錢后義
摘要:七年級(jí)的綜合題中有一類“數(shù)軸上雙動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題,更適合在七年級(jí)上學(xué)期期末階段的復(fù)習(xí)選用,而不太適合在有理數(shù)或整式加減這兩章就急于選、練、講.這類“數(shù)軸上雙動(dòng)點(diǎn)”綜合題的解題關(guān)鍵是“數(shù)形結(jié)合”,將動(dòng)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的“數(shù)”(用含未知數(shù)的字母)表示出來(lái),然后抓住運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系列出方程求解.
關(guān)鍵詞:貼近主線;聚焦目標(biāo);單元復(fù)習(xí)課;數(shù)軸雙動(dòng)點(diǎn)習(xí)題
最近,學(xué)校教導(dǎo)處組織工作三年之內(nèi)的年輕教師上匯報(bào)課,筆者有機(jī)會(huì)參加聽課、評(píng)課活動(dòng).教學(xué)內(nèi)容是七年級(jí)上學(xué)期有理數(shù)和整式加減兩章的復(fù)習(xí).老師們精心備課、精彩展示,看得出年輕教師努力上進(jìn)的專業(yè)追求.當(dāng)然,教學(xué)是遺憾的藝術(shù),其中有一位教師在復(fù)習(xí)課的學(xué)案上選編了一道數(shù)軸上的雙動(dòng)點(diǎn)綜合題,雖然也有少數(shù)學(xué)生在課堂上能挑戰(zhàn)成功,并與全班講解分享,但這道習(xí)題的講評(píng)并沒(méi)有突出數(shù)軸的本質(zhì),解法也只是重復(fù)了小學(xué)階段行程問(wèn)題的思路,不夠貼近本課復(fù)習(xí)目標(biāo).本文中先概述筆者的觀課與隨感,然后給出單元復(fù)習(xí)課選題的建議和教學(xué)思考,供討論.
1 數(shù)軸上雙動(dòng)點(diǎn)習(xí)題講評(píng)及聽課隨感
習(xí)題 如圖1,在數(shù)軸上有C,D兩點(diǎn),它們分別對(duì)應(yīng)著數(shù)-10,5.現(xiàn)有一只電子螞蟻H從點(diǎn)C出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸負(fù)方向向左運(yùn)動(dòng),同時(shí)另一只電子螞蟻Q從點(diǎn)D出發(fā),以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸負(fù)方向向左運(yùn)動(dòng).
(1)設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)E處相遇,求點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的數(shù);
(2)經(jīng)過(guò)多少秒,兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距9個(gè)單位長(zhǎng)度,并求此時(shí)電子螞蟻Q在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù).
學(xué)生獨(dú)立練習(xí)5 min左右,教師挑選了一個(gè)學(xué)生的解題過(guò)程進(jìn)行投影,并安排學(xué)生Z上臺(tái)講解:
第(1)問(wèn),兩只電子螞蟻的初始距離即C,D兩點(diǎn)間的距離是5+10=15個(gè)單位長(zhǎng)度,兩只電子螞蟻在15÷(4-1)=5秒后相遇.所以點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的數(shù)是5-4×5=-15.
第(2)問(wèn),當(dāng)兩只電子螞蟻未相遇時(shí)相距9個(gè)單位長(zhǎng)度,它們的相遇時(shí)間為(15-9)÷(1+4)=1.2秒,這時(shí)電子螞蟻Q所在點(diǎn)表示的數(shù)為:5-1.2×4=0.2.
當(dāng)兩只電子螞蟻相遇后相距9個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),它們的相遇時(shí)間為(15+9)÷(1+4)=4.8秒,這時(shí)電子螞蟻Q所在點(diǎn)表示的數(shù)為:5-4.8×4=-14.2.
老師聽了之后連連搖頭說(shuō):“第(2)問(wèn)的解答不正確,
你把動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題淺顯地看作行程問(wèn)題來(lái)解,十分容易出現(xiàn)把公式套用錯(cuò)誤的情況,比如你就把追及問(wèn)題當(dāng)作相遇問(wèn)題,兩點(diǎn)相向而行來(lái)思考,大錯(cuò)特錯(cuò)了!”
于是學(xué)生Z重新畫圖分析后,修正第(2)問(wèn)的答案如下:
如圖2,當(dāng)兩只電子螞蟻未相遇時(shí)相距9個(gè)單位長(zhǎng)度,它們的相遇時(shí)間為(15-9)÷(4-1)=2秒,這時(shí)電子螞蟻Q所在點(diǎn)表示的數(shù)為:5-2×4=-3.
如圖3,當(dāng)兩只電子螞蟻相遇后相距9個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),它們的相遇時(shí)間為(15+9)÷(4-1)=8秒,這時(shí)電子螞蟻Q所在點(diǎn)表示的數(shù)為:5-8×4=-27.
聽課隨感:近年來(lái),這類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在七年級(jí)上學(xué)期比較“流行”,且不論這些流行的“人為編造”的數(shù)學(xué)習(xí)題是否“有趣”或“無(wú)趣”.觀課中可發(fā)現(xiàn)學(xué)生Z在小學(xué)階段已深刻理解行程問(wèn)題,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題“生長(zhǎng)在”數(shù)軸上,他能迅速轉(zhuǎn)化為小學(xué)階段就很熟悉的行程問(wèn)題,不必管數(shù)軸的“包裝”,排除干擾,善于轉(zhuǎn)化,精選工具(算術(shù)),快速解決.遺憾的是看錯(cuò)行程問(wèn)題的類型,導(dǎo)致錯(cuò)誤,隨后教師點(diǎn)評(píng)并啟發(fā)“以形助數(shù)”,在圖形直觀啟示之下,解題步驟展現(xiàn)出“讓思維可見(jiàn)”的“好的表達(dá)”!
對(duì)于執(zhí)教老師的課堂表現(xiàn)來(lái)說(shuō),也顯得教法相對(duì)“單一”,比如從上文觀課記錄可以看出,該教師與學(xué)生Z的對(duì)話基本上是“一對(duì)一”的,忽略了其他同學(xué)的課堂參與.如果教師在學(xué)生Z出錯(cuò)后,能圍繞這個(gè)錯(cuò)誤、化用這個(gè)“錯(cuò)誤資源”,組織全班同學(xué)討論、糾錯(cuò)并究錯(cuò),則會(huì)是一次更有價(jià)值的“化錯(cuò)教學(xué)”(小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師華應(yīng)龍老師積極倡導(dǎo)).
本質(zhì)上說(shuō),上述方法仍然是小學(xué)階段就已經(jīng)(或應(yīng)該)訓(xùn)練了的,還沒(méi)有顯示出數(shù)軸作為“數(shù)形結(jié)合”重要工具的價(jià)值.比如,我們可以設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則點(diǎn)H,Q對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是-10-t,5-4t.由兩點(diǎn)間的距離公式,可得HQ=|(-10-t)-(5-4t)|=9,化簡(jiǎn)得|3t-15|=9,即3t-15=9或3t-15=-9,解得t=8或t=2.
這種思路能很好地體現(xiàn)了數(shù)軸上的點(diǎn)與所對(duì)應(yīng)的數(shù)(含t的式子表示)之間的關(guān)系,然后借用兩點(diǎn)之間的距離公式列出含絕對(duì)值的方程,這些知識(shí)或解法背后展現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想對(duì)于八、九年級(jí)的函數(shù)問(wèn)題,或者坐標(biāo)系下的求解都是非常有發(fā)展性的.當(dāng)然,由于學(xué)生才學(xué)到有理數(shù)、整式加減這兩章,上述“好的方法”(更體現(xiàn)數(shù)軸價(jià)值)可能涉及到方程的解法,“急于拋出”這種解法有“超進(jìn)度”之嫌,待整式加減、一元一次方程學(xué)習(xí)之后的階段復(fù)習(xí)或期末復(fù)習(xí),再適當(dāng)安排專題講評(píng),或許是更合適的選擇.
2 關(guān)于單元復(fù)習(xí)課選題的幾點(diǎn)思考
(1)選題之前要明確單元復(fù)習(xí)的目標(biāo)
單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)或備課要明確教學(xué)目標(biāo),而不只是羅列知識(shí)點(diǎn)、選幾道例題和習(xí)題就是備課工作.具體來(lái)說(shuō),圍繞單元復(fù)習(xí)課的內(nèi)容,查閱課程標(biāo)準(zhǔn)和教材,然后擬定3~4條復(fù)習(xí)目標(biāo)(復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)不同于新授課).比如,數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值這些內(nèi)容在新授課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)就要細(xì)化處理,而在有理數(shù)單元復(fù)習(xí)時(shí),往往只是一句話“理解有理數(shù)及相關(guān)概念”.再如,整式加減中第1課時(shí)學(xué)習(xí)單項(xiàng)式、多項(xiàng)式及相關(guān)概念時(shí),有很多零碎的知識(shí)點(diǎn),在單元復(fù)習(xí)時(shí)只能濃縮為“理解整式及相關(guān)概念”,而需將有理數(shù)、整式的運(yùn)算作為階段復(fù)習(xí)或單元復(fù)習(xí)的重要目標(biāo)進(jìn)行表述.
(2)選題改編要圍繞單元復(fù)習(xí)的重點(diǎn)
在明確了復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)之后,選題就要圍繞教學(xué)目標(biāo)有序展開,由易到難、漸次展開.以有理數(shù)、整式加減的階段復(fù)習(xí)課為例,復(fù)習(xí)重點(diǎn)應(yīng)該是有理數(shù)、整式加減的運(yùn)算,這節(jié)課中選題的重心也要落在運(yùn)算上.具體來(lái)說(shuō),例習(xí)題的選編要體現(xiàn)在運(yùn)算上,但并不全部是以前練習(xí)過(guò)的運(yùn)算習(xí)題的拼湊,反復(fù)練容易形成審美疲勞,也是一種“內(nèi)卷”.教學(xué)中可以將運(yùn)算訓(xùn)練類習(xí)題進(jìn)行變式改編,比如摘選新授課期間學(xué)生的一些運(yùn)算錯(cuò)誤進(jìn)行展示,安排學(xué)生參與糾錯(cuò)、究錯(cuò)[1],并交流運(yùn)算心得或分享經(jīng)驗(yàn).再如,數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、服務(wù)于生活,針對(duì)有理數(shù)、整式加減的復(fù)習(xí)重點(diǎn),還可適當(dāng)選編生活實(shí)際問(wèn)題,讓學(xué)生運(yùn)用這一階段所學(xué)習(xí)的內(nèi)容、工具、模型來(lái)解決問(wèn)題,突出應(yīng)用能力、數(shù)學(xué)建模能力的訓(xùn)練.
(3)較難題內(nèi)容效度要聚焦本課主線
復(fù)習(xí)課在“后半段”一般都會(huì)選編一、兩道較難的例習(xí)題,以便讓學(xué)生在問(wèn)題漸次展開的過(guò)程中,由易到難、拾級(jí)而上[2]、挑戰(zhàn)自我.這些較難題的選編非??简?yàn)教師備課選題的基本功,很容易出現(xiàn)隨手選編“流行考題”“名??碱}”之類的做法,而這些考題往往來(lái)源于期末試卷(甚至是中考試卷),其命題人對(duì)這些題的命題定位是整個(gè)學(xué)期(或初中學(xué)段),這樣選編成單元復(fù)習(xí)時(shí)這類問(wèn)題的內(nèi)容效度往往有較大的偏差.比如上文提及的數(shù)軸上的雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,在有理數(shù)、整式加減之后就匆忙選編訓(xùn)練就不太恰當(dāng),因?yàn)檫@類問(wèn)題“較好的解法”(或者有“初中味道”的方法)需要學(xué)生有扎實(shí)的方程、線段和差倍分等知識(shí)儲(chǔ)備.又如,學(xué)生在初學(xué)全等三角形之后,有些教師對(duì)一些同步教輔書上的習(xí)題不加取舍,沒(méi)有認(rèn)真研究教材上新授課期間全等三角形的習(xí)題要求,人為拔高全等三角形的練習(xí)難度,增加學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)的畏難情緒.
參考文獻(xiàn):
[1]華應(yīng)龍.華應(yīng)龍與化錯(cuò)教學(xué)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2015.
[2]劉東升.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)漸次展開,開放對(duì)話查漏補(bǔ)缺——以勾股定理復(fù)習(xí)課為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2021(18):6-7,75.