摘要：將教育技術(shù)運(yùn)用到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是新一輪新課改的重要目標(biāo)之一。GeoGebra是一個集微積分、代數(shù)、幾何于一體的教學(xué)軟件，將其應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有可行性，其對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)生的主體地位、豐富課堂的教學(xué)資源有著較強(qiáng)的輔助作用?；诖?，本文具體分析了GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用路徑，以期為相關(guān)人員提供一定的參考。

關(guān)鍵詞：GeoGebra；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用；實(shí)踐

一、引言

高中數(shù)學(xué)的知識更加深奧，包含了很多抽象的理論，盡管學(xué)生都全身心地投入到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，但學(xué)習(xí)效果還有待提升。通過利用GeoGebra軟件，教師可以將原本極為抽象的數(shù)學(xué)理論以直觀化和形象化的方式呈現(xiàn)出來，幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識的整體形成過程提高學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)性，啟發(fā)學(xué)生形成更為完善的數(shù)學(xué)思維[1]。

二、GeoGebra軟件的功能與優(yōu)勢

（一）GeoGebra軟件的基本說明

GeoGebra是一款簡單易用的教學(xué)工具，具備三維圖形、繪圖、輸入框等多種功能，可以將各種數(shù)學(xué)要素進(jìn)行轉(zhuǎn)換和升級。GeoGebra軟件可以對圖形進(jìn)行多重處理，大幅縮短使用者的繪制速度，并解決其他軟件在不同要素之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換的問題[2]。

（二）GeoGebra軟件的應(yīng)用原則

所謂的數(shù)學(xué)可視化，就是用圖形、圖像、動畫等外部表征將抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，如概念原理、結(jié)構(gòu)關(guān)系、思維方式等，以直觀、完整的方式展現(xiàn)出來，使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容有更加形象、直觀、完整地理解。借助GeoGebra軟件，教師可以將“形”與“數(shù)”進(jìn)行自由轉(zhuǎn)化，構(gòu)建出“可見”與“抽象”兩種形態(tài)的直接聯(lián)系。具體來說，GeoGebra軟件的應(yīng)用原則如表1所示。

（三）GeoGebra軟件的應(yīng)用優(yōu)勢

1.有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的缺陷。根據(jù)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，教科書中一般包含著大量的數(shù)學(xué)觀念和思維方式，例如轉(zhuǎn)化、極限、數(shù)形結(jié)合等。而GeoGebra軟件中包含了大量的幾何圖形，可以很方便地在不同的工具之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，同時還具備強(qiáng)大的文字處理能力，能夠作為一種分析工具[3]。 GeoGebra軟件下的高中數(shù)學(xué)思想可視化教學(xué)能夠展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程，幫助學(xué)生更加深刻地認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

2.有利于提升學(xué)生的主體地位

第一，在GeoGebra軟件的支持下，教師能夠更高質(zhì)量地推進(jìn)高中數(shù)學(xué)思想可視化教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和課堂參與程度，增加小組之間的交流討論和主動提問的頻率。在此過程中，教師將從單純地教授知識轉(zhuǎn)為更多地提出問題，并進(jìn)行有針對性地教學(xué)。

第二，在GeoGebra軟件的支持下，教師能夠更好地建設(shè)以學(xué)生為中心的活動，進(jìn)一步擴(kuò)展課堂互動的方式，加強(qiáng)師生之間、生生之間的互動，有效促進(jìn)了學(xué)生的深入學(xué)習(xí)，提高學(xué)生對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的熱情[4]。

3.有利于豐富課堂的教學(xué)資源

第一，GeoGebra環(huán)境下的高中數(shù)學(xué)思維可視化教學(xué)改變了傳統(tǒng)的講授型教學(xué)方式，教師可以通過可視化技術(shù)進(jìn)行教學(xué)，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)信息化課堂的建設(shè)與發(fā)展。

第二，GeoGebra下的中學(xué)數(shù)學(xué)思維可視化教學(xué)能夠動態(tài)地展現(xiàn)各種變化和生成過程，將隱藏在其中的數(shù)學(xué)思想和思維過程以具象化和形象化的方式展示出來。例如，教師可以借助GeoGebra軟件的動態(tài)功能，引導(dǎo)學(xué)生“看圖說話”，讓學(xué)生在真切地感受中領(lǐng)悟知識的精髓，進(jìn)而提高學(xué)生的探究和創(chuàng)新能力，為最終實(shí)現(xiàn)“向技術(shù)學(xué)習(xí)”的數(shù)學(xué)課堂提供借鑒[5]。

三、GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）抽象知識可視化表達(dá)

第一，高中數(shù)學(xué)教學(xué)有很多難以迅速掌握的知識點(diǎn)，如橢圓、拋物線、雙曲線、曲線等，這些都是高中生初次學(xué)習(xí)的東西。如果學(xué)生不夠了解曲線的幾何含義、雙曲線的對稱性、拋物線的頂端等內(nèi)容，就很容易造成認(rèn)識上的偏差，并造成計算錯誤。但是，配合GeoGebra軟件，教師可以利用其中的動畫演示功能，讓學(xué)生事無巨細(xì)地看圖說話，從而極大地提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率和學(xué)生的思辨水平。第二，在GeoGebra軟件中，結(jié)合圖形的生成過程，教師可以靈活自由地選擇幾何形式、代數(shù)形式，利用軟件中多元化的指令，為講解數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)概念提供可視化表達(dá)支持。這種方式使得教師開展的數(shù)學(xué)教學(xué)活動將更加高效、科學(xué)，并為學(xué)生提供更具系統(tǒng)化的圖像關(guān)聯(lián)，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)合思維。第三，GeoGebra軟件的計算區(qū)域功能主要服務(wù)于數(shù)值計算、因式分解、求導(dǎo)、求積分等；繪圖功能配合了點(diǎn)、線、直線、曲線、多邊形、圓、圓錐曲線等眾多繪圖工具；命令輸入?yún)^(qū)則能夠靈活適應(yīng)使用者繪圖和計算的不同功能。這種抽象知識的可視化表達(dá)能夠顯著提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在GeoGebra軟件的界面中感受到數(shù)學(xué)的魅力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。例如，在講解圓錐曲線時，教師可以在GeoGebra軟件界面內(nèi)輸入不同圓錐曲線，讓學(xué)生在繪圖環(huán)節(jié)通過改變某一項或某幾項數(shù)值來設(shè)計生成不同的曲線，使學(xué)生直觀地感受曲線圖形中各個元素的特點(diǎn)，為學(xué)生構(gòu)建起數(shù)與形之間銜接的橋梁，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)形轉(zhuǎn)換。

GeoGebra軟件不僅能夠作為課堂教學(xué)的輔助性工具，還可以成為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的良好平臺。例如，在課下，教師可以讓學(xué)生使用GeoGebra軟件，根據(jù)自己的猜想進(jìn)行操作，實(shí)現(xiàn)從猜想、操作、推理以及最終驗(yàn)證的研究閉環(huán)，這對于增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、促進(jìn)學(xué)生形成科學(xué)思想具有重要意義。可視化思維工具能夠幫助教師解決以往高中教學(xué)中存在的抽象性強(qiáng)、知識難度大、講解效果不佳等問題，有利于幫助學(xué)生掌握知識，增強(qiáng)學(xué)生的思維能力。

（二）知識的動態(tài)生成

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)眾多，而教師的課堂教學(xué)時間有限。在以往的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師大多采用現(xiàn)場繪圖或者利用課件向?qū)W生展示內(nèi)容。雖然課件能夠?yàn)閷W(xué)生展示相對規(guī)整的圖像，但是不利于學(xué)生認(rèn)識和了解數(shù)學(xué)圖像的形成過程，而現(xiàn)場繪圖會占據(jù)較長的課堂時間，影響課堂效率。如今，教師可以利用GeoGebra軟件解決這一問題，通過高效快捷地繪制圖案以及任意調(diào)整圖形，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識形成過程。由于軟件本身操作便捷，在使用該軟件進(jìn)行繪圖解題時，學(xué)生也可以簡單上手，這也為師生互動、生生互動提供了支持，提升了學(xué)生的解題效率。例如，在講解底數(shù)對指數(shù)函數(shù)影響的相關(guān)知識時，以往大多由教師配合教材和ppt資源進(jìn)行板書演示。雖然學(xué)生能夠結(jié)合ppt中的圖像進(jìn)行學(xué)習(xí)和理解，但由于缺乏繪圖過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果往往受限。而通過采用GeoGebra軟件，教師可以直觀地展示圖像生成過程。同時，教師可以向?qū)W生提出一些開放性的問題，鼓勵學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識進(jìn)行猜想驗(yàn)證，使得教師的備課授課更加高效便捷，此外，教師還可以利用GeoGebra軟件中豐富的教學(xué)資源庫，實(shí)現(xiàn)多種資源的加工重組，有利于達(dá)成互利共贏，實(shí)現(xiàn)共同進(jìn)步。

（三）模擬生活中的問題解決場景

高中數(shù)學(xué)知識有著廣闊的應(yīng)用范圍，在以往的課程教學(xué)中，教師往往難以找到有效的教學(xué)方法進(jìn)行生活教育，不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)思維。而通過結(jié)合GeoGebra軟件，教師可以基于具體的生活情境，向?qū)W生展示數(shù)學(xué)知識，加深學(xué)生對所有科學(xué)知識的理解和應(yīng)用。例如，在講解三角形的相關(guān)知識時，教師可以以月球地球之間的距離為問題情境，配合GeoGebra軟件的繪圖區(qū)進(jìn)行操作，讓學(xué)生結(jié)合已有數(shù)據(jù)進(jìn)行解題思考。此外，通過利用軟件中的直觀想象功能，教師能夠?yàn)檎n堂教學(xué)創(chuàng)設(shè)與生活實(shí)際相貼近的教學(xué)場景，有利于增強(qiáng)學(xué)生的課堂沉浸感，使學(xué)生更深入地了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，鼓勵學(xué)生主動投身于課堂學(xué)習(xí)中。例如，在講解拋物線的相關(guān)知識時，教師可以利用GeoGebra軟件：先讓學(xué)生結(jié)合定點(diǎn)f和直線l進(jìn)行繪制；再帶領(lǐng)學(xué)生在直線l上任取一點(diǎn)，將其命名為d；接著，繪制一條穿過d且垂直于l的線段，將其命名為m；最后，連接d和f，選擇df的中垂線，該中垂線與m相交于點(diǎn)p。然后，教師可以在GeoGebra軟件中帶領(lǐng)學(xué)生仔細(xì)觀察p點(diǎn)運(yùn)動軌跡是怎樣的以及有什么樣的特點(diǎn)，由此引出拋物線的定義。需要注意的是，在繪制圖形的過程中，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生重點(diǎn)想象點(diǎn)p的運(yùn)動軌跡以及運(yùn)動軌跡構(gòu)建出了什么樣的圖形，并在繪制過程中靈活變動不同條件，讓學(xué)生思考這些條件的變化會使點(diǎn)p的運(yùn)動軌跡發(fā)生怎樣的變化。配合GeoGebra軟件工具，教師可以靈活拖動點(diǎn)p，播放其運(yùn)動軌跡，讓學(xué)生直觀地了解拋物線的運(yùn)動規(guī)律，更深入地實(shí)現(xiàn)知識的內(nèi)化吸收，進(jìn)而提升課堂教學(xué)質(zhì)量。

（四）促進(jìn)學(xué)生的個性化學(xué)習(xí)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在應(yīng)用GeoGebra軟件時需要注意靈活性，重點(diǎn)發(fā)掘GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用路徑。例如，教師可以將其與多媒體設(shè)備相結(jié)合，以此豐富軟件的表現(xiàn)力；或者將GeoGebra軟件與互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)相融合，為學(xué)生的深入學(xué)習(xí)提供良好的平臺支持。在應(yīng)用環(huán)節(jié)，教師可以從課前、課中、課后三大方面進(jìn)行展開，突出因材施教，彰顯素質(zhì)教育，選擇合適的教學(xué)方法。例如，教師可以結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生設(shè)計生動趣味性的練習(xí)題，讓學(xué)生自主投入于課程學(xué)習(xí)中，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)效果。此外，教師還可以組織學(xué)生以小組為單位開展實(shí)踐探究，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行競賽實(shí)踐，進(jìn)一步豐富學(xué)生的知識體系，夯實(shí)學(xué)生的知識基礎(chǔ)。

四、GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用反思

（一）教師要加強(qiáng)對GeoGebra軟件的認(rèn)知與應(yīng)用

作為高中教師，在教學(xué)實(shí)踐中需要深刻認(rèn)識到信息技術(shù)對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的促進(jìn)作用。加強(qiáng)對GeoGebra軟件的學(xué)習(xí)理解和應(yīng)用操作。與其他數(shù)學(xué)教學(xué)軟件相比，GeoGebra軟件具有可操作性強(qiáng)、應(yīng)用范圍廣的優(yōu)勢，無論是教師，還是學(xué)生，都可以快速上手靈活操作，因此，教師需要加強(qiáng)學(xué)習(xí)信息技術(shù)，善于開發(fā)GeoGebra軟件的新的操作功能，并靈活應(yīng)用于課堂教學(xué)中，為學(xué)生詳細(xì)展示數(shù)學(xué)知識的生成過程，并將一些抽象難懂的知識以形象化、直觀化的形式表達(dá)出來，更好地發(fā)揮GeoGebra軟件的應(yīng)用價值。

（二）教師要加深認(rèn)識技術(shù)與知識的融合可行性

在當(dāng)前教育信息化的大背景下，高中數(shù)學(xué)教師需要加深對信息技術(shù)的深入理解，博采眾長。首先，在備課授課時，教師應(yīng)當(dāng)積極挖掘教材內(nèi)容和傳統(tǒng)教學(xué)資源，善于利用以多媒體計算機(jī)為代表的現(xiàn)代教學(xué)設(shè)備，使傳統(tǒng)教材與現(xiàn)代設(shè)備相互補(bǔ)充，形成立體豐富的教學(xué)資源庫，為高質(zhì)量數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供強(qiáng)大的支持。其次，教師需要具備主體意識，認(rèn)識到技術(shù)與知識的融合可行性，堅持以學(xué)生為主體，綜合利用教材資源、視聽資源和軟件資源；通過互聯(lián)網(wǎng)資源豐富課堂教學(xué)內(nèi)容，拓寬學(xué)生的知識視野，將教學(xué)設(shè)備作為服務(wù)教學(xué)的有效手段，進(jìn)而不斷提升課堂教學(xué)效率。最后，教師需要具備應(yīng)用意識，從以往的注重知識應(yīng)用到注重學(xué)習(xí)方法，從關(guān)注工具到關(guān)注資源，從單一技術(shù)應(yīng)用到綜合技術(shù)的整合應(yīng)用，不斷提高自身的綜合能力、應(yīng)用水平，以自身發(fā)展促進(jìn)課堂教學(xué)的提質(zhì)增效。

（三）教師要為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)提供更多的機(jī)會

在使用GeoGebra軟件時，教師應(yīng)當(dāng)突出學(xué)生的主體地位，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多實(shí)踐的機(jī)會，鼓勵學(xué)生積極參與到課堂的學(xué)習(xí)中，真正讓學(xué)生投身于知識的學(xué)習(xí)實(shí)踐。此外，教師應(yīng)當(dāng)善于利用GeoGebra軟件，將其與課堂教學(xué)相結(jié)合，點(diǎn)燃學(xué)生的求知欲和探索欲，切實(shí)發(fā)揮新課程改革的教學(xué)目標(biāo)。

五、結(jié)束語

在當(dāng)前新課標(biāo)的大背景下，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)熟練應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)，將GeoGebra軟件作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的得力助手，以此提高課堂教學(xué)效率，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升教師的教學(xué)能力和教學(xué)水平。此外，教師需要充分認(rèn)識和利用GeoGebra軟件，主動尋找數(shù)學(xué)教學(xué)中可以與GeoGebra軟件深度融合的內(nèi)容，真正幫助學(xué)生理解知識，靈活地開展自主探究，促進(jìn)學(xué)生生成數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

作者單位：羅旋 山東省濟(jì)寧市第一中學(xué)

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羅旋（1986.05-），女，漢族，山東濟(jì)寧，碩士研究生，中教一級，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。