安蕊梅, 侯永康, 李云峰, 段樹(shù)金

(1. 石家莊鐵道大學(xué) 土木工程學(xué)院, 石家莊 050043;2. 石家莊鐵道大學(xué) 道路與鐵道工程安全保障省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 石家莊 050043;3. 河北地質(zhì)大學(xué) 城市地質(zhì)與工程學(xué)院, 石家莊 050031;4. 山東科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院, 山東 青島 266590;5. 山東華宇工學(xué)院 能源與建筑工程學(xué)院, 山東 德州 253034)

0 引 言

對(duì)于韌性材料、膠結(jié)材料等,當(dāng)構(gòu)件尺寸較小或裂紋尺寸較大時(shí),其裂尖附近的塑性區(qū)或微裂區(qū)等非線(xiàn)性區(qū)域的大小往往不可忽略[1-2]．自從Barenblatt[3]提出內(nèi)聚裂紋模型(cohesive zone model,CZM)以來(lái),裂紋尖端內(nèi)聚區(qū)的內(nèi)聚力與內(nèi)聚區(qū)應(yīng)變關(guān)系的表述就一直是斷裂力學(xué)、特別是彈塑性斷裂力學(xué)研究所關(guān)注的核心問(wèn)題．由Dugdale[4]的解可以得到塑性區(qū)的長(zhǎng)度或裂紋尖端張開(kāi)位移,并為δ斷裂判據(jù)提供了理論支撐,但這一解答只有在材料為理想剛塑性的假設(shè)下才能得到,因此只適用于低碳鋼或塑料薄板受面內(nèi)作用的斷裂問(wèn)題[5-6]．文獻(xiàn)[7]建立了基于黏聚區(qū)模型的純Ⅱ型斷裂的ENF試件裂紋擴(kuò)展模型．

混凝土材料切口附近的非線(xiàn)性表現(xiàn)往往伴隨著斷裂過(guò)程區(qū),其尺度大至分米甚至米級(jí)．Hillerborg等[8]將條形狀的斷裂過(guò)程區(qū)用虛擬裂紋來(lái)代替,提出了更具實(shí)用價(jià)值的虛擬裂紋模型(fictitious crack model, FCM),斷裂能GF和拉應(yīng)變軟化曲線(xiàn)(即內(nèi)聚區(qū)內(nèi)聚力與內(nèi)聚裂紋的關(guān)系曲線(xiàn))被定義為材料斷裂的兩個(gè)控制參數(shù),并應(yīng)用于混凝土類(lèi)材料的斷裂分析．

內(nèi)聚區(qū)模型具有普遍意義,適用于任何工程材料,但不同材料表現(xiàn)為不同的內(nèi)聚區(qū)受力、變形特征,主要是不同的內(nèi)聚區(qū)形狀、尺度和本構(gòu)關(guān)系．由于其解析的難度,目前絕大多數(shù)的研究都是采用試驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)結(jié)合有限元等數(shù)值方法進(jìn)行迭代求解,內(nèi)聚區(qū)的本構(gòu)關(guān)系被假定為線(xiàn)性軟化、雙線(xiàn)性軟化、指數(shù)函數(shù)等形式,或者內(nèi)聚區(qū)的內(nèi)聚強(qiáng)度被假定為恒定(Dugdale模型)、水壓力、指數(shù)函數(shù)等形式[9-15]．

段樹(shù)金、中川建治等[16-17]把裂紋尖端的形狀由橢圓形轉(zhuǎn)換為尖劈形,提出了虛擬裂紋一般問(wèn)題的解析方法．這種解消除了裂尖的應(yīng)力奇異性,在全域都是解析的,從理論上為內(nèi)聚區(qū)模型的發(fā)展和應(yīng)用開(kāi)辟了新途徑．

為了避開(kāi)裂紋尖端附近的復(fù)雜區(qū)域,從能量的觀(guān)點(diǎn)出發(fā),Rice[18]提出了J積分作為描述裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的參量．在線(xiàn)彈性情況下,J積分就是能量釋放率G;對(duì)于Dugdale模型等虛擬裂紋模型,由于除線(xiàn)狀的斷裂過(guò)程區(qū)外,整個(gè)體都是彈性的,所以可以給出G=J．

在虛擬裂紋模型中存在兩個(gè)裂紋尖端,即物理裂紋尖端和虛擬裂紋尖端,因此需要定義兩個(gè)相應(yīng)的能量釋放率來(lái)描述兩個(gè)裂尖的擴(kuò)展[19]．

本文將內(nèi)聚區(qū)簡(jiǎn)化為虛擬裂紋,導(dǎo)出一種滿(mǎn)足虛擬裂紋條件的解析函數(shù),給出物理裂紋尖端擴(kuò)展的能量釋放率Ga、內(nèi)聚裂紋尖端擴(kuò)展的能量釋放率Gb的計(jì)算公式,討論Ga,Gb,J積分及斷裂能GF之間的關(guān)系．

1 內(nèi)聚區(qū)內(nèi)聚力和張開(kāi)位移函數(shù)

1.1 Westergaard應(yīng)力函數(shù)與裂尖奇異解

彈性力學(xué)平面問(wèn)題的求解歸結(jié)為尋求一個(gè)滿(mǎn)足雙調(diào)和方程

?2?2φ(z,a)=0

(1)

的解φ(z),并滿(mǎn)足彈性體相應(yīng)的邊界條件．對(duì)于含裂紋的彈性體,采用復(fù)變函數(shù)更為便利,其中z=x+iy,a為物理裂紋長(zhǎng)度．由此可以求出全部應(yīng)力分量和位移分量．

對(duì)于圖1所示的邊裂紋平面應(yīng)力問(wèn)題,垂直于裂紋面的應(yīng)力函數(shù)為

圖1 Ⅰ型邊裂紋的橢圓張開(kāi)位移和奇異應(yīng)力Fig. 1 The elliptic opening displacement and singular stress of a mode-Ⅰ edge crack

(2)

相應(yīng)的位移函數(shù)為

(3)

從式(2)、(3)和圖1可以看出,應(yīng)力在裂尖呈奇異性,其根本原因在于裂尖處的張開(kāi)位移為橢圓形．

1.2 滿(mǎn)足虛擬裂紋條件的非奇異解

參照?qǐng)D2,將帶狀內(nèi)聚區(qū)模型化為一虛擬裂紋;由文獻(xiàn)[15],問(wèn)題的非奇異解可由對(duì)奇異解的加權(quán)積分得到,有

圖2 內(nèi)聚區(qū)模型的尖劈形張開(kāi)位移和非奇異應(yīng)力分布Fig. 2 The wedge opening displacement and nonsingular stress distribution based on the cohesive zone model

(4)

其中,t替代了a作為積分自變量,b為從裂尖算起沿裂紋擴(kuò)展方向的長(zhǎng)度,ρ(t)為定義在[a,a+b]區(qū)間的權(quán)函數(shù),其面積標(biāo)準(zhǔn)化為1．為簡(jiǎn)便起見(jiàn),令c=a+b,以下的公式僅給出沿x軸的結(jié)果．

積分得到的Φ(z,a,b)仍為解析函數(shù),可以作為彈性力學(xué)平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)．以權(quán)函數(shù)為ρ(t)=1/b(a≤t≤c)為例,對(duì)式(2)加權(quán)積分, 有

得

(5)

對(duì)式(3)積分, 得

(6)

從式(4)、(5)和圖2可以看出,加權(quán)積分解消除了裂紋尖端的奇異性,在區(qū)間a≤x≤c,有限應(yīng)力集中(即內(nèi)聚力)和光滑尖劈形張開(kāi)位移相并存,二者關(guān)系呈非線(xiàn)性,在物理上可以表征內(nèi)聚裂紋;但除內(nèi)聚區(qū)外的整個(gè)體都是彈性的．

2 內(nèi)聚區(qū)模型的能量釋放率Ga和Gb

2.1 內(nèi)聚區(qū)模型的能量釋放率Ga和Gb的定義

由上節(jié)結(jié)果可知,在裂尖延長(zhǎng)線(xiàn)上構(gòu)成了一過(guò)渡區(qū)間,即把含裂紋界面劃分為3個(gè)區(qū)域(見(jiàn)圖2):物理裂紋(真實(shí)裂紋)區(qū)(xa+b);存在兩個(gè)裂紋尖端:物理裂紋尖端和虛擬裂紋尖端．因此需要定義兩個(gè)相應(yīng)的能量釋放率Ga和Gb來(lái)描述兩個(gè)裂尖的擴(kuò)展．

由Irwin定義的能量釋放率G,定義物理裂紋擴(kuò)展(b一定)的能量釋放率Ga和虛擬裂紋擴(kuò)展(a一定)的能量釋放率Gb,分別為

(7)

(8)

其中,B為板的厚度,W(a,b)為裂紋擴(kuò)展時(shí)釋放的總勢(shì)能．

2.2 Ga和Gb的計(jì)算

對(duì)圖2所示的內(nèi)聚區(qū)模型,系統(tǒng)的勢(shì)能可按下列步驟求得:

1) 首先,考慮在無(wú)窮遠(yuǎn)處作用有垂直于x軸均勻拉應(yīng)力σ0;同時(shí)假設(shè)在區(qū)間x≤a+b的裂紋表面作用著均勻拉應(yīng)力σ0,那么這一問(wèn)題等同于受均勻拉應(yīng)力作用的無(wú)裂紋板．

2) 無(wú)窮遠(yuǎn)處的拉應(yīng)力恒定,物理裂紋區(qū)間x

(9)

虛擬裂紋區(qū)釋放的能量為

(10)

3) 所以,從無(wú)裂紋均勻受拉狀態(tài)到形成裂紋a+b的狀態(tài),釋放的總能量為

W(a,b)=W1(a,b)+W2(a,b)．

(11)

考慮單位厚度的薄板,Ga和Gb分別為

(12)

(13)

由定義,有

(14)

(15)

本文模型中,由于消除了裂尖的應(yīng)力奇異性,若a一定,一旦給定了σ0/σs,b值就唯一確定;由于在裂紋尖端(x=c)處,KⅠ=0,所以有

(16)

則

(17)

或者

(18)

顯然,式(18)比式(17)更為便捷．

對(duì)于圖2所示問(wèn)題的應(yīng)力和張開(kāi)位移解,b一定,物理裂紋尖端t從零擴(kuò)展到a,將式(6)代入式(14),可得

(19)

同理,a一定,虛擬裂紋尖端t從a擴(kuò)展到a+b,將式(6)代入式(18),得

(20)

如果虛擬裂紋長(zhǎng)度b=0,由上述公式可得

(21)

(22)

則式(21)中Ga的結(jié)果與基于奇異解的能量釋放率G完全一致,具有唯一性;而Gb的值則依賴(lài)于虛擬裂紋區(qū)的內(nèi)聚力與張開(kāi)位移的關(guān)系,其值介于(0～1.0)Ga之間,在本文中依賴(lài)于假設(shè)的權(quán)函數(shù)．

2.3 Dugdale模型的Gb

特別地,虛擬裂紋區(qū)的內(nèi)聚力為恒定值σs時(shí)的應(yīng)力無(wú)奇異條件為

(23)

得物理裂紋尖端張開(kāi)位移為

(24)

此時(shí)有

(25)

或者表示為

(26)

由式(26)可得,當(dāng)b=0時(shí),Gb=0．

3 Ga,Gb與J積分、GF的關(guān)系

3.1 J積分與Gb的關(guān)系

Rice定義沿路徑Γ的J積分為

(27)

其中,ω為應(yīng)變能密度;Ti為沿路徑Γ的作用力矢量;ui為位移矢量;Γ為圍繞裂紋尖端的積分線(xiàn)路．

對(duì)于本文定義的尖劈形裂紋,取如圖3所示的積分路徑,此時(shí)ω=0,Ti=σy(x,a,b),ui=v(x,a,b),即

圖3 J積分線(xiàn)路ΓFig. 3 The J integral path Γ

(28)

比較式(17)和(28),因在區(qū)間(a,c),對(duì)x和對(duì)b求偏導(dǎo)等同,可得

Jb=Gb．

(29)

對(duì)于Dugdale模型,有

Jb=σsδ．

(30)

3.2 Gb與GF的關(guān)系

受拉混凝土斷裂能GF定義為單位面積內(nèi)聚裂紋吸收的能量．在虛擬裂紋模型中,被定義為材料拉應(yīng)變軟化曲線(xiàn)下的面積,即

(31)

其中,wc為臨界裂尖張開(kāi)位移,即內(nèi)聚力σ降為0時(shí)虛擬裂紋的最大寬度,而在虛擬裂尖處的內(nèi)聚力達(dá)到材料極限強(qiáng)度σs,此處的w對(duì)應(yīng)于本文模型的2v,wL與虛擬裂紋臨界長(zhǎng)度bc一一對(duì)應(yīng)．因此,GF在數(shù)值上等于臨界能量釋放率Gc或臨界J積分值Jc,即

GF=Gbc=Jbc．

(32)

文獻(xiàn)[20]的解析模型揭示了虛擬裂紋面上某點(diǎn)處的內(nèi)聚力σy與該點(diǎn)的張開(kāi)位移v之間的關(guān)系,這一關(guān)系正是材料拉應(yīng)變軟化曲線(xiàn),軟化曲線(xiàn)包圍的面積正是斷裂能GF,即每單位面積裂縫面完全斷開(kāi)所吸收的能量．

3.3 討論

本文的解析對(duì)象為一半無(wú)限大板,且除了內(nèi)聚區(qū)外,材料處于線(xiàn)彈性狀態(tài),因此:

1) 隨著試件尺寸的增大,整體的線(xiàn)彈性條件逐漸得到滿(mǎn)足,測(cè)得的Gac和Gbc也趨于真實(shí)值．

2) 只有當(dāng)b/a趨于零(相當(dāng)于完全線(xiàn)彈性或小范圍屈服),即內(nèi)聚區(qū)不存在或很小時(shí),才可以測(cè)得真實(shí)的Gac值(相當(dāng)于線(xiàn)彈性斷裂韌度GIC),此時(shí)Gbc將失去意義．

3)Gb隨著b的增加而增大,當(dāng)b達(dá)到一臨界值bc時(shí),內(nèi)聚區(qū)完全形成,其物理裂尖的內(nèi)聚力降為零,Gbc=GF,裂紋開(kāi)始失穩(wěn)擴(kuò)展,所以Gbc可以作為含內(nèi)聚區(qū)材料的斷裂韌性．

4) 對(duì)于類(lèi)似于混凝土的拉應(yīng)變軟化材料,裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展后,試件的承載力會(huì)逐漸下降,內(nèi)聚區(qū)不斷前移,可以由Gac來(lái)評(píng)估試件的剩余強(qiáng)度．

5) 但在實(shí)驗(yàn)測(cè)試中,斷裂能GF的尺寸效應(yīng)還來(lái)源于內(nèi)聚區(qū)以外的附加耗能．采用一般測(cè)試手段,要測(cè)得真實(shí)的斷裂能,除了試件尺寸要求外,還對(duì)加載試驗(yàn)機(jī)提出了很高的剛度要求．如采用三點(diǎn)彎曲試件由實(shí)測(cè)P-δ曲線(xiàn)計(jì)算斷裂能時(shí),就包含了內(nèi)聚區(qū)以外的能耗,因而高估了GF值．試件尺寸越大,內(nèi)聚區(qū)以外的塑形能也越多[21],使得小試件情況下,GF>Gbc;只有當(dāng)試件足夠大,且扣除了內(nèi)聚區(qū)以外的附加耗能時(shí),才有GF=Gbc[22]．

6) 文獻(xiàn)[23-24]的研究表明:試件尺寸、初始裂縫相對(duì)尺度對(duì)測(cè)試斷裂能產(chǎn)生顯著影響．本文的理論模型具有普遍意義,有限邊界試件的內(nèi)聚區(qū)模型解可結(jié)合邊界配置法得到近似解[25],并由此導(dǎo)出Gb,Jb等的計(jì)算值;隨著物理裂紋的擴(kuò)展,有效韌帶的尺度逐漸減小,邊界條件的變化使得能量釋放率G或J積分值的精度會(huì)越來(lái)越差,由此可以對(duì)材料斷裂參數(shù)的尺寸效應(yīng)進(jìn)行評(píng)估．如果采用通過(guò)測(cè)試內(nèi)聚區(qū)張開(kāi)位移獲得拉應(yīng)變軟化曲線(xiàn)的方法,所得的斷裂能將不受內(nèi)聚區(qū)以外附加耗能的影響[26]．

4 結(jié) 論

基于導(dǎo)出的滿(mǎn)足內(nèi)聚裂紋條件的解析解,討論了物理裂紋尖端擴(kuò)展的能量釋放率Ga、內(nèi)聚裂紋尖端擴(kuò)展的能量釋放率Gb的計(jì)算,以及Gb與J積分之間的關(guān)系,推導(dǎo)出了Gb更為簡(jiǎn)潔的計(jì)算公式(18),并證明了Gb=Jb．只要試件足夠大,臨界能量釋放率Gbc(或臨界積分Jbc)就是斷裂能GF,表明Gbc可以作為含內(nèi)聚區(qū)材料的斷裂韌性來(lái)判別裂紋的失穩(wěn)擴(kuò)展．但試件的實(shí)測(cè)GF值總是大于Gbc(Jbc)值,主要是源于內(nèi)聚區(qū)以外的附加耗能的影響．

本文提出的方法適用于所有含Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型內(nèi)聚裂紋的彈性體,對(duì)于斷裂力學(xué)內(nèi)聚區(qū)模型的研究和應(yīng)用具有重要參考價(jià)值．