? 四川省雙流中學(xué) 王保弟 杜江濤

1 教學(xué)內(nèi)容分析

1.1 內(nèi)容分析

本節(jié)課是由學(xué)生作業(yè)中的一道大題出發(fā),追溯題目背景,是人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)2-1(選修)第73頁(yè)A組第6題,第81頁(yè)B組第3題.

通過(guò)圓錐曲線知識(shí)的學(xué)習(xí),發(fā)現(xiàn)解決解析幾何問(wèn)題的通法——坐標(biāo)法,偏重于相關(guān)量的數(shù)量關(guān)系的研究,由于代數(shù)運(yùn)算復(fù)雜,對(duì)運(yùn)算能力要求較高,往往使很多學(xué)生對(duì)解析幾何望而生畏.事實(shí)上,解析幾何問(wèn)題的本質(zhì)仍是幾何問(wèn)題,若能充分把握解析幾何中圖形的特征,挖掘圖形的相應(yīng)幾何性質(zhì),恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解,往往能簡(jiǎn)化運(yùn)算,優(yōu)化解題過(guò)程.

1.2 學(xué)情分析

本節(jié)課之前,學(xué)生在必修二第三章圓的知識(shí)的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)了圓錐曲線,有一定的類(lèi)比轉(zhuǎn)化與分析問(wèn)題的能力,以及代數(shù)運(yùn)算能力.學(xué)生思維活躍,求知欲強(qiáng).但面對(duì)繁難的代數(shù)運(yùn)算,學(xué)生難免會(huì)有畏難情緒,所以挖掘試題背后的有關(guān)幾何性質(zhì)是關(guān)鍵.這需要熟練掌握一些常見(jiàn)的平面幾何圖形的性質(zhì),而此挖掘過(guò)程仍需要教師重點(diǎn)指導(dǎo).通過(guò)“一題一課”微專題的形式,以點(diǎn)帶面,聚焦關(guān)鍵內(nèi)容,幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法,實(shí)現(xiàn)從“解題”到“解決問(wèn)題”的轉(zhuǎn)變.

1.3 學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)回顧三角形內(nèi)角平分線定理,感受解圓錐曲線題目的方法,即坐標(biāo)法和幾何法;

(2)利用不同的設(shè)點(diǎn)、設(shè)直線的方式解決圓錐曲線問(wèn)題,探索并感悟外角平分線定理的妙用;

(3)在解決典例的過(guò)程中,總結(jié)解決問(wèn)題的方法和技巧,并能用外角平分線性質(zhì)快速得到變式問(wèn)題的答案.

1.4 評(píng)價(jià)目標(biāo)

(1)通過(guò)課前自測(cè)(要求學(xué)生自主完成),感受解析幾何通法(坐標(biāo)法)與解析結(jié)合本質(zhì)(幾何法).

(2)通過(guò)典例分析,探究不同的設(shè)點(diǎn)、設(shè)線方式帶來(lái)的不同解題方法,并通過(guò)幾何背景的挖掘感悟幾何法在解題中對(duì)計(jì)算的簡(jiǎn)化作用.

(3)通過(guò)運(yùn)算化簡(jiǎn),提升運(yùn)算能力;通過(guò)挖掘幾何性質(zhì),體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

2 課堂實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：課前自測(cè),做好鋪墊.

師:老師在課前已經(jīng)布置了學(xué)習(xí)任務(wù),接下來(lái)通過(guò)投影儀一起分享大家的學(xué)習(xí)成果.

生4:由題意,得|F1M|=8,|F2M|=4.

又||AF1|-|AF2||=2a=6,所以|AF2|=6.

師:非常棒!同學(xué)們利用角平分線性質(zhì)和雙曲線定義解得此題,感受了圓錐曲線問(wèn)題可以一題多解,選擇不同方法,有不同的解題感悟.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置課前自測(cè)環(huán)節(jié),目的是幫助學(xué)生體會(huì)解析幾何問(wèn)題的解決途徑即坐標(biāo)法和幾何法,而本題多種解法中,以利用三角形內(nèi)角平分線定理最為簡(jiǎn)單,說(shuō)明在解答解析幾何問(wèn)題時(shí)要注意運(yùn)用平面幾何知識(shí),使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)單解法,也為今天的學(xué)習(xí)作鋪墊.

環(huán)節(jié)2：對(duì)比方法,突破難點(diǎn).

例題如圖1,已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線為l,已知點(diǎn)P(9,6),若過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A,B(均與點(diǎn)P不重合),直線PA,PB分別交l于點(diǎn)M,N,求證:MF⊥NF.

圖1

師:請(qǐng)同學(xué)們先嘗試解答,然后再分享解法.

(8分鐘后,大多數(shù)同學(xué)能用一種方法規(guī)范解答,用投影儀展示學(xué)生解法.)

當(dāng)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).

由韋達(dá)定理,得

①

師:請(qǐng)這位同學(xué)分享一下求解思路和過(guò)程.

生1:設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程,得到向量數(shù)量積關(guān)于參數(shù)k的表達(dá)式,最后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)兩個(gè)向量的數(shù)量積為零,從而證得結(jié)論.

師:非常棒!還有其他同學(xué)愿意分享不同的解題方法嗎?

師:非常巧妙!這種方法優(yōu)化了第一個(gè)同學(xué)的計(jì)算過(guò)程,還有同學(xué)愿意分享嗎?

生3:在拋物線y2=4x中,準(zhǔn)線l:x=-1,焦點(diǎn)F(1,0).

師:非常好!這位同學(xué)與生2的不同點(diǎn)是利用數(shù)量積為零證明了結(jié)論,還有不同方法嗎?

對(duì)于lAP與lBP1,分別令x=-1,可得

要使MF⊥NF,則MQ2=FQ2,即

因?yàn)镼為MN的中點(diǎn),QM=QN=QF,所以M,F,N在以Q為原心的圓上,故MF⊥NF.

生4:前三位同學(xué)通過(guò)數(shù)量積為零或斜率之積為-1證得結(jié)論,我通過(guò)三點(diǎn)共圓來(lái)證明.

師:這位同學(xué)思路很清晰,利用圓周角證明垂直,但美中不足的是忘記對(duì)斜率不存在這種特殊情況的討論了.

生5:老師,我還有一種不同的解法.

師:請(qǐng)分享一下你的解題思路.

生5:如圖2,設(shè)A,P在準(zhǔn)線上的射影分別為A′,P′.

圖2

連接AA′,PP′,則AA′⊥l,PP′⊥l,于是AA′∥PP′.

易得△AMA′∽△PMP′.

由三角形外角平分線定理的逆定理,可得FM平分∠AFP的外角.連接PF,并延長(zhǎng)交l于點(diǎn)G,可得FM平分∠AFG.

同理可得,FN平分∠BFG.

又∠AFG+∠BFG=180°,所以2(∠MFG+∠NFG)=180°,因此∠MFG+∠NFG=90°,即∠MFN=90°,故MF⊥NF.

師:非常厲害!這位同學(xué)所用思路與前4位同學(xué)有所不同,他從幾何圖形出發(fā),利用幾何關(guān)系證得結(jié)論.利用數(shù)形結(jié)合的思想方法,簡(jiǎn)化計(jì)算,優(yōu)化解題過(guò)程.

師生:師生共同感悟總結(jié).

思維導(dǎo)圖如圖3所示:

圖3

師:上述例題的求解過(guò)程表明,坐標(biāo)法會(huì)導(dǎo)致圓錐曲線問(wèn)題求解復(fù)雜,運(yùn)算量較大.但是,通過(guò)深入探索和挖掘圓錐曲線的幾何性質(zhì),則能巧妙求解問(wèn)題.由學(xué)生5的啟發(fā)得到下面結(jié)論,請(qǐng)同學(xué)們課后探究.

引理:若圓錐曲線C的離心率為e,焦點(diǎn)F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為l,曲線C的弦AB所在的直線交準(zhǔn)線l于點(diǎn)P;當(dāng)點(diǎn)P在弦AB內(nèi)時(shí),FP平分∠AFB;當(dāng)點(diǎn)P在弦AB外時(shí),FP平分∠AFB的外角[1].

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)自主探究,學(xué)生分享交流,師生一起探究典例的解法,充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)一題多解,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力,提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,同時(shí)在學(xué)生分享過(guò)程中鍛煉他們的語(yǔ)言表達(dá)能力.

環(huán)節(jié)3：類(lèi)比遷移,感悟思想.

根據(jù)以上條件,我們還可以研究哪些問(wèn)題?寫(xiě)下你想研究的問(wèn)題并思考如何解決.

變式1已知點(diǎn)P(9,-6),求證:MF⊥NF.

變式2已知點(diǎn)P(6,3),求證:MF⊥NF.

變式3已知點(diǎn)P(0,0),求證:MF⊥NF.

變式4已知點(diǎn)P(x0,y0),求證:MF⊥NF.

變式5C:y2=2px(p>0),求證:MF⊥NF.

變式6以MN為直徑的圓,是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若是,請(qǐng)找出定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置變式訓(xùn)練的目的,是讓學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用,通過(guò)方法的選擇提升解題能力,促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的遷移,通過(guò)“一題多解”再到“多題一解”,使學(xué)生實(shí)現(xiàn)從解題到解決問(wèn)題的提升.

環(huán)節(jié)4：深化拓展,形成模型.

推廣:已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線為l,已知點(diǎn)P(x0,y0),若過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A,B(均與點(diǎn)P不重合),直線PA,PB分別交l于M,N,求證:MF⊥NF.

師:我們用幾何畫(huà)板演示上述結(jié)論.

師:在拋物線中有這樣優(yōu)美的平面幾何性質(zhì),那在橢圓、雙曲線中此結(jié)論是否也成立?請(qǐng)同學(xué)們課后探索.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題教學(xué),學(xué)生從不同的角度思考獲得不同的解法,也復(fù)習(xí)了不同的知識(shí)點(diǎn),真是“橫看成嶺側(cè)成峰”.通過(guò)比較不同解法計(jì)算量的大小,發(fā)現(xiàn)解答這類(lèi)問(wèn)題的通法與妙法,為后續(xù)優(yōu)化算法積累經(jīng)驗(yàn).通過(guò)“一題多變”對(duì)某個(gè)問(wèn)題進(jìn)行多層次、多角度、多方位的探索.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維,是學(xué)生創(chuàng)新思維的必備前提.此題不僅鍛煉了學(xué)生用類(lèi)比的方法進(jìn)行思考和學(xué)習(xí),而且使學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的思路理解得更透徹.每問(wèn)一變都層層遞進(jìn),步步深入,環(huán)環(huán)相扣的密切聯(lián)系.同樣可以從一種研究對(duì)象的結(jié)論出發(fā),通過(guò)類(lèi)比得出另一種研究對(duì)象的許多意想不到的結(jié)論.創(chuàng)造的喜悅難以想象.

環(huán)節(jié)5：歸納小結(jié),課外拓展.

本課從一道解析幾何題目出發(fā),探究并分享了各種不同的解題方法,最容易想到的是通法——設(shè)點(diǎn)、設(shè)線,但同樣是設(shè)線也有講究,不同的設(shè)法計(jì)算量有差異;利用平面幾何結(jié)論可獲得簡(jiǎn)捷解法.

課后作業(yè):(限于篇幅題目略去.)

3 教學(xué)反思

這節(jié)課以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、問(wèn)題為主軸、練習(xí)為主線,以“一題一課”的形式,讓學(xué)生自主探究例題的解法,其中滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想,提升了學(xué)生解答圓錐曲線問(wèn)題的能力.在專題復(fù)習(xí)中,實(shí)現(xiàn)了知識(shí)結(jié)構(gòu)化、方法系統(tǒng)化、思想實(shí)質(zhì)化[2].

在教學(xué)活動(dòng)中,先讓學(xué)生獨(dú)立思考,再自主探究,體會(huì)方法,相互分享,給予學(xué)生充分的時(shí)間去探究、思考、表達(dá),使學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)解決問(wèn)題的全過(guò)程,感悟通法與妙法.通過(guò)一題多解、多題一解,實(shí)現(xiàn)“做一題,得一法,會(huì)一類(lèi),通一片”,實(shí)現(xiàn)從“解題”到“解決問(wèn)題”.

但本節(jié)課仍然留有遺憾,為了讓學(xué)生更直觀地感受隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),結(jié)論依然沒(méi)有發(fā)生變化,我們都是用幾何法證得結(jié)論,并用幾何畫(huà)板演示結(jié)論,沒(méi)有充足的時(shí)間讓學(xué)生感受利用通法——坐標(biāo)法來(lái)證明,后續(xù)還需通過(guò)坐標(biāo)法提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

小結(jié)只強(qiáng)調(diào)了知識(shí)方面,對(duì)育人方面做得不到位,課后總結(jié)一首打油詩(shī):

一題多解思維闊,學(xué)生主體來(lái)開(kāi)拓,

一題多變問(wèn)題活,定能擴(kuò)展有收獲.

解析幾何形態(tài)多,開(kāi)動(dòng)腦筋去探索,

想要數(shù)學(xué)學(xué)得好,自我學(xué)習(xí)不能少!

如果能在課堂上這樣小結(jié),文化氛圍更濃,教學(xué)效果和育人效果會(huì)更好,以后會(huì)不斷改進(jìn),自覺(jué)做到教書(shū)育人.