王 軍，盧朝輝，張玄一，趙衍剛,2

(1. 北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)教育部重點實驗室，北京 100124；2. 神奈川大學(xué)工學(xué)部，日本，橫濱 221-8686)

相比傳統(tǒng)的有砟軌道結(jié)構(gòu)，無砟軌道結(jié)構(gòu)具有高平順性、高耐久性、少維修的優(yōu)點，已成為高速鐵路軌道建設(shè)的首選結(jié)構(gòu)型式[1-2]。CRTS II型板式無砟軌道結(jié)構(gòu)作為主要的無砟軌道結(jié)構(gòu)型式之一，廣泛應(yīng)用于京津、京滬、滬昆等高鐵線路。CRTS II 型板式無砟軌道結(jié)構(gòu)主要由鋼軌、扣件、軌道板、水泥乳化瀝青(CA)砂漿層和底座板(支承層)等組成，其中，橋上CRTS II 型板式無砟軌道結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示。CRTS II 型板式無砟軌道結(jié)構(gòu)為豎向多層的縱連結(jié)構(gòu)體系，各結(jié)構(gòu)層間的界面是軌道結(jié)構(gòu)最薄弱的部分之一，尤其是軌道板(底座板)與CA 砂漿層之間的界面。現(xiàn)場調(diào)研表明，在長期溫度和列車荷載作用下，CRTS II 型軌道板與CA 砂漿層間經(jīng)常發(fā)生離縫病害[3-5]，如圖2 所示。

圖1 橋上CRTS II 板式無砟軌道結(jié)構(gòu)Fig. 1 CRTS II slab ballastless track structure on bridge

圖2 軌道板與CA 砂漿層離縫Fig. 2 Gap between track slab and CA mortar layer

目前，軌道板與CA 砂漿層間離縫分析大部分基于斷裂力學(xué)與損傷力學(xué)原理，采用的主要分析方法有近場動力學(xué)、擴展有限元、內(nèi)聚力模型和斷裂相場法等[6-9]。近場動力學(xué)基于非局部作用思想研究裂紋的萌生和發(fā)展，無法精確描述斷裂的本構(gòu)力函數(shù)，并且計算精度和效率低于傳統(tǒng)有限元方法；擴展有限元可以模擬任意方向的裂紋擴展，對有限元網(wǎng)格改動較少，但需要在單元形狀函數(shù)中增添附加函數(shù)，有限元計算成本較高；斷裂相場法無須追蹤裂紋表面，易于處理復(fù)雜的裂紋擴展問題，但能量泛函求解復(fù)雜。而基于能量準則的內(nèi)聚力模型，通過作用在裂紋表面的張力與張開位移的等效關(guān)系來描述特定路徑裂紋萌生、擴張和斷裂的全過程。內(nèi)聚力模型屬于非強度因子主導(dǎo)型斷裂準則，避免了計算斷裂力學(xué)的復(fù)雜性。

有關(guān)內(nèi)聚力本構(gòu)理論，國內(nèi)外學(xué)者開展了相關(guān)研究。自Barenblatt[10]和Dugdale[11]首次提出內(nèi)聚力概念以來，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種內(nèi)聚力模型，就拉力-位移曲線的形狀而言，主要有雙線性、指數(shù)型、梯形和多項式型等。其中，針對雙線性和指數(shù)型內(nèi)聚力模型，有關(guān)學(xué)者開展了一系列研究。Mi 等[12]通過研究纖維復(fù)合材料界面拉力-位移關(guān)系，提出雙線性內(nèi)聚力模型。Camanho等[13]完善了雙線性內(nèi)聚力模型，并應(yīng)用于零厚度粘結(jié)單元。與此同時，Rose 等[14]通過分析金屬界面斷裂能和分離位移的普遍關(guān)系，提出指數(shù)型內(nèi)聚力模型。針對金屬晶體排列的周期性，Rice[15]在切向上提出正弦內(nèi)聚本構(gòu)關(guān)系。之后，Xu 和Needleman[16]基于塑性流動理論，提出耦合的指數(shù)型內(nèi)聚力模型，完善了指數(shù)型內(nèi)聚力模型理論。van den Bosch 等[17]改善了指數(shù)型內(nèi)聚力模型，使之更好地描述混合模式下界面的脫粘過程。此外，還有學(xué)者提出并發(fā)展了梯形[18-19]，多項式[20-21]等內(nèi)聚力模型。其中指數(shù)型內(nèi)聚力模型可表征非線性黏聚特性，相比雙線性內(nèi)聚力模型，指數(shù)型內(nèi)聚力模型拉力-位移曲線及導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)性，使其在數(shù)學(xué)求導(dǎo)及有限元實現(xiàn)方面具有一定優(yōu)勢。

由于內(nèi)聚力模型主要用于模擬復(fù)合材料層間脫粘行為，CRTS II 型板式無砟軌道作為多層復(fù)合結(jié)構(gòu)，國內(nèi)學(xué)者開始將內(nèi)聚力模型用于CRTS II型板式無砟軌道層間離縫研究。有學(xué)者借助數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)，對無砟軌道界面剛度、強度、韌性等性能進行了測試，確定了雙線性內(nèi)聚力模型[22 - 23]和指數(shù)型內(nèi)聚力模型[24]參數(shù)，為研究無砟軌道離縫機理提供了重要的數(shù)據(jù)支撐。也有學(xué)者通過有限元方法，采用雙線性內(nèi)聚力模型[25-28]、指數(shù)型內(nèi)聚力模型[29]和多項式內(nèi)聚力模型[30]等研究在溫度和列車荷載作用下軌道板和CA 砂漿離縫過程。既有研究均采用單一內(nèi)聚力模型對層間界面粘結(jié)試驗數(shù)據(jù)進行分析，鮮有采用不同內(nèi)聚力模型對層間界面脫粘預(yù)測效果進行對比分析。

本文基于內(nèi)聚力本構(gòu)理論和試驗數(shù)據(jù)，分別采用雙線性和指數(shù)型內(nèi)聚力模型對CRTS Ⅱ 型軌道板與CA 砂漿層間離縫進行預(yù)測。針對雙線性和指數(shù)型模型存在的不足，提出了一種改進的指數(shù)型內(nèi)聚力模型，并通過擬合既有試驗數(shù)據(jù)，確定了改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型的主要參數(shù)。分析了不同模型對層間粘結(jié)的預(yù)測結(jié)果，驗證了本文所提內(nèi)聚力模型模擬軌道板與CA 砂漿層間離縫的合理性與適用性。

1 內(nèi)聚力模型

內(nèi)聚力模型屬于一種唯象本構(gòu)模型，其拉力-位移曲線有多種形式，其中雙線性和指數(shù)型應(yīng)用最為廣泛。

1.1 雙線性內(nèi)聚力模型

Hillerborg 等[31]初次引入關(guān)于混凝土斷裂能和抗拉強度的線性軟化模型，之后雙線性模型被用于混凝土斷裂研究；Camanho 等[13]基于連續(xù)損傷力學(xué)提出了雙線性內(nèi)聚力模型。如圖3 所示，單一模式下，雙線性內(nèi)聚力模型的拉力-位移關(guān)系為：

圖3 雙線性內(nèi)聚力模型Fig. 3 Bilinear cohesive zone model (CZM)

雙線性內(nèi)聚力模型的拉力-位移曲線上升段和下降段均為直線型。上升段的斜率表示界面的初始剛度，為一定值；界面損傷萌生后，界面剛度隨著界面相對位移增加而減小，直至界面完全斷開。雙線性內(nèi)聚力模型具有形式簡潔、便于應(yīng)用的特點，比較適用于研究脆性材料界面斷裂行為[32]。

1.2 指數(shù)型內(nèi)聚力模型

Xu 和Needleman[16]為解釋復(fù)合晶體材料孔隙成核、界面脫粘現(xiàn)象，提出了耦合的指數(shù)內(nèi)聚力模型。該指數(shù)型內(nèi)聚力模型的二維形式可以表示為：

界面法向和切向拉力可以通過勢函數(shù)(7)對界面法向和切向相對位移求偏導(dǎo)得到：

則單一模式下，指數(shù)型內(nèi)聚力模型的拉力-位移關(guān)系如圖4 所示。

圖4 指數(shù)型內(nèi)聚力模型Fig. 4 Exponential CZM

指數(shù)型內(nèi)聚力模型的拉力-位移曲線的上升段和下降段均為冪指數(shù)函數(shù)。隨界面損傷的發(fā)展，界面剛度發(fā)生連續(xù)性變化，拉力-位移曲線的非線性衰減能合理描述界面剛度的軟化過程[33]。

1.3 雙線性和指數(shù)型內(nèi)聚力模型的適用性分析

分別采用雙線性內(nèi)聚力模型和指數(shù)型內(nèi)聚力模型對文獻[23]中的軌道板與砂漿界面試驗數(shù)據(jù)進行擬合，擬合方法選取最小二乘法，結(jié)果如圖5 所示。

圖5 雙線性和指數(shù)型內(nèi)聚力模型對比Fig. 5 Comparison of bilinear and exponential CZMs

由圖5 可知，由雙線性內(nèi)聚力模型擬合界面法向開裂試驗數(shù)據(jù)，得到界面法向內(nèi)聚強度為1.792 MPa 及其對應(yīng)的界面相對位移為2.5 μm，界面法向剛度為716.8 MPa/mm，界面法向臨界斷裂能為25.24 J/m2。由指數(shù)型內(nèi)聚力模型擬合試驗數(shù)據(jù)，得到界面法向臨界斷裂能為12.2 J/m2，遠小于雙線性內(nèi)聚力模型計算值。這主要與指數(shù)型內(nèi)聚力模型拉力-位移曲線下降段衰減速率過快有關(guān)。

由雙線性內(nèi)聚力模型擬合界面切向開裂試驗數(shù)據(jù)，得到界面切向內(nèi)聚強度為0.956 MPa 及其對應(yīng)的界面相對位移為15.2 μm，界面切向剛度為62.9 MPa/mm，界面切向臨界斷裂能為17.96 J/m2。由指數(shù)型內(nèi)聚力模型擬合試驗數(shù)據(jù)，得到界面切向臨界斷裂能為16.4 J/m2，大于雙線性內(nèi)聚力模型計算值，且損傷萌生時界面的相對位移較雙線性模型小。這主要由指數(shù)型內(nèi)聚力模型拉力-位移曲線上升段增加速率過快導(dǎo)致。

在復(fù)雜的荷載作用下，為了合理闡述軌道板與CA 砂漿界面離縫機理，內(nèi)聚力模型的選擇較為關(guān)鍵。雖然混凝土屬于準脆性材料，但在宏觀斷裂過程中應(yīng)力和應(yīng)變具有非線性的相互依賴關(guān)系[34]，并且無砟軌道結(jié)構(gòu)在溫度和列車荷載作用下，層間界面受力較為復(fù)雜。雙線性內(nèi)聚力模型可能無法準確描述無砟軌道結(jié)構(gòu)層間損傷行為，而指數(shù)型內(nèi)聚力模型可以表征層間損傷過程中界面剛度的連續(xù)性，但指數(shù)型拉力-位移曲線的上升段和下降段的增加和衰減速率無法有效控制。所以在既有內(nèi)聚力模型基礎(chǔ)上，有必要發(fā)展指數(shù)型內(nèi)聚力模型，以符合軌道板與CA 砂漿層間界面損傷萌生和發(fā)展過程。

2 改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型

2.1 改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型的建立

在上述內(nèi)聚力模型的基礎(chǔ)上，本文提出了改進的指數(shù)型內(nèi)聚力模型，用來描述軌道板與CA 砂漿層間界面的宏觀斷裂行為。宏觀斷裂行為需要滿足以下斷裂邊界條件：

圖6 改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型Fig. 6 Improved exponential cohesive zone model

在單一模式下，改進的指數(shù)型內(nèi)聚力模型法向和切向下降段分別采用指數(shù)形式，通過引入指數(shù)系數(shù)，可改變下降段曲線衰減速率。且指數(shù)形式可以表征界面拉力和界面相對位移之間的非線性關(guān)系。

2.2 改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型參數(shù)確定

采用改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型對文獻[23]的軌道板與砂漿界面試驗數(shù)據(jù)進行擬合，結(jié)果見圖7。采用最小二乘法分別擬合上升段和下降段試驗數(shù)據(jù)，確定改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型的系數(shù)，進而可以得到界面內(nèi)聚力模型參數(shù)，即：界面內(nèi)聚強度、損傷萌生時界面相對位移和界面臨界斷裂能。

圖7 本文所提模型擬合結(jié)果Fig. 7 Fitting results of the proposed model in this paper

在界面法向，由擬合結(jié)果可以得到改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型上升段剛度為716.8 MPa/mm，下降段系數(shù)nn2為0.6429。得到界面法向內(nèi)聚強度為1.792 MPa 及損傷萌生時界面相對位移為2.5 μm，界面法向臨界斷裂能為22.54 J/m2。在界面切向，由擬合結(jié)果可以得到改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型上升段系數(shù)nt1為1.934，下降段系數(shù)nt2為1.822。得到界面切向內(nèi)聚強度為0.956 MPa 及損傷萌生時界面相對位移為15.2 μm，界面切向臨界斷裂能為18.7 J/m2。

2.3 改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型驗證

為驗證改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型模擬軌道板與CA 砂漿層間界面損傷開裂行為的合理性。將改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型與既有內(nèi)聚力模型(雙線性、指數(shù)型)進行對比，如圖5 和圖7 所示。由界面的拉力-位移曲線可以看出，改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型能較好地反映試驗現(xiàn)象，具體對比結(jié)果如表1 所示。由表1 可知，由改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型計算的界面內(nèi)聚強度與臨界斷裂能和文獻[23]的計算結(jié)果比較接近，說明了改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型模擬軌道板與CA 砂漿界面開裂行為的合理性。

表1 幾種內(nèi)聚力模型擬合結(jié)果Table 1 Fitting results of several cohesive zone models

由試驗數(shù)據(jù)可知，軌道板與CA 砂漿界面的拉力-位移關(guān)系具有非線性特征。描述拉力-位移非線性特征的模型主要有多項式和指數(shù)型模型，相比多項式內(nèi)聚力模型，指數(shù)型內(nèi)聚力模型在純法向失效狀態(tài)下可以準確保持法向拉力為0，所以指數(shù)型內(nèi)聚力模型能更好地分析界面損傷。其次，指數(shù)型內(nèi)聚力模型的拉力及其導(dǎo)數(shù)是連續(xù)函數(shù)，在應(yīng)用和計算方面具有優(yōu)勢。本文模型是在指數(shù)型內(nèi)聚力模型的基礎(chǔ)上提出來的，因此，本文模型具有指數(shù)型模型的優(yōu)點。

3 軌道板與CA 砂漿層間粘結(jié)預(yù)測結(jié)果對比

為說明改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型模擬軌道板與CA 砂漿界面離縫的適用性，將改進的指數(shù)型模型和目前所采用的雙線性和指數(shù)型模型進行對比。參考文獻[23]的無砟軌道層間粘結(jié)試驗數(shù)據(jù)，分別采用雙線性內(nèi)聚力模型、指數(shù)型內(nèi)聚力模型和本文所提模型進行擬合。具體擬合結(jié)果見圖5及圖7。

3.1 界面法向開裂

由圖5(a)和圖7(a)可知，在軌道板與CA 砂漿層界面法向開裂的過程中，改進的指數(shù)型內(nèi)聚力模型可以更好地擬合上升段和下降段試驗數(shù)據(jù)，尤其對下降段的試驗結(jié)果擬合效果較雙線性內(nèi)聚力模型好。由表1 的擬合結(jié)果可知，本文所提模型計算的界面臨界斷裂能和文獻[23]的試驗結(jié)果比較接近，且小于雙線性內(nèi)聚力模型計算值。

因下降段數(shù)據(jù)點較少，本文將法向上升段和下降段預(yù)測結(jié)果繪于同一圖中。采用不同內(nèi)聚力模型對界面法向拉力進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果和試驗數(shù)據(jù)對比如圖8所示。

由圖8 可知，改進指數(shù)型模型和雙線性模型對文獻[23]的界面法向開裂試驗數(shù)據(jù)預(yù)測效果較好，而指數(shù)型模型對文獻[23]的試驗數(shù)據(jù)預(yù)測偏大。采用改進的指數(shù)型內(nèi)聚力模型計算的決定系數(shù)R2為0.902，均方誤差(Mean Square Error, MSE)為0.028，可以較好預(yù)測試驗結(jié)果；由雙線性內(nèi)聚力模型計算的決定系數(shù)R2為0.89，均方誤差MSE為0.031，可知由改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型計算的均方誤差比雙線性模型小，說明改進指數(shù)型模型對界面脫粘的模擬效果好于雙線性模型。而采用指數(shù)型內(nèi)聚力模型計算的決定系數(shù)R2為0.243，均方誤差MSE 為0.214，模型預(yù)測值明顯大于試驗值，對試驗結(jié)果預(yù)測性較差，這是由于指數(shù)型模型上升段和下降段的增加和衰減速率過快，且下降段試驗數(shù)據(jù)較少，從而使多數(shù)預(yù)測值大于試驗值。通過綜合考慮試驗結(jié)果預(yù)測的準確性和法向試驗數(shù)據(jù)下降段的非線性，改進的指數(shù)型模型對試驗結(jié)果的預(yù)測效果要好于雙線性模型和指數(shù)型模型，采用改進的指數(shù)型模型可以較為合理地模擬軌道板與CA 砂漿層間界面的法向拉力-位移關(guān)系。

圖8 法向預(yù)測結(jié)果和試驗數(shù)據(jù)對比Fig. 8 Comparison between normal prediction results and experimental data

3.2 界面切向開裂

由圖5(b)和圖7(b)可知，對于軌道板與CA砂漿層間界面切向試驗結(jié)果，改進的指數(shù)型內(nèi)聚力模型和雙線性內(nèi)聚力模型均能較好擬合試驗數(shù)據(jù)。而改進指數(shù)型模型可以更好地表征界面切向損傷過程中拉力-位移關(guān)系的非線性。通過表1 的擬合結(jié)果可知，本文所提模型計算的界面臨界斷裂能和文獻[23]的試驗計算值比較接近。

采用不同內(nèi)聚力模型對界面切向拉力進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果和試驗數(shù)據(jù)對比如圖9 所示。

圖9 切向預(yù)測結(jié)果和試驗數(shù)據(jù)對比Fig. 9 Comparison between tangential prediction results and experimental data

為準確評估模型預(yù)測效果，本文將切向上升段和下降段預(yù)測結(jié)果分開考慮。由圖9 可知，改進指數(shù)型模型和雙線性模型對文獻[23]的界面切向開裂試驗數(shù)據(jù)預(yù)測效果較好，而指數(shù)型模型對文獻[23]的上升段試驗數(shù)據(jù)預(yù)測偏大，對下降段試驗數(shù)據(jù)預(yù)測偏小。采用改進的指數(shù)型內(nèi)聚力模型計算上升段和下降段的決定系數(shù)R2分別為0.903和0.93，均方誤差MSE 分別為0.008 和0.006，可以比較好地預(yù)測試驗結(jié)果。由雙線性內(nèi)聚力模型計算上升段和下降段的決定系數(shù)R2分別為0.883和0.896，均方誤差MSE 分別為0.009 和0.008，說明在模擬軌道板與CA 砂漿層間界面切向開裂行為時，改進指數(shù)型模型對試驗結(jié)果的預(yù)測效果要好于雙線性內(nèi)聚力模型。而采用指數(shù)型內(nèi)聚力模型計算上升段和下降段的決定系數(shù)R2分別為-0.08和0.082，均方誤差MSE 分別為0.085 和0.073，模型預(yù)測值和試驗值的誤差較大，對試驗結(jié)果預(yù)測性較差。綜上，改進的指數(shù)型模型對試驗結(jié)果的預(yù)測效果要好于雙線性模型和指數(shù)型模型，且可以較好地表征界面切向拉力-位移曲線的非線性特性。

4 結(jié)論

本文基于內(nèi)聚力本構(gòu)理論和試驗數(shù)據(jù)，分別采用雙線性和指數(shù)型內(nèi)聚力模型對CRTS Ⅱ 型軌道板與CA 砂漿層間離縫進行預(yù)測，分析了雙線性和指數(shù)型內(nèi)聚力模型的適用性。在此基礎(chǔ)上，提出了改進的指數(shù)型內(nèi)聚力模型，并確定了改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型的主要參數(shù)。最后，采用不同內(nèi)聚力模型對軌道板與CA 砂漿層間離縫進行預(yù)測分析。得到以下結(jié)論：

(1) 雙線性內(nèi)聚力模型上升段和下降段均為線性，極值點導(dǎo)數(shù)不連續(xù)；指數(shù)型內(nèi)聚力模型上升段和下降段非線性特征難以控制。而提出的改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型則改善了既有模型的不足。

(2) 改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型采用分段函數(shù)，通過引入指數(shù)系數(shù)改善了模型的非線性特征?？梢愿咝нM行軌道板-CA 砂漿界面內(nèi)聚強度、損傷萌生時界面相對位移和界面臨界斷裂能的計算，分析結(jié)果與試驗值基本一致。

(3) 改進指數(shù)型模型能準確描述軌道板與CA 砂漿界面開裂行為，預(yù)測精度高于雙線性和指數(shù)型內(nèi)聚力模型。改進指數(shù)型內(nèi)聚力模型可更好地表征軌道板與CA 砂漿層間界面法向和切向開裂行為。