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        GeoGebra軟件在物理高考真題分析中的應(yīng)用

        2024-11-17 00:00:00夏建平
        物理之友 2024年7期

        摘"要:本文結(jié)合2020年高考全國Ⅰ卷第18題和浙江1月選考第22題的解答過程,利用GeoGebra軟件模擬帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運動軌跡圓的動態(tài)變化,建構(gòu)直觀清晰的幾何模型,幫助學(xué)生解決思維上的難點,培養(yǎng)學(xué)生的物理思維。

        關(guān)鍵詞:GeoGebra軟件;高考真題;帶電粒子;動態(tài)圓問題

        1"前言

        帶電粒子在磁場中運動的“動態(tài)圓問題”是高考的高頻考點。在2020年的高考中全國Ⅰ卷第18題、全國Ⅲ卷第18題、浙江1月選考的第22題和7月選考的第22題都考查了不同類型的“動態(tài)圓問題”。同時,“動態(tài)圓問題”又是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。當(dāng)粒子的速度大小或方向發(fā)生改變時,粒子在磁場中運動的軌跡圓會相應(yīng)地進(jìn)行“縮放”或“旋轉(zhuǎn)”的動態(tài)變化。因涉及較為復(fù)雜的幾何關(guān)系,致使很多學(xué)生無法建構(gòu)正確的物理模型,進(jìn)而在解答問題上出現(xiàn)困難。利用GeoGebra軟件的動態(tài)演示功能,可展示軌跡圓的動態(tài)變化過程,把抽象的物理模型顯性化和直觀化,快速創(chuàng)設(shè)易于學(xué)生理解的學(xué)習(xí)情境。筆者通過分類討論,梳理高考真題的解答步驟,詳細(xì)介紹在GeoGebra軟件中制作帶電粒子在磁場中運動的“動態(tài)圓問題”的方法。

        2"真題分析

        2.1"縮放圓問題(粒子入射速度方向不變,大小改變)

        例題"(2020年全國Ⅰ卷第18題)一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外,其邊界如圖中虛線所示,弧ab為半圓,ac、bd與直徑ab共線,ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子,在紙面內(nèi)從c點垂直于ac射入磁場,這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。[1]在磁場中運動時間最長的粒子,其運動時間為("")。"

        A. 7πm6qB

        B. 5πm4qB

        C. 4πm3qB

        D. 3πm2qB

        2.1.1"問題解析

        此題考查的是帶電粒子在有界磁場中的運動。帶電粒子從c點垂直于ac射入磁場,這些帶電粒子的速度方向相同,但具有各種速率,因此運動軌跡各不相同,這構(gòu)成了一道典型的“縮放圓”問題。粒子進(jìn)入磁場后,所受的洛倫茲力提供其在磁場中做勻速圓周運動的向心力。通過推理可得粒子的運動周期為T=2πmqB,在磁場中運動的時間t=θ2πT=θmqB。由表達(dá)式可知,粒子在磁場中運動的時間與速度大小無關(guān),只與軌跡圓對應(yīng)的圓心角有關(guān)[2],對應(yīng)的圓心角越大,在磁場中運動時間就越長。因此解決此題的關(guān)鍵在于尋找軌跡圓對應(yīng)的最大的圓心角,由于粒子的速度大小發(fā)生變化,粒子射出磁場的位置會在半圓邊界上移動,尋找軌跡圓對應(yīng)的最大圓心角對于多數(shù)學(xué)生來講存在困難。針對上述困難,可以利用GeoGebra軟件直觀地顯示帶電粒子的動態(tài)軌跡,結(jié)合數(shù)理分析進(jìn)行解決。

        2.1.2"GeoGebra動態(tài)演示

        第一步,繪制情境。打開GeoGebra軟件,選擇“線段”工具在x軸上繪制線段cd,長度為“12”,再選擇“半圓”工具繪制半徑為“3”的半圓ab。

        第二步,繪制縮放圓。選擇“向量”工具過c點畫出垂直cd向上的向量,代表粒子的速度v,再選擇“圓(圓心與一點)”工具在cd上任選一點為圓心O畫圓并與速度v相切作為粒子的運動軌跡,切點為c。拖動O點即可實現(xiàn)軌跡的“縮放”。

        第三步,繪制角度。選擇“交點”工具,點擊粒子軌跡圓和半圓ab的相交處,繪制交點A為粒子從半圓ab的出射點,再選擇“線段”工具連接圓心O和交點A,繪制線段OA,最后選擇“角度”工具依次點擊A、O、d三點,繪制角AOd。

        第四步,動態(tài)演示。將O點從靠近c點處緩慢向d點移動,直觀地模擬粒子速度v緩慢增大,使得軌跡半徑逐漸增大的過程,觀察軌跡變化和∠AOd的變化過程(見圖1),從中可以發(fā)現(xiàn),∠AOd的最大值為60°,故軌跡圓的最大圓心角為θ=4π3。

        第五步,結(jié)合GeoGebra動態(tài)演示進(jìn)行數(shù)理分析(見圖2)。選擇“線段”工具連接c點和交點A,繪制線段cA,最后選擇“角度”工具依次點擊A、c、d三點,繪制角Acd,粒子從c點進(jìn)入磁場,從A點離開磁場,可將此題等效為以直線cA為磁場邊界的問題,由于△cOA為等腰三角形,所以∠AOd的大小一定為∠Acd的大小的兩倍,當(dāng)邊界cA與半圓ab相切時∠Acd最大,最大值β=30°,故∠AOd的最大值α=60°。

        2.2"旋轉(zhuǎn)圓問題(粒子入射速度大小不變,方向改變)

        例題"(2020年浙江1月選考第22題)通過測量質(zhì)子在磁場中的運動軌跡和打到探測板上的計數(shù)率(即打到探測板上質(zhì)子數(shù)與衰變產(chǎn)生總質(zhì)子數(shù)N的比值),可研究中子(10n)的β衰變。中子衰變后轉(zhuǎn)化成質(zhì)子和電子,同時放出質(zhì)量可視為零的反中微子υe。如圖所示,一些位于P點的靜止中子經(jīng)衰變可形成一個質(zhì)子源,該質(zhì)子源在紙面內(nèi)各向均勻地發(fā)射N個質(zhì)子。在P點下方放置有長度L=1.2m以O(shè)為中點的探測板,P點離探測板的垂直距離OP為a。在探測板的上方存在方向垂直紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。[3]

        已知電子質(zhì)量me=9.1×10-31kg=0.51MeV/c2,中子質(zhì)量mn=939.57MeV/c2,質(zhì)子質(zhì)量mp=938.27MeV/c2。(c為光速,不考慮粒子之間的相互作用)

        若質(zhì)子的動量p=4.8×10-21kg·m·s-1=3×10-8MeV·s·m-1。

        (1)寫出中子衰變的核反應(yīng)式,求電子和反中微子的總動能(以MeV為能量單位);

        (2)當(dāng)a=0.15m,B=0.1T時,求計數(shù)率;

        (3)若a取不同的值,可通過調(diào)節(jié)B的大小獲得與(2)問中同樣的計數(shù)率,求B與a的關(guān)系并給出B的范圍。

        2.2.1"問題解析

        求解此題的關(guān)鍵是要畫出質(zhì)子在磁場中運動的動態(tài)軌跡,位于P點的質(zhì)子源在紙面內(nèi)向各個方向均勻地發(fā)射質(zhì)子,即質(zhì)子的速度大小不變,但速度可沿紙面內(nèi)的任意方向,這是一道典型的“旋轉(zhuǎn)圓”問題。本題對大多數(shù)學(xué)生來講不太容易理解,原因如下。

        問題1:不理解能打在探測板上的質(zhì)子的發(fā)射速度需滿足什么條件。

        問題2:不理解質(zhì)子為什么不能是左右對稱地打在探測板上。

        問題3:不理解質(zhì)子打在探測板上最遠(yuǎn)處時對應(yīng)的圓軌跡是半圓的情況。

        問題4:不理解質(zhì)子打在探測板上的分布是怎么樣的。

        顯然板書或紙筆作圖很難將質(zhì)子的運動軌跡動態(tài)地演示出來,而借助GeoGebra軟件可以很直觀地演示質(zhì)子的動態(tài)軌跡,幫助學(xué)生解決問題。

        2.2.2"GeoGebra動態(tài)演示

        第一步,繪制情境。打開GeoGebra軟件,選擇“線段”工具,根據(jù)比例關(guān)系,繪制長度為“8”的線段AB作為探測板;選擇“描點”工具,在距離探測板中心上方“1”處繪制點P作為質(zhì)子源;選擇“圓(圓心與半徑)”工具,以P點為圓心繪制半徑為“1”的圓;選擇“對象上的點”工具,在圓上任選一點v,用“向量”工具連接Pv,右擊圓后選擇“顯示對象”來隱藏圓,以向量Pv作為質(zhì)子發(fā)射的速度v;選擇“描點”工具繪制出探測板的中點O。

        第二步,繪制旋轉(zhuǎn)圓。選擇“垂線”工具,過點P作Pv的垂線,再選擇“圓(圓心與半徑)”工具,在垂線上任選一點為圓心C畫半徑為“2”的圓,切點為P,注意根據(jù)左手定則確定質(zhì)子的偏轉(zhuǎn)方向,右擊垂線后選擇“顯示對象”來隱藏垂線,拖動v即可使軌跡圓在紙面內(nèi)完成360°旋轉(zhuǎn),使質(zhì)子軌跡與探測板相交,再選擇“交點”工具繪制沿偏轉(zhuǎn)方向過來的軌跡與探測板的第一個交點D作為質(zhì)子打在探測板上的位置。

        第三步,動態(tài)演示。選擇“線段”工具,連接C點和D點,C點和P點繪制出線段CD和CP,并設(shè)置為虛線,逆時針拖動v,當(dāng)軌跡和探測板恰好出現(xiàn)交點D時,軌跡與探測板左側(cè)相切,說明質(zhì)子恰好能打在探測板上,如圖3所示。為方便觀察質(zhì)子打在探測板上的位置變化,可以右擊交點D,選擇“顯示軌跡”,當(dāng)質(zhì)子與探測板的交點D恰好要消失時,軌跡與探測板右側(cè)相切,說明質(zhì)子恰好無法打在探測板上的情況。很顯然,質(zhì)子打在探測板上不是左右對稱的,運動軌跡從“優(yōu)弧”變?yōu)椤傲踊 ?。質(zhì)子在探測板上的分布圖如圖4所示。

        由上述分析過程可知,質(zhì)子打在探測板的左側(cè)OA部分的長度明顯大于右側(cè)OB部分的長度且并未超過探測板的最左端,打在左側(cè)最遠(yuǎn)的情況如圖5所示,軌跡恰好是以PD為直徑的半圓。從左側(cè)相切到左側(cè)最遠(yuǎn)的這部分探測板的長度也可以稱為“二次探測區(qū)”。

        第四步,結(jié)合GeoGebra動態(tài)演示進(jìn)行數(shù)理分析。結(jié)合圖3,質(zhì)子恰好打在探測板上的情況,過P點作CD的垂線,垂足為E點,結(jié)合直角△PCE可得sinθ=CECP=R-aR,即sinθ=12,故θ=30°;或直接使用“角度”工具顯示角度大小,數(shù)理關(guān)系和角度顯示如圖6所示;故能打在探測板上的質(zhì)子所占的比例為η=π6+π+π62π=23。要保證計數(shù)率不變,就是保證恰好打在探測板上的質(zhì)子的出射角度不變,始終滿足sinθ=R-aR=12,即a=R2,再結(jié)合圖5中的直角△OPD;當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B逐漸減小時,質(zhì)子的運動半徑逐漸增大,恰好打在探測板最左端的質(zhì)子具有最大的運動半徑Rm,滿足的幾何關(guān)系為(2Rm)2=a2+L22,最終可求得B≥1540T。

        3"結(jié)束語

        講解一道物理題,離不開條理清晰的解答過程,也離不開簡便直觀的輔助工具。2020年高考全國Ⅰ卷第18題和浙江1月選考第22題看似簡單,實則考查了學(xué)生的分析能力、推理能力、作圖能力、動態(tài)軌跡的想象能力、數(shù)理結(jié)合能力。GeoGebra軟件功能強(qiáng)大,簡單易學(xué),利用GeoGebra中的動態(tài)演示功能,將帶電粒子在磁場中運動的“縮放圓”“旋轉(zhuǎn)圓”等動態(tài)問題制作成直觀可視化的教學(xué)課件,可以有效降低教師的教學(xué)難度和學(xué)生的理解難度,真正做到突破教學(xué)難點,達(dá)到事半功倍的效果。

        參考文獻(xiàn)

        [1]吳迎春,張曉明. 解析法求解2020年高考全國理綜Ⅰ卷第18題[J]. 中學(xué)物理,2021,39(3):60"-61.

        [2]李開瑋. 利用動態(tài)圓求解粒子在電磁場中的運動問題[J]. 南方農(nóng)機(jī),2021,52(10):161"-162.

        [3]陶漢斌. 建構(gòu)物理模型"厚植物理觀念——鑒賞2020年1月浙江選考物理壓軸題[J]. 物理教師,2020,41(5):84"-86,89.

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