沈新春

【摘 要】2022年版課標(biāo)指出，在小學(xué)階段要培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)。模型意識(shí)主要指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，具體表現(xiàn)為從真實(shí)的現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，并在解決問(wèn)題的過(guò)程中提煉出一般化的數(shù)學(xué)模型，最終應(yīng)用于同一類的現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題。從現(xiàn)實(shí)生活中來(lái)，并應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中去，在解決問(wèn)題的過(guò)程中逐步發(fā)展出模型意識(shí)。在教學(xué)實(shí)踐中，教師要運(yùn)用有效的教學(xué)策略，抓住培養(yǎng)模型意識(shí)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，使學(xué)生能夠深刻體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型在實(shí)際生活中的價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 核心素養(yǎng) 模型意識(shí)

一、在真實(shí)情境中感悟模型

數(shù)學(xué)模型的普適性決定了模型的構(gòu)成必然是抽象的。要實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)抽象的理解，前期的素材和過(guò)程尤其重要。2022年版課標(biāo)提出了“三會(huì)”，都是要建立數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系。我們所學(xué)的知識(shí)必然來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界，所以用最簡(jiǎn)單真實(shí)的情境，設(shè)計(jì)開(kāi)放性的問(wèn)題，可以為學(xué)生發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)學(xué)模型做好準(zhǔn)備，以達(dá)成建構(gòu)模型的第一步。

例如：在蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“簡(jiǎn)單的周期”的教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)串珠子的情境，如圖1。

師：老師這里有一些五顏六色的珠子，現(xiàn)在老師要把這些珠子串在這根繩子上，你能猜猜第一個(gè)珠子是什么顏色的嗎？第二個(gè)珠子呢？第三個(gè)珠子呢？……

（學(xué)生自由猜測(cè)）

生1：我發(fā)現(xiàn)這四種顏色的珠子在排列的時(shí)候是有一定規(guī)律的。

生2：我發(fā)現(xiàn)這些珠子都是4個(gè)一組地排列的。

生3：我發(fā)現(xiàn)這些珠子都是按紅、藍(lán)、綠、黃的順序排列的。

師：同學(xué)們觀察得太仔細(xì)啦！其實(shí)我們身邊還有很多這類有規(guī)律的現(xiàn)象。今天我們就一起從生活中的一些排列里找一找，看看有什么規(guī)律，能學(xué)到哪些數(shù)學(xué)方法。

在這樣的情境中，每個(gè)學(xué)生都處于探索和發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，能夠獲得對(duì)周期排列規(guī)律的初步感知，從而引發(fā)進(jìn)一步探索的心理需求，為接下來(lái)的探究活動(dòng)做好鋪墊，初步培養(yǎng)了模型意識(shí)。

二、在操作交流中提煉模型

我國(guó)著名教育家陶行知先生提出“教學(xué)做合一”的教育理論，提倡學(xué)生應(yīng)該在做中學(xué)。只有讓學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作，他們才能更加透徹地理解和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中概念和公式等數(shù)學(xué)模型，也只有在動(dòng)手操作的過(guò)程中，學(xué)生才能發(fā)現(xiàn)更多的問(wèn)題，并積極主動(dòng)地運(yùn)用學(xué)到的知識(shí)來(lái)分析和解決問(wèn)題。因此教師要精心創(chuàng)設(shè)適合且有效的問(wèn)題情境，為學(xué)生提供豐富的感性材料，讓他們?cè)诓僮鹘涣髦卸嗑S度感知探究對(duì)象的特征和數(shù)量關(guān)系，掌握其中的共同特點(diǎn)和本質(zhì)結(jié)構(gòu)，最終抽象和提煉出解決問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)模型。

例如：蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)中有這樣一道練習(xí)題。如圖2。

出示要求：

（1）小組合作，每人選一本大小不同的書(shū)；

（2）測(cè)量所選書(shū)封面的長(zhǎng)和寬（精確到毫米）；

（3）用計(jì)算器算出長(zhǎng)除以寬的商（得數(shù)保留兩位小數(shù)）；

（4）在小組內(nèi)交流，填寫(xiě)教材上的表格；

（5）觀察表格中的數(shù)據(jù)，說(shuō)說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)。

小組活動(dòng)后，集體交流。

師：通過(guò)剛剛的活動(dòng)，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)這些書(shū)雖然大小不同，但長(zhǎng)除以寬所得的商的近似值基本相同。

生2：我發(fā)現(xiàn)這些書(shū)的長(zhǎng)除以寬的近似值都是1.41。

三、在不斷追問(wèn)中抽象模型

小學(xué)生的年齡較小，他們更注重直觀層面的思維方式。因此，培養(yǎng)模型意識(shí)時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮到他們實(shí)際的思維水平，可以采用逐步引導(dǎo)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的方式進(jìn)行。在教學(xué)過(guò)程中，教師要精心設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題，逐漸提升問(wèn)題的難度和抽象度，以促使學(xué)生逐漸理解和應(yīng)用模型。在不斷的追問(wèn)中層層推進(jìn)，引領(lǐng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，經(jīng)歷從具體到抽象、從一個(gè)到一類的過(guò)程，甚至從已有抽象到更高級(jí)抽象，經(jīng)歷多次的建模過(guò)程，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方式進(jìn)行表達(dá)，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的抽象。

例如：蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)中有這樣一道練習(xí)題。如圖3。

方法一：

提問(wèn)：從題目中你能獲得哪些信息？

根據(jù)學(xué)生回答摘錄條件：

3支圓珠筆 2支鉛筆——8.7元

2支圓珠筆 3支鉛筆——6.8元

追問(wèn)：從條件上看，如果把兩次買(mǎi)的物品合起來(lái)，你能知道什么？

追問(wèn)：那你能算出1支圓珠筆和1支鉛筆一共的價(jià)錢(qián)嗎？

追問(wèn)：那2支圓珠筆和2支鉛筆一共的價(jià)錢(qián)呢？

追問(wèn)：現(xiàn)在你能求出1支圓珠筆和1支鉛筆各多少元了嗎？

方法二：

提問(wèn)：把兩次條件對(duì)比一下，就是把第一個(gè)條件里的什么換成了什么？

指出：把圓珠筆換成了鉛筆，總價(jià)就少了1.9元。

追問(wèn)：如果把第一次買(mǎi)的3支圓珠筆換成3支鉛筆，總價(jià)就少了多少元？買(mǎi)5支鉛筆應(yīng)付多少元？

追問(wèn)：現(xiàn)在你能求出鉛筆的單價(jià)了嗎？圓珠筆的呢？

方法三：

提問(wèn)：如果把第二次買(mǎi)的1支鉛筆換成1支圓珠筆，總價(jià)就要多多少元？（以下思路與方法二類似）。

讓學(xué)生選擇一種方法解答，校對(duì)結(jié)果。

學(xué)生在獨(dú)立解決這樣一個(gè)問(wèn)題時(shí)有一定的困難，好多學(xué)生無(wú)從下手，因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型比較復(fù)雜。另外，這個(gè)問(wèn)題中有兩個(gè)未知量，進(jìn)一步加大了問(wèn)題的難度。這時(shí)教師可以多采用追問(wèn)的方式，給學(xué)生一些支架，幫助學(xué)生順利抵達(dá)最近發(fā)展區(qū)。在不斷的追問(wèn)中，學(xué)生將零散碎片化的經(jīng)驗(yàn)逐步整合，最終抽象出一般性的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生的思維能力和模型意識(shí)也在這樣的層層推進(jìn)和引領(lǐng)中得到了發(fā)展。

四、在回顧反思中完善模型

初步完成模型建構(gòu)之后，回顧模型的探索過(guò)程，討論結(jié)論的正確性和合理性，不僅有助于學(xué)生更加完整地感受模型思想，還能提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。因此，在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生圍繞已建立的模型進(jìn)行反思，以深入理解和掌握模型的建構(gòu)方法與過(guò)程，在不斷的反思中，進(jìn)一步內(nèi)化完善模型。

例如：蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“面積的變化”。

師：同學(xué)們回顧一下，剛才我們是通過(guò)哪些活動(dòng)發(fā)現(xiàn)面積的變化規(guī)律的？

生：我們先通過(guò)觀察提出問(wèn)題“圖形放大后與放大前的面積比和邊長(zhǎng)比是不是隱含著什么規(guī)律呢？”，然后作出猜測(cè)。接著舉例驗(yàn)證，畫(huà)一些圖形，把它們按比例放大，計(jì)算出放大后與放大前對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比和面積的比，看看是不是符合這個(gè)規(guī)律。最后得出結(jié)論。

師：是??！提出問(wèn)題、作出猜測(cè)、舉例驗(yàn)證、得出結(jié)論，就是我們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種好方法。

師：那為什么面積會(huì)有這樣的變化呢？其實(shí)可以聯(lián)系圖形的面積計(jì)算公式和四年級(jí)學(xué)習(xí)的積的變化規(guī)律來(lái)進(jìn)行思考。

教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧反思面積變化規(guī)律的建構(gòu)過(guò)程，總結(jié)了研究過(guò)程——提出問(wèn)題、作出猜測(cè)、舉例驗(yàn)證和得出結(jié)論，幫助學(xué)生初步掌握了建構(gòu)面積變化模型的方法。面積變化模型建構(gòu)完成后，教師從“為什么面積會(huì)有這樣的變化”進(jìn)行拓展，讓學(xué)生進(jìn)一步思考，完善對(duì)面積變化這一模型的理解。

五、在聯(lián)結(jié)溝通中深化模型

在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，教師要在學(xué)生建立了數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用模型解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上，對(duì)知識(shí)和方法進(jìn)行整理，串聯(lián)知識(shí)體系，進(jìn)行合理的遷移和類推，連接不同層面的脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，促使思維模型不斷深化，在融通中逐步建立數(shù)學(xué)模型體系。

例如：蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“周長(zhǎng)和面積整理與復(fù)習(xí)”。

出示要求：

（1）想一想我們學(xué)過(guò)哪些平面圖形的面積公式？都是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的？

（2）利用課前準(zhǔn)備的6個(gè)圖形擺一擺，表示出它們的面積公式推導(dǎo)之間的聯(lián)系。

（3）在小組內(nèi)交流你的想法和做法。

小組合作，教師巡視、指導(dǎo)。

集體交流，展示部分學(xué)生的作品，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)是怎樣思考的。

生1：正方形可以看成是特殊的長(zhǎng)方形，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式可以推導(dǎo)出正方形的面積公式。

生2：平行四邊形和圓形都可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，也可以根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出來(lái)。

生3：三角形和梯形都可以用兩個(gè)完全一樣的圖形拼在一起，轉(zhuǎn)化成平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的面積公式進(jìn)行推導(dǎo)。

知識(shí)之間是相互聯(lián)系的，要使知識(shí)系統(tǒng)化，必須把知識(shí)連成線、結(jié)成網(wǎng)。本節(jié)課，先讓學(xué)生自主回憶各平面圖形的面積公式推導(dǎo)過(guò)程，再讓學(xué)生用課前準(zhǔn)備的6個(gè)圖形擺一擺，表示出它們之間的聯(lián)系，完成對(duì)舊知的重新組織和建構(gòu)，讓學(xué)生充分感悟知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性。把零散的平面圖形面積的知識(shí)聯(lián)系在一起，學(xué)生深刻感受到了各計(jì)算公式模型推導(dǎo)之間存在的關(guān)聯(lián)性，進(jìn)一步理解了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系。

六、在探索應(yīng)用中運(yùn)用模型

在建模之后，要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到直觀的、具體的實(shí)際問(wèn)題中，不斷豐富其對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解；要引導(dǎo)學(xué)生探究應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，形成對(duì)數(shù)學(xué)模型的再認(rèn)識(shí)。因此，教師可以針對(duì)學(xué)生的思維水平和學(xué)習(xí)狀況有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度理解相關(guān)模型的意義和特點(diǎn)，協(xié)助他們?cè)谛碌那榫持刑剿骱蛻?yīng)用模型，進(jìn)行有序思考，掌握應(yīng)用模型的步驟和方法，逐步實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。

例如：蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“圓的面積”。

新授課結(jié)束后教師依次出示如下幾道練習(xí)，讓學(xué)生自主探索，合作交流。

（1）圓的半徑是4厘米，面積是多少平方厘米？

（2）圓的直徑是10分米，面積是多少平方分米？

（3）圓的周長(zhǎng)是31.4米，面積是多少平方分米？

上述教學(xué)活動(dòng)以數(shù)學(xué)材料的形式呈現(xiàn)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生嘗試探索應(yīng)用模型。第一題根據(jù)半徑求圓的面積，第二題根據(jù)直徑求圓的面積，第三題根據(jù)周長(zhǎng)求圓的面積，雖然條件不同，但都是根據(jù)圓的面積等于圓周率乘半徑的平方這個(gè)模型去解決，所以要先想半徑是多少，再進(jìn)一步計(jì)算。學(xué)生在材料信息的引領(lǐng)下解決問(wèn)題，既發(fā)揮了教師的引導(dǎo)作用，又培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，讓學(xué)生在學(xué)以致用的過(guò)程中，感悟模型的意義和價(jià)值，發(fā)展數(shù)學(xué)模型意識(shí)。另外，學(xué)生還要關(guān)注三道練習(xí)中的單位設(shè)置不同，這是為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

總之，學(xué)生模型意識(shí)的培養(yǎng)是一個(gè)逐步發(fā)展的過(guò)程。這就要求教師在教學(xué)中采用有效的教學(xué)策略，抓住合適的教學(xué)時(shí)機(jī)，循序漸進(jìn)地進(jìn)行滲透，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中親身體驗(yàn)和感悟模型思想，促進(jìn)模型意識(shí)的發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]孫保華.找準(zhǔn)時(shí)機(jī)，滲透模型意識(shí)[J].教育視界，2023（14）.