黃文雄, 崔 賢

(河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院, 南京 210098)

0 引 言

臨界狀態(tài)在土力學(xué)中指土體剪切失效時(shí)所趨近的無(wú)剪脹塑性流動(dòng)狀態(tài)．土體的臨界狀態(tài)只與土的物理特性及作用于土體的平均壓力有關(guān),不依賴土體的初始密度,因此是建立土體本構(gòu)模型的重要參考狀態(tài)[1-2]．

土體均勻趨于臨界狀態(tài)的失效模式只是一種理想的情形,實(shí)際土體破壞往往伴隨著剪切帶的發(fā)展．這種集中于帶狀區(qū)域的應(yīng)變局部化的形成和演化是認(rèn)識(shí)土體結(jié)構(gòu)失效與破壞的關(guān)鍵,也一直是土力學(xué)與顆粒材料力學(xué)所關(guān)注的研究課題．相對(duì)于土體結(jié)構(gòu)的宏觀尺度,剪切帶的厚度是很小的,實(shí)驗(yàn)所觀察到的剪切帶厚度約為土體顆粒平均粒徑的10～15倍左右[3-4]．因此,剪切帶兩側(cè)有限的相對(duì)剪切位移就可在帶內(nèi)引起較大的剪切變形,使得帶內(nèi)材料很快達(dá)到臨界狀態(tài)．

經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)本構(gòu)模型不包含任何與材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)相關(guān)的特征長(zhǎng)度,預(yù)測(cè)的剪切帶理論厚度為零．因此,常規(guī)的土體本構(gòu)模型只能預(yù)測(cè)剪切帶的產(chǎn)生[5-6],一般不能規(guī)范剪切帶的厚度并正確預(yù)測(cè)土體涉及剪切帶演化的后失效行為．在采用有限元等方法分析土體的后失效行為時(shí),數(shù)值解具有網(wǎng)格尺寸依賴性．

為克服上述困難,可采用高階連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論,如微極場(chǎng)理論[7]、高階梯度理論[8]等．高階連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型允許引入材料細(xì)觀特征長(zhǎng)度,可以在一定程度上刻畫材料中應(yīng)力和變形在細(xì)觀尺度上的變化．其中Cosserat介質(zhì)屬于微極連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論中較簡(jiǎn)單的一種, 通過(guò)在連續(xù)體中引入質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和偶應(yīng)力,可以在一定程度上描述材料細(xì)觀尺度上的應(yīng)力和變形的變化,從而能恰當(dāng)模擬剪切帶的發(fā)展．Mühlhaus和Vardoulakis[9]采用Cosserat介質(zhì)彈塑性模型討論了土體中剪切帶厚度與顆粒平均粒徑的關(guān)系;Oda[10]研究了顆粒材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)、偶應(yīng)力與剪切帶的關(guān)系;Huang等[11]基于Cosserat介質(zhì)理論,將Gudehus[12]和Bauer[13]所建立的模擬砂土等顆粒土的亞塑性模本構(gòu)型推廣為微極亞塑性模型,并用于砂土中局部化應(yīng)變發(fā)展模式的數(shù)值分析[14]．

基于文獻(xiàn)[11]建立的微極亞塑性模型,Huang和其合作者[15]分析了顆粒材料在平面Couette剪切中,條形區(qū)域內(nèi)的應(yīng)變局部化的形成與演化機(jī)制,并且針對(duì)充分發(fā)展的平直剪切帶,推導(dǎo)得到了臨界狀態(tài)下的控制方程,但針對(duì)該控制方程并未得到完全解．本文主要目的是在前期工作[15]的基礎(chǔ)上,探討剪切帶在臨界狀態(tài)下的關(guān)鍵變量,即Cosserat轉(zhuǎn)動(dòng)角速度所滿足的非線性常微分方程的主要特性及求解途徑,并給出問(wèn)題的完全解．

1 微極亞塑性模型簡(jiǎn)述

(1)

Cosserat介質(zhì)中的應(yīng)力張量σ和偶應(yīng)力張量μ滿足平衡方程:

divσ+b=0, divμ-∶σ=0,

(2)

其中,b為體力矢量;grad代表矢量和張量的梯度運(yùn)算,div代表散度運(yùn)算;為置換符號(hào);點(diǎn)乘積運(yùn)算代表兩個(gè)張量相鄰的一對(duì)下標(biāo)的縮并,雙點(diǎn)積運(yùn)算代表兩個(gè)張量前后兩對(duì)對(duì)應(yīng)下標(biāo)的縮并．式(1)和(2)也表明Cosserat介質(zhì)中的應(yīng)力、偶應(yīng)力、應(yīng)變率和微曲率率張量在一般情況下是非對(duì)稱的．

Gudehus[12]和Bauer[13]以Cauchy應(yīng)力σ和孔隙比e為狀態(tài)變量,建立了一個(gè)有效實(shí)用的臨界狀態(tài)亞塑性模型(G-B模型),能較好地模擬砂土等無(wú)黏性顆粒土的力學(xué)響應(yīng)．為了能客觀模擬顆粒土中剪切帶的形成與發(fā)展,Huang等[11]基于 Cosserat介質(zhì)理論將G-B模型推廣為微極亞塑性模型,用下列張量方程描述Cauchy應(yīng)力及偶應(yīng)力張量的客觀時(shí)間導(dǎo)數(shù)與應(yīng)變率、微曲率率張量之間的關(guān)系:

(3)

(4)

(5)

(6)

式(5)和(6)實(shí)際為建立模型時(shí)預(yù)設(shè)的臨界狀態(tài)流動(dòng)法則和強(qiáng)度條件[11]．

2 剪切帶內(nèi)臨界狀態(tài)的數(shù)學(xué)描述

圖1 剪切帶脫離體及受力示意圖及坐標(biāo)系選取Fig. 1 Schematic diagram for the shear band with applied forces and coordinates

(7)

根據(jù)上述應(yīng)力狀態(tài),剪切帶內(nèi)臨界狀態(tài)強(qiáng)度條件(5)簡(jiǎn)化為

(8)

(9)

這里引入了無(wú)量綱長(zhǎng)度因子ξ=x2/lc,并記θ′=dθ/dξ,其中

(10)

稱為材料的細(xì)觀特征長(zhǎng)度,它與土體平均粒徑d50呈正比,并與材料細(xì)觀和宏觀強(qiáng)度參數(shù)之比相關(guān)．

將流動(dòng)法則(9)代入平衡方程(7)的第三式,可得到關(guān)于θ的控制方程(參考附錄):

(11)

其中,ξd=d/lc為剪切帶厚度的無(wú)量綱參數(shù)或剪切帶的厚度因子;

(12)

3 剪切帶臨界狀態(tài)完全解

上節(jié)推導(dǎo)表明,微極亞塑性模型所模擬顆粒土中的剪切帶趨于臨界狀態(tài)(無(wú)剪脹流動(dòng)狀態(tài))時(shí),帶內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的Cosserat轉(zhuǎn)動(dòng)角速度θ滿足非線性常微分方程(11)．本文的主要目標(biāo)是通過(guò)求解方程(11)獲得剪切帶厚度因子及帶內(nèi)各變量的分布規(guī)律．具體討論如下．

3.1 方程的特點(diǎn)

本文所要求解的控制方程(11)具有以下幾個(gè)主要特點(diǎn):

2) 方程(11)關(guān)于基本變量θ具有齊次性, 若θ(ξ)是方程的解, 則對(duì)于任意常數(shù)A,Aθ(ξ)也是方程的解．

3) 剪切帶的基本特征是其內(nèi)部材料處于流動(dòng)狀態(tài),外部材料作不變形的剛性運(yùn)動(dòng),因此在剪切帶內(nèi)部θ≠0,在邊界ξ=±ξd/2處應(yīng)有θ=0．因此剪切帶的厚度因子ξd由θ的一個(gè)完整變化周期決定,并且與θ的絕對(duì)值無(wú)關(guān)．

3.2 問(wèn)題的形式解

為求解方程(11),引入如下的變量替換:

(13)

容易驗(yàn)證

考慮先在半帶厚(0≤ξ≤ξd/2)內(nèi)求解θ和其余變量,再利用對(duì)稱性和反對(duì)稱性獲得完全解．根據(jù)圖1坐標(biāo)系選擇及剪切帶中各變量正負(fù)號(hào)規(guī)定,應(yīng)有θ≤0,θ′≥0,因此有y≤0,z≥0,從而

(14)

此外,在剪切帶中心和邊界處分別有

ξ=0:z=0,y=-1;ξ=ξd/2:y=0,z=1．

(15)

將替換變量(13)和(14)代入式(11),問(wèn)題歸結(jié)為在半帶厚內(nèi)求解z=z(ξ),滿足方程

(16)

中間變量z=z(ξ)應(yīng)對(duì)式(16)直接積分獲得．另一中間變量y=y(ξ)可按式(14)求出．同時(shí),利用ξ=ξd/2處邊界條件可得厚度因子表達(dá)式:

(17)

求得中間變量z(ξ)和y(ξ)后,利用流動(dòng)法則(9)可求出正則化的應(yīng)力和偶應(yīng)力分量:

(18)

(19)

(20)

(21)

令ξ=ξd/2,可以得到剪切帶中心Cosserat轉(zhuǎn)動(dòng)角速度與邊界處剪切速率的線性關(guān)系式:

(22)

3.3 參數(shù)的確定和問(wèn)題的完全解

由于未能求出式(16)的解析積分,上述剪切帶中各變量的表達(dá)式僅是問(wèn)題的形式解．本文中擬采用數(shù)值積分求出z～ξ關(guān)系及其余各變量的數(shù)值解．為此,需要確定方程(11)中參數(shù)β的具體數(shù)值．

(23)

根據(jù)平衡方程(7)的第三式知,(σ12-σ21)|ξ=0=(?μ32/?x2)|ξ=0>0．

(24)

上述分析雖然給出了參數(shù)β的范圍,但尚不能確定β的具體值．通過(guò)假定r0(或β)的不同值,按數(shù)值解可求得半剪切帶厚度因子ξd/2的對(duì)應(yīng)值．結(jié)果表明(如圖3所示),剪切帶厚度因子ξd對(duì)參數(shù)r0(或β)具有強(qiáng)烈的依賴關(guān)系．

圖3 剪切帶厚度因子ξd/2對(duì)參數(shù)r0的依賴關(guān)系Fig. 3 Shear band thickness factor ξd/2 vs. parameter r0

(25)

(26)

(27)

此式為假定的參數(shù)β值提供了一個(gè)后驗(yàn)條件．正確的結(jié)果應(yīng)使β的后驗(yàn)值與通過(guò)設(shè)定r0得到的設(shè)定值相等,據(jù)此確定參數(shù)從而獲得問(wèn)題的完全解．

圖4 對(duì)應(yīng)r0設(shè)定值參數(shù)β的先驗(yàn)和后驗(yàn)值Fig. 4 Priori and posteriori values of β vs. parameter r0

圖5 半帶厚內(nèi)y(ξ)和z(ξ)Fig. 5 Variations of y(ξ)and z(ξ)in the half shear band

圖6 半帶厚內(nèi)和Fig. 6 Variations of z(ξ) in the half shear band

圖7 剪切帶內(nèi)正則化應(yīng)力、偶應(yīng)力分布Fig. 7 Distributions of the normalized stress and the couple stress components in the shear band

圖8 剪切帶內(nèi)正則化應(yīng)變率、微曲率率和剪切速率分布Fig. 8 Distributions of the normalized strain rate, the micro-curvature rate and the shear velocity in the shear band

3.4 剪切帶厚度因子的作用

(28)

4 結(jié) 論

剪切帶的厚度具有土體顆粒粒徑尺度相近的量級(jí),帶內(nèi)變形量的劇烈變化只有采用高階連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型才能恰當(dāng)模擬．采用筆者[11]先期提出的微極亞塑性模型模擬的理想顆粒土,剪切帶的臨界狀態(tài)(無(wú)剪脹流動(dòng)狀態(tài))可以通過(guò)一組流動(dòng)法則、強(qiáng)度條件和關(guān)于Cosserat轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的一個(gè)非線性常微分方程描述．該方程的解析求解具有難度．筆者在本文中結(jié)合剪切帶的基本特征,討論了該微分方程的一些主要特點(diǎn)和關(guān)鍵參數(shù)的取值范圍,通過(guò)應(yīng)用能量守恒關(guān)系補(bǔ)充完備了求解條件,從而能夠利用數(shù)值積分的方法求出剪切帶厚度因子及帶內(nèi)應(yīng)力、變形率各分量的分布規(guī)律等完全解．這一解答揭示了顆粒土失效時(shí)凝聚在小尺度范圍內(nèi)的材料剪切流動(dòng)機(jī)制,而剪切帶厚度因子與細(xì)觀特征長(zhǎng)度對(duì)于本構(gòu)模型中細(xì)觀強(qiáng)度參數(shù)的確定具有重要作用．此外,形如式(11)這樣有趣的非線性常微分方程也值得應(yīng)用數(shù)學(xué)研究者們的關(guān)注．

附錄 方程(12)的推導(dǎo)

(A1)

(A2)

其中

(A3)

上式兩邊乘方后可求得R的下列表達(dá)式:

(A4)

代入式(A2)后得到關(guān)于θ的常微分方程(11)．