shí)驗(yàn)室中測(cè)量引力常量與地球的質(zhì)量。擺在他面前的首要困難是萬(wàn)有引力太過微弱。如果在實(shí)驗(yàn)中不能測(cè)出物體間萬(wàn)有引力的大小，甚至連其產(chǎn)生的影響都觀測(cè)不到，那一切都是空談。不過，卡文迪什的老師米歇爾在測(cè)量磁鐵間的相互作用時(shí)發(fā)明了一種巧妙測(cè)量微小作用力的方法：即把一塊磁鐵用細(xì)絲懸掛起來(lái)，再用另一塊磁鐵與其發(fā)生力的作用，致使細(xì)絲發(fā)生扭轉(zhuǎn)；通過測(cè)量細(xì)絲的扭轉(zhuǎn)程度，可間接地計(jì)算出磁力大小。［2］受到老師這種方法的啟發(fā)，卡文迪什設(shè)計(jì)了一種用于測(cè)量萬(wàn)有引力的扭秤裝置（見圖1）。他用扭絲懸掛起兩端各置一個(gè)小鉛球的輕質(zhì)桿，在兩側(cè)用兩個(gè)大鉛球吸引小鉛球，使扭絲發(fā)生旋轉(zhuǎn)，這就是卡文迪什扭秤的雛形。

由于萬(wàn)有引力太過微弱，卡文迪什在實(shí)驗(yàn)初期未能觀測(cè)到扭絲有明顯的轉(zhuǎn)動(dòng)。于是他從扭絲材料的選擇、角度測(cè)量的手段和實(shí)驗(yàn)環(huán)境的掌控等多個(gè)方面，對(duì)扭秤進(jìn)行設(shè)計(jì)改良。

首先，卡文迪什采用石英絲作為扭絲。扭絲的特性對(duì)卡文迪什扭秤實(shí)驗(yàn)極其重要，因?yàn)榕そz的熱彈性、滯彈性、易老化以及非線性等特性，都會(huì)直接影響引力常量的測(cè)量精度。［3］因此，選擇合適的扭絲對(duì)實(shí)驗(yàn)的成功起著至關(guān)重要的作用。卡文迪什之所以選取石英絲作為扭絲，原因有兩個(gè)：其一，石英絲的扭轉(zhuǎn)常數(shù)很?。?］，這意味著即使是很小的作用力也能使其發(fā)生扭轉(zhuǎn)，便于測(cè)量扭轉(zhuǎn)角度；其二，石英絲比金屬材料有更低的內(nèi)耗，這有利于降低熱噪聲對(duì)扭秤運(yùn)動(dòng)的干擾和減小滯彈性效應(yīng)的影響，從而提高實(shí)驗(yàn)精度和測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度。

其次，卡文迪什利用光放大法測(cè)量扭轉(zhuǎn)角度。盡管卡文迪什選取扭轉(zhuǎn)常數(shù)很小的石英絲作為扭絲，但由于扭轉(zhuǎn)的角度較小，依舊難以測(cè)量。為了解決該問題卡文迪什試圖用光放大法將扭轉(zhuǎn)的角度放大［5］，具體做法是在扭絲上安裝一面小鏡子，通過鏡子的反射光的移動(dòng)來(lái)測(cè)算扭絲的扭轉(zhuǎn)角度。如此，微小的角位移經(jīng)過“光杠桿”的放大作用，就轉(zhuǎn)換成了坐標(biāo)紙上顯而易見的光點(diǎn)位移，從而使角度的測(cè)量問題迎刃而解。

最后，卡文迪什選擇在封閉黑暗的孤立環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。由于萬(wàn)有引力不僅十分微弱且不能被屏蔽，而且在實(shí)驗(yàn)過程中，小鉛球必然會(huì)受到除大鉛球以外的其他物體的引力干擾。實(shí)驗(yàn)人員和實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的一切物體，甚至連實(shí)驗(yàn)室外物體的移動(dòng)都會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)造成干擾。另外，氣壓、氣溫變化等因素也會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確度產(chǎn)生影響。為了有效防止了室內(nèi)氣溫變化等因素產(chǎn)生的空氣流動(dòng)干擾卡文迪什在封閉黑暗的環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。為了避免周圍物體的引力與地面震動(dòng)的影響，他在遠(yuǎn)處利用望遠(yuǎn)鏡對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行觀測(cè)，并安裝滑輪系統(tǒng)用來(lái)遠(yuǎn)程控制實(shí)驗(yàn)中物體的移動(dòng)。［6］

2"卡文迪什扭秤教學(xué)實(shí)驗(yàn)中的困難

雖然教學(xué)用的引力常數(shù)測(cè)定儀在卡文迪什扭秤的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，但教師在利用其進(jìn)行卡文迪什扭秤教學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，還是會(huì)遇到很多問題，仍需運(yùn)用適當(dāng)?shù)奈锢砜茖W(xué)方法巧妙地解決這些問題。

一是扭轉(zhuǎn)常量k的測(cè)量問題。扭轉(zhuǎn)常量k是與懸絲自身物理性質(zhì)相關(guān)的物理量，往往無(wú)法用測(cè)量?jī)x器直接測(cè)出。不同的懸絲有著不同的扭轉(zhuǎn)常量，即使材質(zhì)與規(guī)格完全相同的懸絲，也會(huì)因?yàn)樯a(chǎn)技術(shù)與儲(chǔ)存環(huán)境的不同存在差異。采用間接測(cè)量或替換的方法為解決扭轉(zhuǎn)常量k的測(cè)量問題提供了可能。

二是平衡位置的測(cè)定問題。扭秤的平衡位置對(duì)實(shí)驗(yàn)的最終結(jié)果有著至關(guān)重要的影響。但每次調(diào)節(jié)扭秤后，扭秤都會(huì)擺動(dòng)較長(zhǎng)的時(shí)間，再加上地面的震動(dòng)以及其他作用力的影響，使得扭秤很難真正靜止；這對(duì)靜態(tài)平衡位置的準(zhǔn)確測(cè)定十分不利。如果能探索一種在擺動(dòng)過程中即可測(cè)量靜態(tài)平衡位置的方法，那么扭秤難以靜止的問題便可得到解決。

三是反射光旋轉(zhuǎn)角的測(cè)得問題。扭秤旋轉(zhuǎn)角度的測(cè)量是通過懸絲上的凹面鏡轉(zhuǎn)換為反射光旋轉(zhuǎn)角的測(cè)量，使得微小的扭秤旋轉(zhuǎn)角度變?yōu)楸容^易于觀測(cè)的反射光旋轉(zhuǎn)角度。但反射光的旋轉(zhuǎn)角并不能直接用角度測(cè)量工具測(cè)出，同時(shí)還存在記錄與測(cè)量的困難。

3"教學(xué)實(shí)驗(yàn)問題的解決

3.1"周期測(cè)量法——避開扭轉(zhuǎn)常數(shù)的測(cè)量問題

卡文迪什扭秤教學(xué)實(shí)驗(yàn)通常依托引力常數(shù)測(cè)定儀，測(cè)定引力常量G值。根據(jù)已知扭秤在平衡狀態(tài)下必然滿足萬(wàn)有引力的力矩與扭絲的扭轉(zhuǎn)力矩相等，用公式表示可得

2GMmr2d＝k·α2。①

（注：其中M、m分別為裝置中大小鉛球的質(zhì)量，d為小鉛球到懸點(diǎn)的距離，大鉛球從初始位置旋轉(zhuǎn)到平衡位置時(shí)，所觀察到的反射光旋轉(zhuǎn)角記為α。由于測(cè)定儀中與扭絲相連的凹面鏡的作用，扭絲扭轉(zhuǎn)角度實(shí)際是觀察到的反射光旋轉(zhuǎn)角的二分之一，記為α2。）

將①子進(jìn)一步變形為

G＝kαr24Mmd。②

教學(xué)實(shí)驗(yàn)中，扭絲的扭轉(zhuǎn)常數(shù)k的測(cè)量是一個(gè)不易解決的難題。不過，扭轉(zhuǎn)常數(shù)k的確定依賴于扭擺周期。用累計(jì)法測(cè)量扭擺周期，不僅可以巧妙地避開扭轉(zhuǎn)常數(shù)k的測(cè)量難題，還能在引力常量的表達(dá)式中消去小鉛球質(zhì)量m，使得計(jì)算更加方便。

有學(xué)者指出，可以利用查表法獲取石英絲的扭轉(zhuǎn)常數(shù)。［7］然而，查表法看似方便，實(shí)際上并不可靠。因?yàn)椴煌⒔z有不同的物理參數(shù)，如純度、長(zhǎng)度、直徑和生產(chǎn)日期等均存在差異，這些差異會(huì)使扭轉(zhuǎn)常數(shù)存在差異，所以不能用一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)值來(lái)代表所有石英絲的扭轉(zhuǎn)常數(shù)。況且，查表法的前提是有表可查，我們往往無(wú)法查到實(shí)驗(yàn)所用的石英絲扭轉(zhuǎn)常數(shù)的可靠記載。鑒于以上情況，為尋找更科學(xué)可靠的方法，下文再次分析實(shí)驗(yàn)原理。

每次調(diào)整扭秤時(shí)，它都會(huì)因?yàn)槲⑿_動(dòng)而往返扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。在忽略空氣阻尼的情況下，扭秤轉(zhuǎn)動(dòng)為角簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。扭絲在恢復(fù)力的作用下，繞豎直軸的方向做往復(fù)扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

由胡克定律可知

M＝－kθ，③

式中M為扭絲的回復(fù)力矩、k為扭轉(zhuǎn)常數(shù)、θ為扭絲的扭轉(zhuǎn)角度。

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得

M＝Iβ，④

式中的β為扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角加速度，I為與扭絲相連的輕桿與小鉛球構(gòu)成的系統(tǒng)繞豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

如果忽略輕桿的質(zhì)量，則有

I＝2md2，⑤

式中的m為小鉛球的質(zhì)量、d為小鉛球到懸點(diǎn)的距離。

由角加速度的定義，可得

β＝d2θdt2。⑥

聯(lián)立③④⑥式，可得

d2θdt2＝－kθI，⑦

令ω2＝kI，則有

d2θdt2＋ω2θ＝0。⑧

由此式可知，扭絲的往返扭擺運(yùn)動(dòng)，具有角簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特性。類比簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的通解，扭絲的扭擺運(yùn)動(dòng)可表示為

θ＝Acos（ωt＋φ），⑨

式中的A為角振幅，ω為角速度，φ為角初相位。由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式，可得

T＝2πω＝2πIk。⑩

該式可變形為

k＝4π2IT2。B11

聯(lián)立②⑤B11式，可得

G＝2π2r2dαMT2。B12

由B12式可知，經(jīng)過一系列替換后，引力常數(shù)的表達(dá)式中消去了扭轉(zhuǎn)常數(shù)k，引入了扭擺周期T。因此，并不需要直接測(cè)出扭轉(zhuǎn)常數(shù)k的值，只需要測(cè)出T后，代入⑩式，便可以計(jì)算出引力常量的數(shù)值。所以，測(cè)量扭轉(zhuǎn)周期T成為關(guān)鍵問題。

在實(shí)際情況下，扭絲受到空氣摩擦等阻力的影響做阻尼擺動(dòng)。但是，在誤差允許范圍內(nèi)可以認(rèn)為其擺動(dòng)的周期與理想周期相等；進(jìn)而可以用實(shí)際扭擺的周期作為T，代入B12式進(jìn)行計(jì)算。

由于扭秤的扭擺周期較短，直接用秒表進(jìn)行測(cè)量會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。因此，我們可以采用累積法進(jìn)行周期的測(cè)量。選取扭秤擺動(dòng)的幾個(gè)周期（例如5個(gè)周期）進(jìn)行觀測(cè)，從扭秤進(jìn)行第一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)，直到觀測(cè)過程的最后一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)停止計(jì)時(shí)，所得時(shí)間記為t。用時(shí)間t除以扭秤在觀測(cè)過程中運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)n，便可以得到扭秤擺動(dòng)的平均周期，即T＝tn。通過巧用累積法得到的平均周期，所以有效地減小測(cè)量誤差，提高了引力常量測(cè)量的精確度。需要注意的是，在觀測(cè)過程中，我們要合理選擇觀測(cè)周期，避開小鉛球撞擊扭秤玻璃外殼的情形。

3.2"等比法——解決平衡位置的測(cè)量問題

在教學(xué)實(shí)驗(yàn)中，每次調(diào)節(jié)扭秤后，扭秤都會(huì)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的扭擺，并不會(huì)馬上靜止在平衡位置。因此，如何確定其平衡位置就成了一個(gè)新難題。在扭秤的動(dòng)態(tài)過程中，采用等比法可以巧妙地解決這個(gè)難題。由于空氣的阻尼系數(shù)很小，若等待扭秤徹底靜止下來(lái)再去測(cè)量其平衡位置是一件十分耗時(shí)且麻煩的事情。除此之外，扭秤還會(huì)受到地面震動(dòng)等其他外界因素的干擾，要想使其徹底靜止下來(lái)是極其不易的。

因此，在實(shí)驗(yàn)中，往往采用在動(dòng)態(tài)過程中確定扭秤的平衡位置的方法。扭秤的平衡位置可以用扭秤處于平衡狀態(tài)時(shí)反射光的光點(diǎn)位置來(lái)表示，記為x0。當(dāng)扭秤振動(dòng)衰減到不接觸扭秤的玻璃板外殼后，便可以開始記錄。觀察隨扭秤一起振動(dòng)的光點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，當(dāng)光點(diǎn)第一次達(dá)到最大的振幅時(shí)，標(biāo)記其位置并記為x1。之后，光點(diǎn)向反方向運(yùn)動(dòng)并達(dá)到最大振幅，標(biāo)記其位置并記為x2，以此類推，就有了x3、x4、x5等數(shù)據(jù)。將這些數(shù)據(jù)用平滑曲線連接起來(lái)，形成的扭秤阻尼擺動(dòng)圖像（見圖2）。

根據(jù)阻尼擺動(dòng)的規(guī)律可知x0－x2x1－x0＝x3－x0x0－x2。B13

此公式說(shuō)明，扭擺的振幅按照等比數(shù)列的規(guī)律進(jìn)行衰減。因此，我們將這種確定平衡位置的數(shù)學(xué)方法稱為等比法。只要獲得連續(xù)三組符合要求的振幅數(shù)據(jù)，便可代入B13式求出扭秤的平衡位置。等比法簡(jiǎn)便快捷，在實(shí)驗(yàn)中被多次用于平衡位置的測(cè)量，極大地提高了實(shí)驗(yàn)的效率和精度。

3.3"幾何法——化解反射光旋轉(zhuǎn)角的測(cè)量問題

利用光放大法測(cè)量扭絲的扭轉(zhuǎn)角度，可以將扭絲的扭轉(zhuǎn)角度轉(zhuǎn)換為反射光的旋轉(zhuǎn)角度進(jìn)行測(cè)量。測(cè)量反射光的旋轉(zhuǎn)角同樣需要借助一些巧妙的方法。扭絲上鏡面的旋轉(zhuǎn)致使反射光的角度發(fā)生變化。需要注意的是，二者變化的角度并不相同。通過仔細(xì)觀察實(shí)驗(yàn)裝置后，我們不難發(fā)現(xiàn)反射光的旋轉(zhuǎn)實(shí)際上是扭絲上鏡面扭轉(zhuǎn)角度的2倍。如果我們將鏡面或扭絲的扭轉(zhuǎn)角度用α2表示，那么反射光變化的角度就是α（見圖3）。

變化前后的反射光與坐標(biāo)紙（或刻度尺）形成了一個(gè)三角形。三角形的頂角極其尖銳，由反射光組成的兩條邊遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于光點(diǎn)在坐標(biāo)紙上移動(dòng)所形成的邊。如果將鏡子到坐標(biāo)紙的距離記為L(zhǎng)，坐標(biāo)紙上光點(diǎn)的移動(dòng)距離記為S，則有LS。

依據(jù)幾何關(guān)系，能夠得出

α≈SL。B14

將B12B14式聯(lián)立可得

G＝2π2r2dSMT2L。B15

因此，只需測(cè)出S與L便能代入公式計(jì)算出扭轉(zhuǎn)角度α。鏡子到坐標(biāo)紙的距離L可用米尺測(cè)出；而坐標(biāo)紙上光點(diǎn)的移動(dòng)距離S，則可以在確定平衡位置后通過計(jì)算得出。建構(gòu)幾何三角形計(jì)算扭轉(zhuǎn)角度的幾何法，簡(jiǎn)捷地解決了扭轉(zhuǎn)角度的測(cè)量問題。

4"結(jié)語(yǔ)

經(jīng)典卡文迪什扭秤的設(shè)計(jì)巧妙地運(yùn)用了轉(zhuǎn)換法、放大法、平衡法、替代法等多種科學(xué)方法，成功克服了測(cè)量引力常量的難題。在卡文迪什扭秤的教學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，我們巧妙地運(yùn)用了累積法、等比法、幾何法等科學(xué)方法，對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了細(xì)致的處理，使得卡文迪什扭秤在教學(xué)環(huán)境中得到了成功復(fù)原進(jìn)一步的改進(jìn)。這樣的處理不僅幫助學(xué)生更深入地掌握了卡文迪什扭秤實(shí)驗(yàn)的相關(guān)知識(shí)，還促進(jìn)了他們建構(gòu)完整的物理理論體系，從而達(dá)到了優(yōu)化教學(xué)效果的目的。

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