趙雪芬, 盧紹楠, 馬園園, 張保文

(1. 寧夏大學(xué) 信息工程學(xué)院, 銀川 750021;2. 寧夏大學(xué)新華學(xué)院, 銀川 750021;3. 寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 銀川 750021)

0 引 言

1984年,研究人員發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)晶體同時(shí)具有非晶體學(xué)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性和準(zhǔn)周期平移對(duì)稱性[1]．準(zhǔn)晶體中聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)共存, 其中聲子場(chǎng)相當(dāng)于傳統(tǒng)晶體的彈性場(chǎng), 相位子場(chǎng)位移可以理解為對(duì)基本晶格的另外一種擾動(dòng)．相位子相應(yīng)的元激發(fā),表現(xiàn)出擴(kuò)散行為[2]．由于材料的脆性,準(zhǔn)晶對(duì)裂紋、孔洞、夾雜等其他缺陷很敏感[3]．這些缺陷的存在顯著影響了準(zhǔn)晶的物理和力學(xué)性能．為此,許多學(xué)者對(duì)準(zhǔn)晶斷裂問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究．Li等[4]研究了一維六方準(zhǔn)晶無(wú)限空間中半無(wú)限D(zhuǎn)ugdale裂紋尖端的塑性變形,估算了裂紋前緣塑性區(qū)的范圍,并給出了擴(kuò)展裂紋外的法向應(yīng)力和裂紋表面位移．Yu和Guo[5]考慮了一維六方準(zhǔn)晶帶中Ⅲ型共線裂紋的奇異彈性場(chǎng)問(wèn)題,通過(guò)第一類和第三類完全橢圓積分,導(dǎo)出了聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)在裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子．在考慮壓電效應(yīng)的作用下,盧紹楠等[6]基于復(fù)變函數(shù)方法研究了含界面共線裂紋的一維六方壓電準(zhǔn)晶雙材料的斷裂行為,求出了問(wèn)題的精確解．

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),傳統(tǒng)方法制備的準(zhǔn)晶僅在高溫下穩(wěn)定[7-8]．為了提高材料的使用壽命,關(guān)于準(zhǔn)晶熱力學(xué)性能已廣泛展開了實(shí)驗(yàn)和理論方面的研究[9-12]．基于廣義不連續(xù)位移法,Fan等[13]研究了熱效應(yīng)下一維六方準(zhǔn)晶非周期平面裂紋問(wèn)題．利用廣義勢(shì)理論方法,Li等[14]考慮了在一對(duì)均勻熱流作用下無(wú)限大一維六方準(zhǔn)晶中幣形裂紋的反平面斷裂問(wèn)題,得到了溫度、位移和應(yīng)力的解析表達(dá)式．Zhang等[15]借助于Hankel積分變換技術(shù),分析了一維六方準(zhǔn)晶涂層在熱機(jī)械載荷作用下界面裂紋的三維問(wèn)題,導(dǎo)出了界面位移和溫度不連續(xù)的基本解．Guo等[16]研究了含有導(dǎo)熱橢圓孔的二維十次準(zhǔn)晶的熱彈性問(wèn)題,考慮了橢圓孔的導(dǎo)熱性,利用復(fù)變函數(shù)方法求得了應(yīng)力的精確解．上述文獻(xiàn)均假設(shè)缺陷處于閉合狀態(tài),其中文獻(xiàn)[13-15]中裂紋是絕熱的(熱非滲透),文獻(xiàn)[16]中缺陷是完全熱導(dǎo)通的(熱滲透)．

工程實(shí)際中,當(dāng)材料加載外載荷時(shí),裂紋內(nèi)部并不是完全閉合狀態(tài)．張開的裂紋內(nèi)部會(huì)充滿具有導(dǎo)熱性的介質(zhì)(比如空氣等)．基于此,本文考慮裂紋內(nèi)部介質(zhì)熱傳導(dǎo)率,利用Fourier積分變換和疊加原理,研究了一維六方準(zhǔn)晶非周期平面內(nèi)含有中心開口裂紋的平面熱彈性問(wèn)題,得到了聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)應(yīng)力的解析解．?dāng)?shù)值算例分析熱傳導(dǎo)率、外載荷、熱流密度和耦合效應(yīng)對(duì)熱應(yīng)力強(qiáng)度因子和應(yīng)變能密度因子的影響規(guī)律．本文得到的結(jié)論可作為設(shè)計(jì)和評(píng)估準(zhǔn)晶高溫材料的理論基礎(chǔ)．

1 基本方程及問(wèn)題描述

一維六方準(zhǔn)晶中,若準(zhǔn)周期方向取z軸,則周期平面為xOy面．假設(shè)缺陷沿y軸穿透材料,這時(shí)在垂直于周期方向平面內(nèi)的彈性問(wèn)題可視為非周期平面彈性問(wèn)題．一維六方準(zhǔn)晶體非周期平面彈性問(wèn)題的平衡方程、變形幾何方程、廣義Hooke定律分別為[17-18]

?jσij=0, ?jHij=0,

(1a)

(1b)

(1c)

這里,i,j=x,z,C11,C13,C33和K1,K2分別表示聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)彈性常數(shù),R1,R2,R3為聲子場(chǎng)-相位子場(chǎng)耦合系數(shù),σij,Hij分別為聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)應(yīng)力分量,εij,ωij表示聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)應(yīng)變分量,ui,wi代表聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)位移分量,β1,β3是熱模量常數(shù),θ表示溫度變化．

將式(1b)和(1c)代入式(1a),可得偏微分方程組:

(2)

根據(jù)Fourier熱傳導(dǎo)理論可知

(3)

(4)

為了考慮開口裂紋內(nèi)部介質(zhì)熱物理特性的影響,選擇耦合邊值條件[19-20]:

(5)

其中,ε為考慮到實(shí)際情況的一個(gè)調(diào)節(jié)因子,是q0的無(wú)窮小量,λc是裂紋內(nèi)部介質(zhì)熱傳導(dǎo)率,Δu是裂紋張開位移．當(dāng)λc=0,表示裂紋內(nèi)部是絕熱的(熱非滲透);當(dāng)λc→∞,表示裂紋內(nèi)部是完全熱導(dǎo)通的(熱滲透);λc=0.024 W/(m·K)表示0 ℃時(shí)裂紋內(nèi)部充滿空氣的熱傳導(dǎo)率．

如圖1所示,考慮一維六方準(zhǔn)晶體非周期平面內(nèi)含一條中心開口裂紋,裂紋位于x軸上,長(zhǎng)度為2c．q0,σ0和h0分別代表無(wú)窮遠(yuǎn)處的熱流密度、聲子場(chǎng)載荷和相位子場(chǎng)載荷．

圖1 均勻的熱流密度q0和外載荷σ0,h0作用下的中心開口裂紋Fig. 1 A central opening crack under uniform heat flux density q0 and stress σ0,h0

假設(shè)裂紋內(nèi)部充滿介質(zhì),裂紋的邊值條件如下:

(6a)

(6b)

(6c)

其中,上標(biāo)“+”和“-”分別代表z>0和z<0平面的物理量．

在裂紋外連續(xù)邊界條件可表示為

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

2 溫度場(chǎng)的全平面解

由于問(wèn)題的對(duì)稱性,僅討論x>0部分．由式(4),利用Fourier積分變換,θ可表示為

(8)

其中A±(ξ)是未知的,δ±=±1．再由式(3),得

(9a)

(9b)

由于qz(x,z)在x軸上連續(xù),可知

根據(jù)邊界條件(6a)和(7d),有

(10a)

(10b)

式(10a)和(10b)為對(duì)偶積分方程組,其解為[21]

(11)

這里,J1(·)是第一類Bessel函數(shù)．將式(11)代入式(8)、(9),得到溫度場(chǎng)的積分表達(dá)式為

(12a)

(12b)

(12c)

利用Bessel函數(shù)的積分結(jié)果[22],可得到溫度場(chǎng)全平面的精確解:

(13a)

(13b)

(13c)

其中

3 熱應(yīng)力的全平面解

(14a)

(14b)

(14c)

對(duì)式(2)進(jìn)行Fourier積分變換,得到

(15a)

(15b)

(15c)

aj=n2/n,bj=-n1/n,

(16a)

(16b)

(16c)

其中,A*±(ξ),B*±(ξ)和C*±(ξ)是未知的．將式(16)代入式(2),可得

(17)

其中

從而,應(yīng)力的通解可表示為

(18a)

(18b)

(18c)

(18d)

(18e)

為得到式(18)的封閉解,可將問(wèn)題等效為兩個(gè)問(wèn)題的疊加: 第一個(gè)問(wèn)題僅研究力作用,第二個(gè)問(wèn)題僅討論熱載荷．首先,僅考慮力作用時(shí)的自由邊界條件為

(19a)

(19b)

結(jié)合式(18c)、(18e)和(19b),可以得到

(20a)

(20b)

其中

由式(6c)和(19a),可得

(21a)

(21b)

其中

κ1=-(C13-C33γ1a1-R2γ1b1)η1-(C13-C33γ2a2-R2γ2b2)η2-(C13-C33γ3a3-R2γ3b3)η3,

κ′1=-(R1-R2γ1a1-K1γ1b1)η1-(R1-R2γ2a2-K1γ2b2)η2-(R1-R2γ3a3-K1γ3b3)η3．

式(21a)和(21b)是對(duì)偶積分方程,其解為[21]

(22)

僅考慮熱載荷q0時(shí),邊界條件可表示為

(23a)

(23b)

由式(18b)、(18d)和(23a),可得

(24)

由式(6b)和(23b),可得

(25a)

(25b)

為了求解上述對(duì)偶積分方程,引入函數(shù)

即

(26)

由式(25a)和(26),可得

(27a)

(27b)

(27c)

其中

M4=(C33R1-C13R2)(γ2a2-γ3a3)+(C13K1-R1R2)(γ3b3-γ2b2)+

M5=(C33R1-C13R2)(γ1a1-γ3a3)+(C13K1-R1R2)(γ3b3-γ1b1)+

M6=(C33R1-C13R2)(γ2a2-γ1a1)+(C13K1-R1R2)(γ1b1-γ2b2)+

將式(27)代入式(26),可得

(28)

其中

κ21=(C44a2+C44γ2+R3b2)[M2(γ3b3-γ1b1)+M3(γ1a1-γ3a3)]+

(C44a3+C44γ3+R3b3)[M2(γ1b1-γ2b2)+M3(γ2a2-γ1a1)]-

(C44N2+C44λN1+R3N3)M1-

(C44a1+C44γ1+R3b1)[M2(γ3b3-γ2b2)+M3(γ2a2-γ3a3)],

κ22=M5(C44a2+C44γ2+R3b2)+M6(C44a3+C44γ3+R3b3)-M4(C44a1+C44γ1+R3b1)．

由式(11),式(28)可改寫為

(29)

其中

式(29)是一個(gè)帶Cauchy核的第一類奇異積分方程,其解為

(30)

代入式(26),有

綜上,可得熱力荷載作用下應(yīng)力場(chǎng)的全平面精確解:

(31a)

(31b)

(31c)

(31d)

(31e)

其中

對(duì)于z=0,x>c,有

(32a)

(32b)

(32c)

(32d)

(32e)

這里

qc2=λλzσ0[γ1(a3b2-a2b3)+γ2(a1b3-a3b1)+γ3(a2b1-a1b2)]+

λcκ1[(a2b3+γ2b3)-(a3b2+γ3b2)]．

4 熱應(yīng)力強(qiáng)度因子

定義裂紋尖端熱應(yīng)力強(qiáng)度因子為[23]

(33a)

(33b)

將式(32)代入式(33),可得

(34a)

(34b)

令裂紋尖端應(yīng)變能密度因子S為[24]

(35)

其中,r表示距離裂紋尖端的位移,dW/dV表示一維六方準(zhǔn)晶材料單位體積的應(yīng)變能,

當(dāng)λc=0時(shí),式(34)和(35)退化為

(36a)

(36b)

(37)

5 數(shù) 值 結(jié) 果

表1 一維六方壓電準(zhǔn)晶體彈性常數(shù)[15]

此外,取ε=0.02[20],λc=0.024 W/(m·K),q0=20 W/m2,σ0=80 MPa,c=0.1 mm．

圖2 隨λc/λz和σ0的變化趨勢(shì)Fig. 2 Variations of qc/q0, with λc/λz and σ0

圖3 和隨λc/λz的變化趨勢(shì)圖4 和隨σ0的變化趨勢(shì)Fig. 3 Variations of qc/q0, with λc/λzFig. 4 Variations of qc/q0, with σ0

圖5 隨q0變化Fig. 5 Variations of with q0

圖6 隨q0變化Fig. 6 Variations of with q0

圖7給出了σ0變化時(shí),S/Sm隨q0的變化趨勢(shì)．可以看出:隨著σ0的增大S/Sm逐漸減小,當(dāng)q0增大時(shí),S/Sm緩慢增加．由文獻(xiàn)[26]可知,S/Sm越大材料的性能越好,可承受較大的外力．因此σ0越小準(zhǔn)晶材料越不容易斷裂,而q0較大時(shí)準(zhǔn)晶材料不容易斷裂,這也驗(yàn)證了準(zhǔn)晶的耐高溫性．

圖7 q0不同時(shí),S/Sm隨σ0變化Fig. 7 Variations of S/Sm with σ0 for different q0 values

圖8和圖9給出了qz/q0的變化趨勢(shì)．從圖中可以看出:qz/q0在裂紋尖端變化較為劇烈,在第一象限內(nèi)隨著x的增加,qz/q0先增大后減小;隨著z的增大,qz/q0的變化趨勢(shì)逐漸平緩．

6 結(jié) 論

考慮裂紋內(nèi)部介質(zhì)具有熱傳導(dǎo)性,本文研究了一維六方準(zhǔn)晶非周期平面內(nèi)含中心開口裂紋的平面熱彈性問(wèn)題．利用Fourier積分變換技術(shù),求得全平面熱應(yīng)力、熱應(yīng)力強(qiáng)度因子及應(yīng)變能密度因子在裂紋尖端的封閉解．研究表明:

1) 隨著裂紋內(nèi)部介質(zhì)熱傳導(dǎo)率增大,熱流密度逐漸增大,熱應(yīng)力強(qiáng)度因子逐漸減?。?/p>

2) 聲子場(chǎng)-相位子場(chǎng)多場(chǎng)耦合效應(yīng)對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響較顯著,當(dāng)聲子場(chǎng)載荷較小或施加的熱流密度較大時(shí)裂紋不易擴(kuò)展．

3) 熱流密度增加時(shí)相位子場(chǎng)熱應(yīng)力強(qiáng)度因子增大．在裂紋區(qū)域,隨著z的增大,熱流密度逐漸增大; 在第一象限內(nèi)隨著x的增加,熱流密度先增大后減?。?/p>

致謝本文作者衷心感謝寧夏大學(xué)新華學(xué)院科學(xué)研究基金重點(diǎn)項(xiàng)目(23XHKY01)對(duì)本文的資助．