杜輝波，程 欣，張 超，陳以一

(1. 太原理工大學土木工程學院，山西，太原 030024；2. 上海杉達學院工程學院，上海 201209)

2021 年3 月，住房和城鄉(xiāng)建設部公布《關于加強縣城綠色低碳建設的通知(征求意見稿)》的通知，規(guī)定縣城新建住宅以6 層為主，6 層及以下住宅占比應不低于75%，縣城新建住宅最高不超過18 層。在低多層住宅建筑中采用輕型鋼結構體系，可大幅縮短施工周期，提高勞動生產(chǎn)率，有利于降碳減排，實現(xiàn)“碳中和”目標。我國已將輕鋼結構在住宅建設中的推廣應用作為建筑業(yè)的一場革命，輕型鋼結構住宅體系將迎來極大的發(fā)展機遇[1-3]。

組成鋼構件的板件寬厚比直接決定了其承載性能和塑性變形能力，因此鋼構件截面分類方法是現(xiàn)代鋼結構設計的基礎，也是鋼結構抗震設計的基礎，不同的截面類別配套以不同的設計準則和設計方法，如圖1 所示。歐洲規(guī)范EN 1993-1-1[4](以下簡稱EC3)根據(jù)截面的承載性能和塑性轉(zhuǎn)動變形能力將截面劃分為4 類：I 類截面可達全截面塑性并產(chǎn)生具有充分轉(zhuǎn)動能力的塑性鉸；II 類截面同樣可達全截面塑性，但由于局部屈曲限制其轉(zhuǎn)動能力，不滿足塑性設計要求；III 類截面可達邊緣屈服但由于局部屈曲不能發(fā)展塑性；IV 類截面在達到邊緣屈服前板件就會發(fā)生局部屈曲。GB 50017-2017[5](《鋼結構設計標準》，以下簡稱《鋼標》)根據(jù)受彎和壓彎下截面承載力和轉(zhuǎn)動能力的不同將截面分為5 個等級，相較于EC3 規(guī)范，考慮純彎截面的腹板可發(fā)展不超過1/4 截面高度的塑性，在II 類和III 類之間加入S3 級截面。H 形截面鋼構件生產(chǎn)方便，作為開口截面構件，易于與各種形式的結構構件連接，可適用于鋼框架結構、框架支撐結構等，是輕型鋼結構尤其是裝配式鋼結構最常見的構件形式。然而，受抗震規(guī)范限制，H 形鋼構件板件寬厚比限值嚴格，板件往往較厚，導致傳統(tǒng)H 形鋼框架柱在設計時一般由整體穩(wěn)定或長細比控制，經(jīng)濟效益較差，鋼材利用率低。尤其是對于高強度鋼材，其寬厚比限制較普通鋼更為嚴格，鋼材利用率更低，大大限制了高強度鋼材的推廣應用，而采用高強度鋼材是降低碳排放的重要途徑之一。本文將不滿足塑性設計要求的第II 類～IV 類截面統(tǒng)稱為薄柔截面，薄柔H 形鋼構件由于其截面肢寬腹薄，在相同的單位長度質(zhì)量下?lián)碛懈蟮幕剞D(zhuǎn)半徑、抗彎剛度、抗扭剛度和屈服彎矩等，能取得良好的經(jīng)濟效益和環(huán)保性能，可廣泛應用于輕量化的低多層鋼結構住宅體系中[6-7]。

圖1 截面分類方法及設計準則Fig. 1 Section classification method and design criterion

鋼框架柱在多維地震作用下，除承受軸向壓力外，至少還承受互相垂直的兩個水平方向的彎矩作用。目前，國內(nèi)外針對鋼構件雙向壓彎的研究主要集中在兩主軸特性無顯著差異的矩形方鋼管和圓鋼管中。Watanabe 等[8]和Guerrero 等[9]對矩形方鋼管進行了多維加載條件下不同加載路徑的滯回試驗，考察了板件局部屈曲以及加載路徑對構件極限承載能力的影響。申紅俠[10]采用有限元法分析了高強鋼焊接薄壁方鋼管雙向壓彎構件局部-整體相關屈曲的極限承載力并修正了相應的計算公式。Goto 等[11-12]采用自主開發(fā)的三維加載系統(tǒng)對圓鋼管開展了常軸力下的雙向壓彎擬動力試驗和振動臺試驗，考察了由局部屈曲控制的極限行為，并提出了用于預測極限承載能力的極限相關公式。范峰等[13]采用空間三向加載裝置，設計并開展了不同空間加載方案下的圓鋼管滯回試驗，基于試驗結果提出了考慮損傷累積的多維本構方程。

對于塑性截面，Zubydan 等[14]推導了H 形截面鋼構件在雙向壓彎下的塑性強度面，并計算了考慮殘余應力下的切線模量；Baptista 等[15]根據(jù)截面應力分布理論計算了H 形截面鋼構件的雙向壓彎全截面塑性承載力。然而，目前對于薄柔H 形鋼構件的研究大多局限在其單軸性能[16-18]，對于雙向壓彎作用下的研究較少。Yun 等[19-20]完成了12 根薄柔熱軋工字截面短柱在偏心加載下的單向及雙向壓彎試驗，并結合有限元方法得到了基于連續(xù)強度法的雙向壓彎設計公式。Cheng 等[21]對不同寬厚比組合下的薄柔H 形鋼構件開展了不同加載角度下的雙向滯回加載試驗，考察了板件寬厚比、軸壓比以及加載角度對構件滯回性能的影響。以上研究成果表明，在雙向加載條件下，H 型鋼構件兩個主軸方向的非線性響應具有明顯的雙軸相關性，表現(xiàn)為某主軸方向外荷載的增加會導致另一主軸承載能力、塑性變形性能和耗能能力的退化；而薄柔H 形截面由于其局部屈曲的破壞特征，使其雙向壓彎的雙軸相關性具有更為復雜的非線性空間響應性。

本文對薄柔H 型鋼構件在不同加載角度下的雙向壓彎非線性性能進行參數(shù)化分析，根據(jù)平衡穩(wěn)定性能量準則的能量變分法提出由構件平衡穩(wěn)定狀態(tài)識別的極限狀態(tài)判定準則，得到H 形截面雙向壓彎極限相關曲線的計算公式，為大寬厚比薄柔H 形截面鋼構件的雙向壓彎抗震設計方法提供理論基礎。

1 有限元模型的校核與參數(shù)化有限元模型的建立

1.1 有限元模型建立

為探明H 形截面鋼構件在雙向壓彎作用下的極限狀態(tài)并獲取其相應的極限承載力，采用通用非線性有限元分析軟件ABAQUS 對不同板件寬厚比、軸壓比及加載方向組配下的H 型鋼構件建立參數(shù)化分析模型。本文的研究對象為框架柱的等效懸臂構件，等效原理如圖2 所示，懸臂構件長度L取框架半層高，L=H/2=1500 mm。構件在雙向壓彎加載模式下表現(xiàn)為復雜的空間非線性響應，其受力與變形情況如圖3 所示，除受軸壓力(N)及雙向水平力(Vx和Vy)，還有雙向彎矩及二階扭矩(Mx、My和Mz)。在分析中需考慮材料非線性、幾何非線性、殘余應力等對構件極限承載力的影響。

圖2 懸臂構件等效原理Fig. 2 Equivalence principle of cantilever member

圖3 受力情況及變形特點Fig. 3 Force condition and deformation features

鋼材的本構模型采用石永久等[22]建議的簡化后的二次塑流模型，如圖4 所示，其數(shù)學表達式如式(1)所示。

圖4 鋼材本構模型Fig. 4 Constitutive model of structural steel

式中：Es為鋼材的彈性模量，取Es=2.06×105MPa；fy為鋼材屈服強度；εy為對應的屈服應變；fu為鋼材極限抗拉強度，fu=k3fy。k1、k2和k3均為材料參數(shù)，分別用于控制鋼材流幅、強化率以及極限強度。對于Q355B 鋼材，采用Von Mises 屈服準則，材料參數(shù)取k1=4.5、k2=45、k3=1.4，泊松比ν=0.3[22]。

為了考慮板件局部初始幾何缺陷的影響，將軸壓下的線性屈曲分析局部屈曲模態(tài)作為假定的初始幾何缺陷位形，以h/500 的模態(tài)比例因子施加于整體模型上，h為H 形截面高度。根據(jù)文獻[23]中列出的不同截面類型的殘余應力分布形式，采用如圖5 所示的殘余應力分布模型，圖中殘余應力拉為正，壓為負。

圖5 殘余應力分布及截面參數(shù)定義Fig. 5 Residual stress distribution and definition of crosssection dimensions

單元類型選用4 節(jié)點四邊形有限薄膜應變線性減縮積分殼單元(S4R)，殼單元厚度方向采用5 個積分點的Simpson 積分。由于構件的破壞模態(tài)主要由臨近嵌固端板件的局部屈曲所控制，為精確捕獲其屈曲響應，對構件端部1/3 范圍內(nèi)的網(wǎng)格加密劃分。通過網(wǎng)格試驗來確定網(wǎng)格密度，在兼顧計算精度的同時考慮計算效率，非加密區(qū)的基本網(wǎng)格尺寸取為20 mm，加密區(qū)網(wǎng)格尺寸取為10 mm，如圖6 所示。圖6 同時給出了雙向壓彎等效懸臂構件有限元模型邊界條件的處理方式：在上、下兩端部截面形心處分別建立參考點，將嵌固端截面的全部節(jié)點動態(tài)耦合到參考點1 處，并約束其全部自由度；加載自由端截面建立剛面以防止集中力作用下板件局部壓潰，并將剛面的自由度賦予到參考點2 處。

圖6 網(wǎng)格劃分與邊界條件Fig. 6 Finite element meshing and boundary conditions

有限元模型加載方式如圖7 所示，分為2 個分析步：第一步，首先通過參考點2 以力加載的方式施加常軸壓力(若軸壓力N=0 則省略該步驟)；第二步，以位移加載的方式沿既定角度α 施加單調(diào)側(cè)向位移進行直線型加載，加載直到構件完全破壞停止加載。

圖7 加載方式Fig. 7 Loading condition

1.2 有限元模型校核

采用Cheng 等[21]已有薄柔H 形截面鋼構件雙向壓彎滯回加載試驗的結果對本文有限元模型進行校核。基于試驗測定的H 形截面鋼構件初始幾何缺陷以及圖5 所示的殘余應力分布形式，建立有限元分析模型。由表1 可知，試驗與有限元強軸方向彎矩分量峰值比值的平均值為0.989，標準差為9.78%；弱軸方向彎矩分量峰值比值的平均值為1.029，標準差為6.01%。為了進一步驗證有限元模型的適用性，將其中典型試件雙向壓彎試驗與有限元破壞模態(tài)進行對比，結果列于圖8 中。結果表明有限元破壞模態(tài)與試驗結果基本一致，有限元承載力與試驗結果吻合良好，故該有限元模型可用于后續(xù)的參數(shù)分析。

圖8 典型試件有限元破壞模態(tài)與試驗對比Fig. 8 Comparison of failure modes between finite element and test of typical specimens

表1 有限元結果與試驗結果[21]比較Table 1 Comparison between finite element results and available experimental results[21]

1.3 參數(shù)化分析設置

為探究軸壓比n(n=N/Afy)、腹板寬厚比rw、翼緣寬厚比rf和加載角度α ，這4 個關鍵參數(shù)對H 形截面雙向壓彎極限承載力的影響，利用經(jīng)試驗校核后的有限元模型進行參數(shù)分析。固定截面的高度h=300 mm 和寬度b=200 mm，通過改變腹板厚度tw、翼緣厚度tf以及軸壓力N來實現(xiàn)關鍵參數(shù)rw、rf和n的改變。表2 列出了參數(shù)設置的具體范圍：rw的變化范圍為從40～130；rf的變化范圍為9～21；n的變化范圍從0～0.5；加載角α 的設置如圖9 所示，隔15°取，其中0°～30°范圍內(nèi)每隔5°設置以期更加全面地考察構件弱軸起主導作用的極限行為；共計3234 個有限元構件模型，涵蓋了S1～S5 5 類截面。參數(shù)分析中所有構件模型的強軸和弱軸長細比均控制在構件發(fā)生整體失穩(wěn)不先于發(fā)生局部失穩(wěn)范圍內(nèi)，排除了整體失穩(wěn)所主導的情況。構件模型的命名方式為B-n-rw-rf-α。

圖9 參數(shù)分析中的加載方向角Fig. 9 Loading direction angle in parametric study

表2 參數(shù)設置范圍Table 2 Range of parameter values

2 極限狀態(tài)判定準則

H 形鋼構件在雙向壓彎加載條件下具有下述特征[16-18]：① H 形截面兩主軸慣性矩存在巨大差異(Ix可達Iy的5 倍～10 倍)，兩主軸抗彎剛度和抗彎承載力發(fā)展不同步(圖10)；② 以板件塑性和局部屈曲不同時序或單獨或耦聯(lián)出現(xiàn)為主導破壞模式，使兩主軸承載-變形性能具有明顯的相關性，即集中損傷的出現(xiàn)，會不同程度的影響兩主軸的承載力及剛度；③ 不同步性及相關性將貫穿整個加載過程，使其極限狀態(tài)及極限承載力的確定變得異常復雜，單軸壓彎以彎矩峰值作為極限狀態(tài)的判定方法不再適用于雙向壓彎的情況。

圖10 試件B-0.2-70-21-5 的抗彎承載力彎矩分量發(fā)展Fig. 10 Development of moment components of B-0.2-70-21-5

H 形鋼構件雙向壓彎的破壞過程本質(zhì)上是彈塑性穩(wěn)定問題。對于由局部屈曲控制的薄柔構件毫無疑問屬于彈塑性穩(wěn)定問題；而對于厚實H 形鋼構件，板件在塑性鉸充分發(fā)展之前始終不會發(fā)生局部失穩(wěn)，隨著截面的塑性流動，塑性鉸的產(chǎn)生使得原構件轉(zhuǎn)化為幾何可變機構從而喪失穩(wěn)定性，同樣屬于穩(wěn)定問題。經(jīng)典彈塑性穩(wěn)定理論認為結構的極限狀態(tài)為結構由穩(wěn)定的平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡狀態(tài)所對應的時刻，而平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的改變可由基于平衡穩(wěn)定性能量準則的能量變分法來確定，該方法為求取結構穩(wěn)定問題的常用方法[24]。例如，Hill[25]根據(jù)結構總勢能的二階變分Δ2Π 大于0，等于0 還是小于0，將平衡狀態(tài)分別劃分為穩(wěn)定、臨界和不穩(wěn)定狀態(tài)。

對于本文的研究對象，在保守系統(tǒng)中忽略摩擦耗散能、聲能及動能等，構件的總應變能始終等于外力勢能，即：

綜合上述討論，對于由局部屈曲控制的薄柔H 型鋼構件和由塑性鉸控制的厚實H 型鋼構件，其極限狀態(tài)統(tǒng)一由式(4)確定。具體操作步驟為：通過有限元結果計算構件在整個加載過程中每一增量步下的力增量ΔV與位移增量Δu，求得ΔV和Δu兩增量向量夾角余弦值cosθ，通過cosθ代數(shù)符號的首次變號確定對應的極限狀態(tài)臨界時刻。

3 典型構件極限狀態(tài)分析

3.1 極限狀態(tài)分析

為了進一步闡釋本文提出的極限狀態(tài)判定準則并證實其合理性和準確性，提取3 個典型構件模型B-0.2-40-9、B-0.2-55-13 和B-0.2-70-21 分別在加載角度α=5°、30°及90°下的全過程結果進行分析，進而從宏觀與微觀的多維角度理解H 型鋼構件在雙向壓彎加載下板件塑性及局部屈曲的發(fā)展機制，如圖11 所示。根據(jù)極限時刻對應的狀態(tài)可將圖11 的9 個構件模型分成2 類：① 極限狀態(tài)對應局部屈曲起始時刻(圖11(f)～圖11(i))；② 極限狀態(tài)對應塑性鉸起始時刻(圖11(a)～圖11(e))。

圖11 典型模型雙向彎矩發(fā)展與極限狀態(tài)Fig. 11 Development of moments about two axes and ultimate state of typical models

以構件模型B-0.2-70-21-5 說明典型薄柔構件的極限狀態(tài)性能。對于薄柔構件來說，在加載過程中板件局部屈曲的萌生將直接導致構件承載能力的退化，因此可認為對于板件寬厚比較大的薄柔構件，極限時刻為板件局部屈曲的起始時刻。由cosθ=0 所確定的極限時刻與σz,1和σz,5的分岔時刻保持一致，說明極限判定準則能準確識別出由板件局部屈曲所導致承載力開始退化的時刻，在構件達到極限狀態(tài)后隨即雙向水平抗力的合力ΣV達到其最大值 ΣVmax。

以構件模型B-0.2-40-9-5 為例說明厚實截面的極限行為。此類構件在加載過程中板件始終不發(fā)生局部屈曲或板件在發(fā)生局部屈曲前早已進入塑性發(fā)展階段，板件局部屈曲的萌生不再是此類構件極限狀態(tài)的標志，而當截面出現(xiàn)塑性鉸時可認為構件達到極限狀態(tài)，此判定準則與我國現(xiàn)行設計標準保持一致。對于由cosθ=0 所確定的極限時刻，σz,1和σz,5保持一致尚未分岔，說明板件屈曲并未發(fā)生；而極限時刻云圖顯示，翼緣板件已大部分進入塑性發(fā)展階段，截面可繞著靠近中性軸的腹板進行塑性轉(zhuǎn)動，說明已經(jīng)形成塑性鉸。在之后的塑性流動過程中構件的雙向水平抗力合力ΣV隨著變形的不斷增加基本保持不變或因鋼材強化作用略微增長但增幅不大，與塑性鉸的發(fā)展特征相一致。雙向抗彎承載力Mx和My在軸壓力N二階效應的作用下隨著變形的增大而持續(xù)增長，進一步拓展截面的塑性區(qū)域。

以上結果表明，本文提出的極限狀態(tài)判定準則能夠準確地預測出構件平衡狀態(tài)穩(wěn)定性變化及板件局部屈曲的起始時刻。

3.2 極限承載力相關關系及極限相關曲線

通過本文極限狀態(tài)判定準則，可確定出各個模型在不同加載角度下極限狀態(tài)所對應的極限抗彎承載力(Mux和Muy)。將3 個典型構件模型B-0.2-40-9、B-0.2-55-13 和B-0.2-70-21 在 不 同 加載角度下的雙向彎矩分量分別經(jīng)2 個主軸單向壓彎極限抗彎承載力(Muxmax和Muymax)正則化得到雙向彎矩相關曲線，如圖12(a)～圖12(c)所示，并將由極限狀態(tài)判定準則所確定的極限狀態(tài)點通過最小二乘法擬合得到極限相關曲線，匯總于圖12(d)中。結果顯示極限相關曲線形狀均為上凸弧線，不同板組配比下的極限相關曲線具有不同的凸性，即在板件相關作用下，腹板寬厚比rw和翼緣寬厚比rf對極限相關曲線具有顯著影響。隨著rw和rf的增大，相較于弱軸單向壓彎，構件繞強軸壓彎更易喪失穩(wěn)定，表現(xiàn)為抗彎承載力的退化更為嚴重。經(jīng)正則化后則表現(xiàn)為隨著rw和rf的增大，極限相關曲線更凸向強軸。

圖12 典型模型雙向彎矩相關關系及極限相關曲線Fig. 12 Correlation between biaxial bending moments and ultimate interactive curves of typical models

圖13 為三個典型構件模型B-n-40-9、B-n-55-13和B-n-70-21 在不同軸壓比下的極限相關曲線，結果表明極限相關曲線的凸性與軸壓比同樣具有相關關系，在軸壓比n≤0.5 的條件下，隨著軸壓比的增大曲線越凸向強軸。其原因與rw和rf影響極限相關曲線凸性類似，在大軸壓比作用下，繞強軸單向壓彎比弱軸更易失穩(wěn)，抗彎承載力退化程度更大，其曲線分布規(guī)律為正則化后所帶來的。

圖13 不同軸壓比下的極限相關曲線Fig. 13 Interactive curves under different axial force ratios

4 H 形截面雙向壓彎構件強度計算公式與公式評價

4.1 雙向壓彎截面強度計算公式

EC3 對于彎矩作用在兩個主平面內(nèi)的壓彎構件，其截面強度設計公式依據(jù)截面分類方法，I 類和II 類截面采用考慮雙軸相關作用的塑性設計方法；III 類截面采用彈性設計方法；IV 類截面采用有效彈性寬度法，如圖14(a) 所示?！朵摌恕吠ㄟ^采用塑性發(fā)展系數(shù)γx和γy考慮截面的塑性發(fā)展能力，對于不考慮截面塑性發(fā)展進行彈性設計時，γx和γy取1.0，如圖14(b)所示。EC3 和《鋼標》均未考慮兩主軸的抗彎承載力由于板組相關作用存在明顯的相關關系。

圖14 現(xiàn)行規(guī)范與本文提出公式Fig. 14 Formulas in current codes and this paper

Bresler[26]提出了通過2 個相關關系參數(shù)α1和α2表征兩主軸抗彎承載力的相關關系的相關準則模型，其表達式為：

4.2 可靠性分析與公式評價

為評價所提出公式的準確性、可靠性與適用性，將Cheng 等[21]的試驗結果以及有限元參數(shù)分析結果與所提出公式進行比較。圖15 的對比結果表明，極限狀態(tài)點與本文所提出公式基本吻合?；贛ohammad 等[27]提出的性能化評價方法，采用2 個性能化評價指標Ru,pred和Ru,FEM對所提出公式進行統(tǒng)計對比分析，兩評價指標通過幾何方法來確定(圖16(a))。將不同截面分類下的評價指標Ru,pred和Ru,FEM分別以圖和表的形式匯總于圖16(b)～圖16(d)和表3 中，從中可以看出本文所提出公式對于I 類～IV 類截面均接近有限元結果，而EC3 結果基本全部位于紅線以下且分布較離散。以上結果表明，本文提出公式能夠較為準確地預測出H 形截面雙向壓彎極限承載力，而EC3 的結果偏于保守且離散程度高。

表3 可靠度分析結果Table 3 Reliability analysis results

圖15 本文提出公式的試驗[21]評價結果Fig. 15 Evaluation of the proposed formula using the test results[21]

圖16 式(6)與EC3 和有限元比較結果Fig. 16 Comparison between formula (6), EC3 and FE results

本文提出的薄柔H 形截面在雙向壓彎下的極限狀態(tài)判定準則，能夠準確地識別出構件喪失穩(wěn)定平衡狀態(tài)時刻所對應的極限狀態(tài)，相應的用于預測其極限承載力計算公式結果準確可靠，同時能夠拓展適用于不同的截面分類。由于EC3 未考慮材料的強化作用，對應的截面分類方法和承載力計算方法均遵循單一板件準則，即孤立地假定腹板為四邊簡支的單板；翼緣為三邊簡支一邊自由的單板，并未考慮板件相關作用，與板件真實的受力特性不符所以計算結果偏于保守。

5 結論

從直線型單調(diào)加載路徑入手，考察板件寬厚比、軸壓比和加載角度對其極限行為，包括極限時刻破壞模態(tài)、抗彎機理和極限抗彎承載力等的影響規(guī)律，解決考慮雙軸相關性的H 形截面雙向壓彎承載力計算問題，得到以下結論：

(1) H 形截面在雙向復雜加載過程中翼緣與腹板間存在明顯的板件相關作用，由于塑性發(fā)展和屈曲變形等原因呈現(xiàn)出復雜的空間響應狀態(tài)，其雙向抗彎承載力存在明顯的雙軸相關性。

(2) 從平衡穩(wěn)定性能量準則的能量變分法出發(fā)，從彈塑性穩(wěn)定角度提出了用于判定雙向壓彎構件極限狀態(tài)判定準則。

(3) 對于由局部屈曲控制的薄柔截面，其極限狀態(tài)為板件屈曲起始時刻；對厚實截面，極限狀態(tài)為構件由于塑性鉸的產(chǎn)生而轉(zhuǎn)化為幾何可變機構。

(4) 基于簡單單調(diào)加載路徑下的數(shù)值結果，提出了考慮材料強化作用以及板件相關準則的H 形截面雙向壓彎極限承載力相關曲線計算公式，與有限元結果及試驗結果吻合度良好，且形式簡單，適用性強。該極限承載力相關曲線計算公式適用于本文采用的軸壓比和板件寬厚比的條件：40≤rw≤150、9≤rf≤21 和0≤n≤0.5。