陸莉婷

[摘要]良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是掌握學(xué)習(xí)方法、提高教學(xué)效率的基礎(chǔ)．研究者從數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與CPFS結(jié)構(gòu)的概念與聯(lián)系出發(fā)，分別從以下四個方面例談教學(xué)設(shè)計與思考：思維導(dǎo)圖提煉CPFS結(jié)構(gòu)；激發(fā)式教學(xué)發(fā)展CPFS結(jié)構(gòu)；問題鏈推進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)；多變式設(shè)計完善CPFS結(jié)構(gòu)．

[關(guān)鍵詞]CPFS結(jié)構(gòu)；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；核心素養(yǎng)

隨著新課改的推進(jìn)．基礎(chǔ)教育飛速發(fā)展，各種新的教育理念也陸續(xù)進(jìn)入大家的視野．如今的數(shù)學(xué)教育更關(guān)注學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在影響核心素養(yǎng)發(fā)展的諸多因素中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)起著關(guān)鍵性的作用．為此筆者對學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展進(jìn)行了大量研究，發(fā)現(xiàn)從CPFS結(jié)構(gòu)著手設(shè)計教學(xué)對促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展具有重要意義.

核心概念

1．認(rèn)知結(jié)構(gòu)

認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指學(xué)生腦海中的知識結(jié)構(gòu)，如對知識理解的深度、寬度、感知覺、思維等均屬于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的范疇．學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是探索新知的源泉．

認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特性有：①能動性，認(rèn)知結(jié)構(gòu)與知識結(jié)構(gòu)有著質(zhì)的區(qū)別，知識結(jié)構(gòu)是客觀存在的內(nèi)容，不受主觀因素影響．而認(rèn)知結(jié)構(gòu)卻是學(xué)習(xí)者經(jīng)過主觀改造后形成的知識結(jié)構(gòu)．屬于心理與知識融合的產(chǎn)物．具有高度的主觀能動性．②整體性．認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者將所學(xué)內(nèi)容有機(jī)地整合在一起構(gòu)建而來的．新知學(xué)習(xí)就是完善原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程；③發(fā)展性．心理學(xué)家認(rèn)為人的認(rèn)知需要經(jīng)歷同化、順應(yīng)與平衡三個階段，隨著認(rèn)知水平的不斷改造、重組與深化，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到有效發(fā)展．

2．CPFS結(jié)構(gòu)

CPFS結(jié)構(gòu)由概念域、概念系、命題域、命題系所組成，其作用主要是揭露概念與命題之間的聯(lián)系．CPFS結(jié)構(gòu)對學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響主要有：①促進(jìn)理解．學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷發(fā)展與整合CPFS結(jié)構(gòu)，對問題的理解就逐漸加深．大腦中所構(gòu)建的知識體系也愈發(fā)完善．②整體把握知識結(jié)構(gòu)，隨著CPFS結(jié)構(gòu)的不斷完善，學(xué)生可從邏輯上重新認(rèn)識數(shù)學(xué)概念與命題等．實現(xiàn)新舊知識的有機(jī)融合，基于“再發(fā)現(xiàn)”與“再認(rèn)識”完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3．CPFS結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系

CPFS結(jié)構(gòu)可代表大多數(shù)數(shù)學(xué)知識體系．幫助學(xué)生更好地理解與掌握新知．促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)完善．在實際教學(xué)中．教師可有意識地發(fā)展學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生自主構(gòu)建知識的能力．鑒于數(shù)學(xué)的邏輯性較強(qiáng)．想要從真正意義上掌握其本質(zhì)須對知識做到融會貫通．CPFS結(jié)構(gòu)就是一種邏輯清晰、節(jié)點明確、聯(lián)系緊密的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生理解、記憶與提取信息．因此．關(guān)注CPFS結(jié)構(gòu)的發(fā)展對完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有重要意義.

基于CPFS結(jié)構(gòu)的教學(xué)設(shè)計

實踐發(fā)現(xiàn)．在數(shù)學(xué)課堂中優(yōu)化與完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)可從思維導(dǎo)圖、激發(fā)式教學(xué)、問題鏈與多變式設(shè)計等方面著手．讓學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)沿著“點一線一面一體”發(fā)展．實現(xiàn)思維的網(wǎng)格化與立體化．

1．思維導(dǎo)圖提煉CPFS結(jié)構(gòu)

思維導(dǎo)圖是一種以圖象與文字共同組成的記憶鏈工具，在如今的學(xué)科教學(xué)中應(yīng)用得較多．它不僅能激活左腦中關(guān)于文字、數(shù)字與邏輯的內(nèi)容．還能激活右腦中關(guān)于空間、線條與圖象的內(nèi)容．雙側(cè)大腦同時工作，更利于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建．在教學(xué)中，教師有意識地引導(dǎo)并鼓勵學(xué)生借助思維導(dǎo)圖認(rèn)識教學(xué)內(nèi)容．可進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對知識的理解程度．幫助學(xué)生更好地把握新知．

案例1“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué).

函數(shù)的單調(diào)性問題．可從它的概念與題型出發(fā)．借助思維導(dǎo)圖將其中各個節(jié)點內(nèi)容提煉出來，形成直觀可視的圖形，便于長久記憶，為靈活應(yīng)用夯實基礎(chǔ)．思維導(dǎo)圖的應(yīng)用可以進(jìn)一步完善了學(xué)生的元認(rèn)知結(jié)構(gòu)．讓學(xué)生對命題間的CPFS結(jié)構(gòu)有更加清晰的了解（見圖1）.

2．激發(fā)式教學(xué)發(fā)展CPFS結(jié)構(gòu)

激發(fā)式教學(xué)是指從學(xué)生的興趣點出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的思維與意愿來設(shè)計教學(xué)活動．?dāng)?shù)學(xué)本就源于生活．生活中的很多現(xiàn)象都可以用數(shù)學(xué)來揭示．如銀行貸款、分割田地、氣溫變化趨勢等問題．將這些豐富的生活問題應(yīng)用到課堂中．一方面可以激發(fā)學(xué)生的探索欲．另一方面可以提高學(xué)生的生活能力．幫助學(xué)生更好地內(nèi)化新知．

案例2“數(shù)列”的教學(xué).

為了便于學(xué)生更好地理解數(shù)列現(xiàn)象，教師可借助數(shù)學(xué)史上著名的“兔子問題”來激發(fā)學(xué)生的探索欲：一般情況下．兔子生長2個月就具備繁殖能力，假定1對成熟的兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌，且均成活），由1對新出生的兔子開始，求1年后一共有多少對兔子，過第1個月，兔子還沒有繁殖能力，因此兔子仍是1對；過第2個月，開始第1次繁殖，此時共有2對兔子；過第3個月，第1對兔子又生下1對小兔子．但第2對兔子還沒有繁殖能力，此時共有3對兔子．以此類推．具體情況見表1．

觀察表1呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)．發(fā)現(xiàn)兔子的總對數(shù)1，1，2，3，5，…是一個特征明顯的數(shù)列．即任意前兩項相鄰數(shù)字的和都等于后面一項，這是一組有趣的數(shù)據(jù)．在生活實際中遇到的概率是怎樣的呢？有沒有什么方法可以用來描述這組數(shù)據(jù)呢？這兩個問題成功激發(fā)了學(xué)生的探索內(nèi)驅(qū)力．學(xué)生對此充滿了研究興趣．

為了讓學(xué)生更寬泛地理解數(shù)列，還可以借助我國數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典名言“一尺之棰．日取其半．萬世不竭”．此言源于生活．通俗易懂．卻蘊含著深刻的數(shù)學(xué)極限思想，“一尺之棰，日取其半”構(gòu)成了無窮遞縮的等比數(shù)列．假設(shè)木棰的長度Z為1．那么從第一天開始往后．其長度排列在一起形成了一個無窮數(shù)列：1／2，1／4，1／8，…，1／2n（n為正整數(shù)）．

上述兩個案例都應(yīng)用學(xué)生感興趣的素材作為教學(xué)起點，一方面為學(xué)生自主構(gòu)建CPFS結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)，另一方面起到滲透數(shù)學(xué)文化的作用，學(xué)生通過這兩個素材的探索與研究，能有效促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展．為核心素養(yǎng)的形成夯實了基礎(chǔ)．

3．問題鏈推進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)

眾所周知，問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)教學(xué)實則為不斷提出問題與解決問題的過程．縱觀整個數(shù)學(xué)史的發(fā)展．每一次“質(zhì)”的飛躍都是因為解決了一個或一類新問題．由此可以看出．問題始終是激發(fā)創(chuàng)造、推動學(xué)科發(fā)展的原動力．如無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)．就源于打破了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所提出的“宇宙間所有現(xiàn)象均為有理數(shù)”的結(jié)論．無理數(shù)的提出不僅擴(kuò)充了數(shù)系．推動了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展．還解釋了一些之前無法解釋的現(xiàn)象.

以問題為中心的課堂是促進(jìn)師生、生生雙邊積極互動的基礎(chǔ)，高質(zhì)量的問題可有效啟發(fā)學(xué)生的思維．讓學(xué)生對探索內(nèi)容產(chǎn)生好奇心．提高學(xué)習(xí)成效，問題鏈一般圍繞核心問題由淺入深地設(shè)計一串小問題為學(xué)生的思維搭建“腳手架”．讓學(xué)生通過對問題的逐個突破．從而對知識形成獨特的見解，提高思維能力，這是推進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)形成于核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵．

案例3“等差數(shù)列的前n項和公式”的教學(xué).

為了有效提高學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．讓學(xué)生基于CPFS結(jié)構(gòu)從深層次理解等差數(shù)列的前n項和公式．教師在教學(xué)時可借助問題鏈激發(fā)學(xué)生的思維，讓深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生．

問題1木材廠堆放了一堆圓木，從側(cè)面來看，圓木由上到下的數(shù)量分別為1，2，3，…，10．求這堆圓木的數(shù)量．

問題2據(jù)說，10歲的高斯用下面的方法迅速計算出了1+2+3+…+100的和：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050．如果讓你計算1+2+3+-+98+99的和，你會怎么計算？

生1：（1+2+3+…+99+100）-100.

生2：（1+2+3+…+98）+99．

生3：（1+2+3+…+98+99+99+98+…+2+1）÷2．

生4：0+1+2+…+98+99．

生5：設(shè)S=1+2+…+99，S=99+98+…+2+1，則2S=（1+99）+（2+98）+…+（98+2）+（99+1），所以S=（100×99）÷2=4950．

問題3若想計算1+2+3+…+（n-1）+n的和，以上幾位同學(xué)的算法，哪種更簡便？

學(xué)生一致認(rèn)為最后一種方法更簡便，其他幾種方法相對煩瑣，計算量大且容易出錯．基于此．為了進(jìn)一步幫助學(xué)生構(gòu)建“等差數(shù)列的前n項和公式”．教師可繼續(xù)以問題鏈的形式與學(xué)生互動.

問題4嘗試用最后一種方法求1+2+3+…+（n-1）+n的和．

問題5這個待求數(shù)列存在什么特點？（是公差為1的等差數(shù)列）

問題6通過以上問題的解決．你有什么發(fā)現(xiàn)或結(jié)論？（等差數(shù)列的和可用首項、末項與項數(shù)來計算）

問題7嘗試將以上求和問題進(jìn)行推廣，形成一般形式．假設(shè)數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列，其公差為d．首項為a1，用以上方法嘗試求Sn=a1+a2+a3+…an-1+an．

學(xué)生經(jīng)合作探索與交流，獲得結(jié)論為：Sn=（a1+an）n/2.

問題8若把通項公式an=a1+（n-1）d代入上述結(jié)論，可獲得Sn的新形式嗎？（Sn=na1+[n（n-1）/2]d）

問題9結(jié)合以上推理過程與結(jié)論，完成如下練習(xí)……

問題鏈的設(shè)計，讓學(xué)生循序漸進(jìn)、由淺入深地探索新知．學(xué)生的探索意識與探索能力隨著問題的逐漸深入而成熟，認(rèn)知結(jié)構(gòu)也逐漸趨于完善．在探索過程中．有些學(xué)生也會自主生成一些問題，教師可將有探索價值的問題延伸開來．順應(yīng)學(xué)生的思維進(jìn)行拓展分析，使得課堂動態(tài)生成．同時．CPFS結(jié)構(gòu)在問題鏈的牽引下愈發(fā)豐滿．學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也愈發(fā)完善．

4．多變式設(shè)計完善CPFS結(jié)構(gòu)

多變式教學(xué)是指借助問題情境讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題．在問題的探索中建構(gòu)新知的教學(xué)方法，學(xué)生在這種教學(xué)模式下可通過多種渠道獲得新知．因此這是一種降低學(xué)習(xí)難度的方法．也是一種凸顯學(xué)生為課堂主體的教學(xué)方法，多變式設(shè)計完善CPFS結(jié)構(gòu)對教師的專業(yè)素養(yǎng)有較高的要求．具體表現(xiàn)在如下兩個方面．

（1）了解學(xué)情.

課前．教師要在研讀新課標(biāo)與教材的基礎(chǔ)上“備學(xué)生”，只有充分了解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)才能創(chuàng)設(shè)出恰當(dāng)?shù)那榫骋l(fā)學(xué)生課堂參與的積極性．同時．教師還要了解學(xué)生的思維習(xí)慣，盡可能預(yù)見學(xué)生在知識的探索過程中出現(xiàn)的各種可能，當(dāng)然．課堂是動態(tài)變化的．就算基于精心預(yù)設(shè)的背景下，也很難做到面面俱到，這就要求教師擁有過硬的專業(yè)素養(yǎng)來靈活應(yīng)對課堂中的突發(fā)情況，這些突發(fā)情況往往是促使課堂動態(tài)生成的契機(jī)，對拔高學(xué)生的思維具有重要意義．

（2）巧設(shè)情境.

情境是多變式教學(xué)的背景．恰當(dāng)?shù)膯栴}情境能成功激發(fā)學(xué)生的思維．挖掘?qū)W生的潛能．引發(fā)學(xué)生思考．學(xué)生置身于豐富的情境中積極探索．教師可在適當(dāng)時機(jī)給予點撥，根據(jù)學(xué)生的實際表現(xiàn)調(diào)控課堂．如數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)小故事、生活熱點等，都是引發(fā)學(xué)生思考的好情境．情境展示除了教師的口頭描述外．還可以借助多媒體的播放功能、幾何畫板的演示功能等，讓學(xué)生在視覺化情境中感知學(xué)科魅力．

例如“解三角形”的教學(xué)．就可以通過生活實際情境如計算河兩岸建筑物的距離，激發(fā)學(xué)生的興趣，帶領(lǐng)學(xué)生從多個角度出發(fā)探索結(jié)論：如等比數(shù)列前n項和公式的探索，可以借助一些小故事揭露原理．提高課堂探索氛圍；再如線性規(guī)劃問題的教學(xué)．可以借助多媒體展示科學(xué)技術(shù)的高超之處，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)學(xué)科的趣味性與實用性等．

多變式設(shè)計，不僅可以豐富課堂，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲．還能完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)．讓學(xué)生對知識做到“知其然且知其所以然”，使學(xué)生的認(rèn)知在豐富的教學(xué)手段中得以長效發(fā)展．

總之，結(jié)合學(xué)情、教情與考情選擇不一樣的教學(xué)方式．不僅能讓抽象的數(shù)學(xué)變得趣味十足．還能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生親近感．從而更加樂學(xué)、善學(xué)．因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)注CPFS結(jié)構(gòu)的構(gòu)建．是完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵．