［摘" 要］ 抽象素養(yǎng)是每一個(gè)學(xué)生必備的基本核心素養(yǎng)之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位. 基于抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)可帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，讓學(xué)生充分體驗(yàn)、感知數(shù)學(xué)抽象的多樣化方法，并通過(guò)對(duì)知識(shí)間聯(lián)系的剖析，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，從真正意義上提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 抽象素養(yǎng)；抽象方法；結(jié)構(gòu)體系；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是對(duì)現(xiàn)實(shí)事物進(jìn)行數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，并獲得其內(nèi)部關(guān)系、一般規(guī)律與結(jié)構(gòu)，再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表征的過(guò)程. 它是對(duì)數(shù)學(xué)事物基本特征的高度概括，屬于一種有序、多級(jí)的應(yīng)用系統(tǒng). 然而，當(dāng)前仍有部分課堂存在“重技能，輕思維”的現(xiàn)象，用解題練習(xí)代替數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 這種教學(xué)理念，嚴(yán)重阻礙著學(xué)生抽象素養(yǎng)的發(fā)展. 為此，筆者對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行了大量研究，總結(jié)如下.

經(jīng)歷抽象過(guò)程

概念本身就具有一定的抽象性特征，其形成常需經(jīng)歷兩個(gè)層次的抽象：①?gòu)氖挛锏耐獠刻卣鞒霭l(fā)，通過(guò)數(shù)學(xué)化的方式形成概念；②從事物的內(nèi)部出發(fā)，進(jìn)一步抽象已有的概念. 研究發(fā)現(xiàn)，親歷知識(shí)形成與發(fā)展的過(guò)程對(duì)知識(shí)的掌握會(huì)更加牢固，應(yīng)用起來(lái)也更得心應(yīng)手. 因此，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念的抽象過(guò)程是夯實(shí)學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)的關(guān)鍵，也為后續(xù)的綜合應(yīng)用做鋪墊. 同時(shí)，經(jīng)歷抽象過(guò)程還能讓學(xué)生在基于深度學(xué)習(xí)視域下掌握概念的內(nèi)涵與外延，此為發(fā)展“四基”的根本.

案例1 “導(dǎo)數(shù)”的概念教學(xué).

第一步，利用豐富的情境或數(shù)學(xué)史引出導(dǎo)數(shù)的概念. 實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，以豐富的情境引出導(dǎo)數(shù)概念，并通過(guò)數(shù)學(xué)史料的介紹滲透數(shù)學(xué)文化，可激發(fā)學(xué)生的探索欲，同時(shí)結(jié)合“運(yùn)動(dòng)學(xué)”可成功引出教學(xué)主題. 其中，教師最常用的“運(yùn)動(dòng)學(xué)”情境為“高臺(tái)跳水”活動(dòng)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均速度并不能解決“跳水”中的所有問(wèn)題，由此凸顯“導(dǎo)數(shù)”的重要性.

第二步，例證分析. 針對(duì)高臺(tái)跳水活動(dòng)，教師提出“怎樣計(jì)算瞬時(shí)速度”的問(wèn)題. 要解決這個(gè)問(wèn)題，需要引導(dǎo)學(xué)生從平均速度著手，探尋求解瞬時(shí)速度的具體方法與思路. 此過(guò)程主要分為兩個(gè)階段：①第一次概括，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，求某個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度就是求某時(shí)間段趨近0時(shí)的平均速度，而且平均速度的變化具有如下趨勢(shì)：當(dāng)時(shí)間段越來(lái)越小，平均速度會(huì)趨向于某個(gè)不變的常數(shù). 這個(gè)常數(shù)就是物體在某個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度. ②第二次概括，通過(guò)對(duì)第二個(gè)時(shí)刻瞬時(shí)速度的分析，獲得運(yùn)動(dòng)員在任何時(shí)間的瞬時(shí)速度. 在此基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)符號(hào)=對(duì)問(wèn)題進(jìn)行描述.

第三步，屬性驗(yàn)證. 通過(guò)對(duì)“切線斜率意義”的分析，對(duì)導(dǎo)數(shù)屬性進(jìn)行驗(yàn)證，主要從以下幾方面著手：①教師借助幾何畫(huà)板將此過(guò)程演示出來(lái)，讓學(xué)生從直觀的圖象中發(fā)現(xiàn)“逼近”現(xiàn)象；②根據(jù)瞬時(shí)速度求解方法，分析特定拋物線處于任意點(diǎn)時(shí)的切線斜率具備怎樣的特征. 不同的問(wèn)題，竟然呈現(xiàn)出了一致的表達(dá)形式，由此揭示不同例子存在的共同屬性. 由此可見(jiàn)，將不同問(wèn)題的共同屬性抽象成一般化的符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，對(duì)驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)屬性具有重要價(jià)值.

第四步，概括導(dǎo)數(shù)所具備的本質(zhì)屬性. 將各種問(wèn)題擺放到一起，去除所有背景，可提煉出“瞬時(shí)變化率”為以上問(wèn)題的共同點(diǎn)，也可理解為它們共有的屬性特征. 將這個(gè)屬性應(yīng)用到一般函數(shù)中，則可自然地抽象出“導(dǎo)數(shù)”的概念，讓學(xué)生切身體會(huì)到導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)就是瞬時(shí)變化率，從而對(duì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵產(chǎn)生初步認(rèn)識(shí).

第五步，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)整個(gè)研究過(guò)程進(jìn)行復(fù)盤(pán)、總結(jié)、反思，可重新剖析出其中的背景意義、數(shù)學(xué)屬性及符號(hào)表征等，讓學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)前后的一致性產(chǎn)生客觀認(rèn)識(shí). 在此基礎(chǔ)上，設(shè)置一些求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的練習(xí)題，讓學(xué)生在解題過(guò)程中對(duì)其符號(hào)表征及本質(zhì)含義有進(jìn)一步的理解，以從真正意義上明晰其背景、數(shù)學(xué)屬性及符號(hào)表征之間的聯(lián)系..

綜上，導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)流程，不僅突出了概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，還讓學(xué)生從多層次中學(xué)會(huì)了抽象、概括，對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念從多角度、多維度、多方法上產(chǎn)生了深刻理解. 這是幫助學(xué)生形成“三會(huì)”能力的基礎(chǔ)，也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的必經(jīng)之路.

體驗(yàn)抽象方法

1. 基本概念抽象

概念一般在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)過(guò)自主探索與思考抽象而來(lái). 上述導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)，教師采用了概念形成的基本方式. 函數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)科體系中的一大分支，知識(shí)容量較大，如函數(shù)的概念、單調(diào)性等，大部分都是應(yīng)用概念形成的基本方式進(jìn)行抽象. 學(xué)生多次經(jīng)歷從實(shí)例出發(fā)進(jìn)行探索研究，久而久之則形成一種研究套路，即學(xué)生將這種抽象概念的方法內(nèi)化于自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成自己的研究方法.

2. 延續(xù)思路抽象

高中階段所涉及的很多教學(xué)內(nèi)容，都是對(duì)學(xué)生原有知識(shí)的推廣. 因?yàn)閷W(xué)生對(duì)這些概念本身就有一定的認(rèn)識(shí)，所以在抽象新概念時(shí)，可延續(xù)原有知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)進(jìn)行思路的拓展與延伸. 這種抽象法，一般以新例作為探索背景，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)導(dǎo)的方式，將學(xué)生的思維引到新的知識(shí)中去. 這種抽象法具有一定的主動(dòng)性.

案例2 “分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”的概念教學(xué).

從學(xué)生原有知識(shí)體系出發(fā)，通過(guò)一些例子的應(yīng)用突破同底數(shù)冪除法運(yùn)算法則中“被除數(shù)指數(shù)比除數(shù)指數(shù)大”的限制，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)冪的存在. 結(jié)合這種突破方法，通過(guò)對(duì)冪的乘方運(yùn)算法則的探索，讓分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在學(xué)生知識(shí)體系中自然生成. 這種突破方法的多次應(yīng)用，讓學(xué)生的思維得以強(qiáng)化，使學(xué)生不知不覺(jué)就掌握這一類數(shù)學(xué)抽象方法.

3. 轉(zhuǎn)化視角抽象

人的思維具有靈活性特征，在數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中，轉(zhuǎn)換一種視角，往往會(huì)“柳暗花明”，這也是一種重要的數(shù)學(xué)抽象法.

案例3 “二項(xiàng)式”定理的教學(xué).

常規(guī)情況下，大眾習(xí)慣從多項(xiàng)式乘法的角度來(lái)歸納一些展開(kāi)式所蘊(yùn)含的共性特征，如在（m+n）2，（m+n）3，（m+n）4的展開(kāi)式的共同點(diǎn)的探索中，借助遞推公式獲得（m+n）n的展開(kāi)式每一項(xiàng)的系數(shù)情況，這個(gè)存在一定難度. 若換個(gè)思路，基于組合的視角來(lái)分析與探索問(wèn)題，則能化繁為簡(jiǎn)，讓思路變得明朗，各個(gè)展開(kāi)式的系數(shù)情況能順利呈現(xiàn).

這個(gè)例子告訴我們，不論是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還是其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，當(dāng)一條路行不通時(shí)，可以換一個(gè)角度、換一種思維進(jìn)行分析，多嘗試幾輪，則會(huì)有意想不到的效果. 這種抽象法對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究具有重要的促進(jìn)作用.

除了以上幾種方法外，還可以借助簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)一些復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行描述，因?yàn)楹?jiǎn)潔的數(shù)學(xué)符號(hào)能將一些冗長(zhǎng)的信息進(jìn)行壓縮、概括，這能將原本復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生能更好地掌握相應(yīng)的概念. 同時(shí)借助史料素材來(lái)進(jìn)行概念教學(xué)，可以讓學(xué)生對(duì)概念的前世今生形成深刻理解，起到激趣啟思、滲透數(shù)學(xué)文化等作用，讓概念教學(xué)成為滲透核心素養(yǎng)的契機(jī).

形成結(jié)構(gòu)體系

1. 形成知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)性的學(xué)科，知識(shí)間存在著一定的聯(lián)系與規(guī)律，人們用知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)表示這種聯(lián)系與規(guī)律. 知識(shí)結(jié)構(gòu)表達(dá)了數(shù)學(xué)家族一系列特征，涵蓋了人們從邏輯的角度對(duì)知識(shí)來(lái)龍去脈的認(rèn)識(shí). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，不僅能讓學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科，還能提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的預(yù)見(jiàn)，提升學(xué)生的解題能力.

案例4 “導(dǎo)數(shù)”的概念教學(xué).

從邏輯的角度來(lái)分析，導(dǎo)數(shù)屬于函數(shù)性質(zhì)中單調(diào)性的壓縮結(jié)論，與函數(shù)單調(diào)性最大的區(qū)別在于兩者描述的內(nèi)容不一樣，函數(shù)單調(diào)性是對(duì)兩個(gè)不等式關(guān)系的分析，而導(dǎo)數(shù)則是不等式的融合，若將不等式結(jié)合在一起形成分式，則屬于函數(shù)圖象內(nèi)連點(diǎn)成割線斜率的過(guò)程.

在教學(xué)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生分別理清“導(dǎo)數(shù)”“斜率”“單調(diào)性”的關(guān)系結(jié)構(gòu)，不僅能幫助學(xué)生為三個(gè)知識(shí)點(diǎn)建立聯(lián)系，還能進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)“用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性”的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在獨(dú)立思考與合作探索的過(guò)程中，自主建構(gòu)完整的與導(dǎo)數(shù)概念相關(guān)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的，也從真正意義上促進(jìn)抽象素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

2. 建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系

建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系屬于高階的數(shù)學(xué)抽象，能讓學(xué)生從宏觀的角度深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)、理論體系以及研究方法.

從抽象素養(yǎng)的角度去構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，存在以下三方面的內(nèi)容：①站到高位梳理知識(shí)體系；②為不同體系的內(nèi)容建構(gòu)聯(lián)系；③基于對(duì)結(jié)構(gòu)體系的梳理，形成統(tǒng)一的研究方法，提出新的命題.

案例5 “復(fù)數(shù)”的教學(xué).

史實(shí)證明，人們首次應(yīng)用復(fù)數(shù)是為了解二次方程；到16世紀(jì)，卡爾丹應(yīng)用復(fù)數(shù)解三次方程，當(dāng)時(shí)人們對(duì)復(fù)數(shù)充滿著疑惑；隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，19世紀(jì)高斯提出了a+bi（a，b為實(shí)數(shù)）的幾何意義，自此在數(shù)學(xué)體系中就有了復(fù)數(shù)的地位.

基于數(shù)學(xué)文化的滲透，教師再以問(wèn)題串的方式，啟發(fā)學(xué)生思考，引領(lǐng)由淺入深地進(jìn)行探究，則能讓學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)產(chǎn)生不一樣的感受，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)體系. 學(xué)生通過(guò)類比自然數(shù)、有理數(shù)以及實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程，發(fā)現(xiàn)每一次數(shù)系擴(kuò)充都源于生活實(shí)際的需要、解方程的需要或運(yùn)算的需要等. 由此也能讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)與生活密不可分的聯(lián)系.

為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)基于抽象的角度去構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，在復(fù)數(shù)教學(xué)時(shí)，教師帶領(lǐng)學(xué)生站到高位來(lái)觀察數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程，讓學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的概念與其代數(shù)形式的四則運(yùn)算產(chǎn)生初步認(rèn)識(shí). 在課堂上，教師借助多媒體展示圖1，引導(dǎo)學(xué)生基于整體的視角來(lái)觀察本單元的教學(xué)內(nèi)容，做到心中有溝壑，為后續(xù)教學(xué)做鋪墊.

在數(shù)學(xué)史與問(wèn)題串（略）的引導(dǎo)下，學(xué)生自主抽象出擴(kuò)充數(shù)系的方法，并基于向量的聯(lián)系提取一般性的概念與數(shù)學(xué)思想方法. 圖1的應(yīng)用，進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生的整體思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從宏觀視域來(lái)探索教學(xué)內(nèi)容，并達(dá)成知識(shí)體系的統(tǒng)一性.

總之，數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期潛移默化的滲透. 在教學(xué)中，教師應(yīng)想方設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，引發(fā)學(xué)生體驗(yàn)抽象帶來(lái)的成就感，激發(fā)學(xué)生的探索欲，為幫助學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與知識(shí)體系奠定基礎(chǔ)，從真正意義上促進(jìn)學(xué)生抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

作者簡(jiǎn)介：馮軍（1985—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.