黃天紀(jì)

［摘 要］在現(xiàn)實(shí)生活中，有很多和解直角三角形相關(guān)的實(shí)際問題。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)解決這些實(shí)際問題，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。文章結(jié)合典型例題，探討解直角三角形在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生理解解直角三角形的常見概念及模型，找到解題突破口，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］解直角三角形；實(shí)際問題；應(yīng)用

［中圖分類號(hào)］??? G633.6??????? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］??? A??????? ［文章編號(hào)］??? 1674-6058（2024）14-0033-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，通過經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過程，學(xué)生能夠分析、解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題。由此可見，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，成為新時(shí)代數(shù)學(xué)課程改革的重要內(nèi)容。在解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)生常遇到這樣的困境：不會(huì)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)把現(xiàn)實(shí)生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，解題無(wú)從下手。本文結(jié)合典型例題，探討解直角三角形在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，以培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、解直角三角形的常見概念及模型

（一）常見概念

1.仰角、俯角——觀察者的視線與水平線所形成的夾角，即視線高于水平線所形成的角叫仰角，視線低于水平線所形成的角叫俯角。

2. 方向角——以觀測(cè)點(diǎn)O為中心，過觀測(cè)點(diǎn)作一條水平線和一條鉛垂線，表示南北方向的鉛垂線，與觀測(cè)點(diǎn)到目的地之間的連線所形成的夾角叫方向角。

3. 坡角、坡度——水平面與坡面所形成的夾角叫坡角，而坡度就是坡面的鉛直高度與坡面的水平寬度的比值。

4.直角三角形五個(gè)元素之間的關(guān)系：（1）三邊關(guān)系（勾股定理）；（2）兩角關(guān)系（兩個(gè)銳角互余）；（3）邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)）。在這五個(gè)元素當(dāng)中，已知其中兩個(gè)元素（必須有一個(gè)元素是邊），就可以求出其余未知的三個(gè)元素。

（二）常見模型

模型1：背靠背模型（如圖1、圖2）。

圖1???????????????????????????? 圖2

模型2：母子模型 （如圖3、圖4）。

圖3??????????????????????????????????? 圖4

模型3：擁抱模型（如圖5、圖6、圖7）。

圖5?????????????????????? 圖6????????????????????????? 圖7

二、應(yīng)用解直角三角形解決實(shí)際問題的基本思路

（一）基本思路

應(yīng)用解直角三角形解決實(shí)際問題的基本思路：首先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（含解直角三角形），即舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形（含點(diǎn)、線、角等元素）；然后對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答，得出的數(shù)學(xué)問題的解即為實(shí)際問題的解。

（二）具體步驟

（1）理解題干中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念和意義，如前面提及的仰角、坡角等，根據(jù)題干的問題描述，畫出對(duì)應(yīng)的平面圖形，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；（2）將數(shù)學(xué)問題與解直角三角形知識(shí)建立聯(lián)系，并利用直角三角形的邊角關(guān)系構(gòu)造等式、解答問題（對(duì)于銳角或鈍角的非直角三角形，可先采用輔助線法，將它們分割或補(bǔ)充，構(gòu)造出直角三角形或矩形）；（3）找出與解題有關(guān)的直角三角形，并解這些三角形，最后得到答案。

三、解直角三角形在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用例析

在應(yīng)用解直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為直角三角形的邊角關(guān)系，結(jié)合圖形、已知條件、所求問題展開聯(lián)想，尋找條件與問題之間的邏輯關(guān)系或轉(zhuǎn)化關(guān)系，利用解直角三角形知識(shí)解決問題。若所給圖形不是直角三角形，應(yīng)添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形。若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，且不能直接求解，則可以考慮分別由兩個(gè)三角形找出含有相同元素的關(guān)系式，運(yùn)用方程知識(shí)求解。本文主要探討應(yīng)用解直角三角形解決有關(guān)仰角俯角、方位角、坡角坡度問題的方法。

（一）應(yīng)用解直角三角形解決仰角俯角問題

解決仰角俯角問題，關(guān)鍵是弄清仰角和俯角的定義，根據(jù)題意畫出含有仰角和俯角的幾何圖形，將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為直角三角形的邊角關(guān)系，也就是將已知數(shù)據(jù)在幾何圖形中標(biāo)出，再利用解直角三角形知識(shí)求解。

［例題1］如圖8所示，無(wú)人機(jī)從地面[CD]的中點(diǎn)[B]垂直起飛到達(dá)點(diǎn)[A]處，測(cè)得1號(hào)樓頂部[E]的俯角為60°，測(cè)得2號(hào)樓頂部[F]的俯角為37°，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)的高度為60米，已知1號(hào)樓的高[CE]為20米，求2號(hào)樓的高[DF]。（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)[sin37°≈0.60]，[cos37°≈0.80]，[tan37°≈0.75]，[3≈1.73]，[2≈1.41]）

【分析】過點(diǎn)[E]、[F]分別作[EM⊥AB]，[FN⊥AB]，垂足分別為[M]、[N]，通過添加輔助線構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為直角三角形的邊角關(guān)系。由題意可得，在[Rt△AEM]中，[AM=40]，[∠AEM=60°]，已知兩個(gè)條件（一邊一角），可以求出其他的邊和角，用銳角三角函數(shù)求出[EM]，再運(yùn)用矩形、中點(diǎn)性質(zhì)求出[NF]，再轉(zhuǎn)換到解[Rt△AFN]。由題意可得[∠AFN=37°]，在Rt[△AFN]中又找到兩個(gè)已知條件（一邊一角），可用銳角三角函數(shù)求出[AN]，最后用線段和差求出[DF=BN=AB-AN]。

【詳解】如圖9所示，過點(diǎn)[E]、[F]分別作[EM⊥AB]，[FN⊥AB]，垂足分別為[E]、[F]，由題意得[BM=CE=20]，[∠AEM=60°]，[∠AFN=37°]，[CB=DB=EM=FN]，[AB=60]，∴[AM=AB-MB=60-20=40]，

在[Rt△AEM]中，∵[tan∠AEM=AMEM]，∴[EM=AMtan60°=403≈401.73≈23.12]，∴[FN=EM=23.12]。

在[Rt△AFN]中，∵[tan∠AFN=ANFN]，∴[AN=tan37°]，[AN=tan37°×23.12≈0.75×23.12=17.34]，∴[DF=BN=AB-AN≈60-17.34≈43]。

答：2號(hào)樓的高[DF]約為43米。

【培養(yǎng)目標(biāo)】引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用解直角三角形知識(shí)解決仰角俯角問題，幫助學(xué)生理解仰角和俯角的概念，使學(xué)生能夠熟練應(yīng)用三角函數(shù)解直角三角形；通過指導(dǎo)學(xué)生添加輔助線構(gòu)造直角三角形，讓學(xué)生學(xué)會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

（二）應(yīng)用解直角三角形解決方位角問題

解決有關(guān)方位角的問題，關(guān)鍵是弄清方位角的定義，畫出有方位角的幾何圖形。如題圖為非直角三角形，則需添加輔助線，構(gòu)造直角三角形和矩形，將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為直角三角形的邊角關(guān)系，再利用解直角三角形知識(shí)求解。

［例題2］在東西走向筆直的限速公路上，規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過60 km/h（即[503 ]m/s），交通管理部門在離該公路正南方向100米[A]處設(shè)置了速度檢測(cè)點(diǎn)，以東西向[BC]為[x]軸，以南北向?yàn)閇y]軸建立如圖10所示的平面直角坐標(biāo)系，[A]位于[y]軸上，測(cè)速路段[BC]在[x]軸上，點(diǎn)[B]在點(diǎn)[A]的北偏西60°方向上，點(diǎn)[C]在點(diǎn)[A]的北偏東45°方向上。一輛汽車從點(diǎn)[B]勻速行駛到點(diǎn)[C]所用時(shí)間為15 s。請(qǐng)你通過計(jì)算，判斷該汽車在這段限速公路上是否超速。（[3]取1.7）

[A（0，-100）][x/m][y/m][B][O][C]

圖10

【分析】在直角三角形[ABO]和直角三角形[ACO]中，分別找出兩個(gè)已知條件（一邊一角），即[AO=100]和[∠OAB=60°]；[AO=100]和[∠OAC=45°]，可利用銳角三角函數(shù)求出[OB]和[OC]的長(zhǎng)，從而求出[BC=OB+OC]，也就是求出限速路程，由此求出速度，即可解答。

【詳解】∵在直角三角形[ABO]中，[AO=100]，[∠BAO=60°]，∴[OB=OA·tan60°=1003]，

∵[△AOC]是等腰直角三角形，

∴[OC=OA=100]，

∴[BC=OB+OC=1003+100≈270]，

∵[270÷15=18]，

[18>503]，

∴該汽車在這段限速公路上超速了。

【培養(yǎng)目標(biāo)】引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用解直角三角形知識(shí)解決方位角問題，幫助學(xué)生理解方位角的概念，使學(xué)生能夠熟練應(yīng)用三角函數(shù)解直角三角形。通過指導(dǎo)學(xué)生畫出幾何圖形，培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)及分析與解決問題的能力。

（三）應(yīng)用解直角三角形解決坡角坡度問題

解決坡角坡度問題，關(guān)鍵是弄清坡角、坡度、垂直距離、水平距離的定義，根據(jù)題意構(gòu)造出有坡角和坡度的幾何圖形。若圖形是非直角三角形，則需添加輔助線，構(gòu)造直角三角形和矩形，再利用解直角三角形知識(shí)求解。

［例題3］貴州旅游資源豐富。某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖11所示的景區(qū)內(nèi)修建觀光索道，設(shè)計(jì)示意圖如圖12所示，以山腳[A]為起點(diǎn)，沿途修建[AB]、[CD]兩段長(zhǎng)度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂[D]處，中途設(shè)計(jì)了一段與[AF]平行的觀光平臺(tái)[BC]為50 m。索道[AB]與[AF]的夾角為15°，[CD]與水平線夾角為45°，[A、B]兩處的水平距離[AE]為576 m，[DF⊥AF]，垂足為點(diǎn)[F]。（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)[A]、[E]、[F]在同一水平線上。結(jié)果精確到1 m。參考數(shù)據(jù)：[sin15°≈0.25]，[cos15°≈0.96]，[tan15°≈0.26]，[2≈1.41]）

（1）求索道[AB]的長(zhǎng)；

（2）求水平距離[AF]的長(zhǎng)。

圖11??????????????????????????????? 圖12

【分析】（1）在直角三角形[ABE]中，找出兩個(gè)已知條件（一邊一角），即[AE=576]和[∠BAE=15°]，可利用銳角三角函數(shù)求出索道[AB]的長(zhǎng)度600米，所以[AB=CD=600]。（2）要求[AF]的長(zhǎng)度，可添加輔助線，作[CG]垂直[DF]，垂足為[G]，構(gòu)造直角三角形[DCG]，在直角三角形[DCG]中找出兩個(gè)已知條件（一邊一角），即[CD=600]和[∠DCG=45°]，利用銳角三角函數(shù)或勾股定理求出[CG]，從而求出[AF=AE+BC+CG]。

【詳解】（1）在直角三角形[ABE]中，[AE=576]，[∠BAE=]15°，∴ [AB=AEcos15°=5760.96=600]。

（2）如圖13，作[CG]垂直[DF]，垂足為[G]，在直角三角形[DCG]中，[CD=AB=600]，[∠DCG=45°]，∴[CG=CDcos45°=600×22=600×1.412=423]，∴[AF=AE+BC+CG=576+50+423=1049]。

【培養(yǎng)目標(biāo)】引導(dǎo)學(xué)生利用解三角形知識(shí)解決坡角坡度問題，幫助學(xué)生理解坡角和坡度的概念，熟悉應(yīng)用銳角三角函數(shù)和勾股定理解決實(shí)際問題。通過引導(dǎo)學(xué)生審題、分析問題，使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

應(yīng)用解直角三角形解決仰角俯角、方位角、坡角坡度問題，要熟練掌握解題思路與方法，把握解題關(guān)鍵，找準(zhǔn)解題切入點(diǎn)。

總之，解直角三角形是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，解直角三角形在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用是中考必考點(diǎn)。本文探討解直角三角形在解決實(shí)際問題的應(yīng)用，幫助學(xué)生掌握解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的解決問題能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻(xiàn)?? ］

［1］? 黃金珠.解直角三角形在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（9）：28-29.

［2］? 梁海栗.核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略研究［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2023（2）：10-12.

［3］? 趙芳.論相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2023（29）：13-15，25.

［4］? 王志剛.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2023（29）：4-6.

［5］? 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

（責(zé)任編輯 黃春香）