? 江蘇省沭陽如東中學(xué) 司緒榮

課堂教學(xué)是形成與發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個重要載體,更是落實課改理念的一個重要環(huán)節(jié),因而課堂成為大概念視域下教學(xué)實踐的一個重要場所.

重視課堂例題教學(xué)是在當(dāng)前習(xí)題操作模塊的基礎(chǔ)上,合理引導(dǎo)學(xué)生積極主動參與其中,動口、動手、動腦,在課堂例題的基礎(chǔ)上進行合理的深度學(xué)習(xí),以典型例題為中心向外延伸與拓展,形成更加高階的數(shù)學(xué)思維能力,促進課堂合理轉(zhuǎn)型.

1 高考真題

2 大概念的理論基礎(chǔ)

大概念視域下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué),從具體問題及相關(guān)基礎(chǔ)概念入手,聯(lián)系與之相關(guān)的重要概念,進而挖掘問題的核心概念,為問題的解決與應(yīng)用奠定基礎(chǔ),從而形成大概念思維,構(gòu)建良好的解題思維品質(zhì).

3 例題中的大概念建構(gòu)

基于深度學(xué)習(xí),從大概念的建構(gòu)層面剖析對應(yīng)的平面向量及其應(yīng)用問題.此題借助兩個平面向量之間的線性關(guān)系,以及對應(yīng)的模的數(shù)值與關(guān)系等創(chuàng)設(shè)條件,進而確定對應(yīng)向量的模.

試題體現(xiàn)的大概念是數(shù)形結(jié)合思想,這種思維方法將平面向量兼?zhèn)涞摹皵?shù)”與“形”的雙重特征體現(xiàn)得淋漓盡致,如圖1所示,從而也為問題的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算等打下基礎(chǔ).依托平面向量的數(shù)量積這一重要概念,回歸平面向量的線性運算與模等基礎(chǔ)概念,引導(dǎo)學(xué)生通過合理的概念分析與應(yīng)用來解決問題.

圖1

以大概念的指導(dǎo)為方向,基于此類平面向量的綜合應(yīng)用問題,借助平面向量自身所兼?zhèn)涞摹皵?shù)”與“形”的雙重特征,從代數(shù)思維切入,合理數(shù)學(xué)運算;從幾何思維切入,巧妙直觀想象.當(dāng)然還可以利用該問題的特殊形式,從特殊值思維切入,借助特殊值加以巧妙選取與合理驗證.這些都是解決本題的基本數(shù)學(xué)思維方式,展示紛呈多樣的技巧與方法.

4 大概念視域下的課堂教學(xué)實踐

大概念視域下平面向量的綜合問題,可以從“數(shù)”“形”以及特殊思維等方面來展開與應(yīng)用,從而得以分析與解決實際問題.

4.1 代數(shù)思維

問題1如何從代數(shù)視角,以“數(shù)”的屬性來解題?

合理引導(dǎo)學(xué)生通過來平面向量數(shù)量積的轉(zhuǎn)化,借助平方運算等來達到目的.

問題2對平面向量的模的關(guān)系式兩邊進行平方處理,有怎樣的效果?

設(shè)計意圖：根據(jù)平面向量的模之間的關(guān)系式,通過平方處理,轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積問題,結(jié)合平面向量的運算法則加以變形轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用,是解決此類平面向量問題的“通性通法”.抓住向量的模以及模之間的關(guān)系,遇“?！逼椒绞菨撘庾R操作,通過平方運算以及方程組的聯(lián)立,可以為問題的進一步解決指明方向,也是解決問題的關(guān)鍵所在.

問題3對問題中的平面向量線性關(guān)系進行整體代換,有何效果?

設(shè)計意圖：根據(jù)題中平面向量之間的線性關(guān)系,借助整體換元引入新向量,由此構(gòu)建兩個平面向量的非對稱線性關(guān)系式的模之間的恒等關(guān)系,同樣利用平方運算來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.整體換元的目的在于關(guān)系式的變形轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用,其關(guān)鍵在于利用了“|xa+yb|=|ya+xb|?|a|=|b|(其中x≠y)”這個基本結(jié)論.

問題4回歸平面直角坐標(biāo)系,如果利用坐標(biāo)運算如何分析與解決問題?

設(shè)計意圖：建立平面直角坐標(biāo)系,合理引入平面向量的坐標(biāo),利用坐標(biāo)運算以及模的公式合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,利用方程求解、等量代換等加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,通過數(shù)學(xué)運算達到目的.坐標(biāo)法也是平面向量中“數(shù)”的屬性的一大體現(xiàn),利用坐標(biāo)的表示與應(yīng)用,合理通過數(shù)學(xué)運算來處理一些相關(guān)的向量問題,也是解決平面向量問題的“通性通法”.

4.2 幾何思維

問題5如何從幾何視角,以“形”的結(jié)構(gòu)特征解題?

問題6合理構(gòu)建平面幾何圖形,如何基于圖形直觀來推理與運算呢?

圖2

設(shè)計意圖：回歸平面向量自身“形”的幾何特征,構(gòu)建與題設(shè)相關(guān)的平面幾何圖形,利用平面幾何的相關(guān)知識與基本性質(zhì),結(jié)合直觀視角來數(shù)形結(jié)合,從“形”的視角來分析與解決問題.在解決一些平面向量問題中,由“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”,借助“形”的直觀,通過數(shù)形結(jié)合與邏輯推理來解決相關(guān)問題,可以減少數(shù)學(xué)運算.

4.3 特殊值思維

問題7解決問題的“巧技妙法”往往是處理選擇題與填空題的一種特殊方法,那么該問題能否通過特殊思維來快捷處理呢?

問題8如何從特殊思維視角,用一般與特殊的轉(zhuǎn)化與化歸思維來解決該問題呢?

設(shè)計意圖：特殊值思維是解決數(shù)學(xué)問題中最為特殊的一種“巧技妙法”.抓住題設(shè)條件中平面向量之間的線性關(guān)系,以特殊的零向量、特殊的數(shù)乘向量關(guān)系等代入滿足的關(guān)系式,借此通過這個特殊值的應(yīng)用來技巧化解決問題.利用特殊值法在解決一些具有確定結(jié)論的選擇題或填空題時,借助特殊值(特殊函數(shù)、特殊向量、特殊圖形等)的應(yīng)用,以特殊代替一般,又回歸到一般情況,符合辯證唯物主義思想.

大概念視域下,涉及平面向量的綜合問題,往往可以從定義思維視角、代數(shù)思維視角、幾何思維視角、特殊值思維視角等不同角度切入,合理發(fā)散思維.

大概念視域下,借助“一題多解”的巧妙應(yīng)用,充分融合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能,形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)知識架構(gòu),從而脫離“題海戰(zhàn)術(shù)”,拓寬數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,切實提高數(shù)學(xué)能力,提升數(shù)學(xué)品質(zhì)與核心素養(yǎng),真正達到舉一反三、融會貫通的效果,得以創(chuàng)新拓展.