黃紅梅，趙凱，賈文斌，潘磊，方磊，周柏卓

(1. 南京航空航天大學(xué) 江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016；2. 中國航空發(fā)動(dòng)機(jī)集團(tuán) 沈陽發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，遼寧 沈陽 110015)

0 引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)的核心部件，如壓氣機(jī)盤和渦輪盤的可靠性直接影響飛行器的安全。由于壓氣機(jī)盤和渦輪盤承受復(fù)雜的載荷，即使在滿足靜強(qiáng)度要求的條件下，也會(huì)發(fā)生疲勞失效以至破裂。因此，研究輪盤的破裂轉(zhuǎn)速對預(yù)測壓氣機(jī)盤和渦輪盤的破裂轉(zhuǎn)速具有重要意義。

斷裂力學(xué)是研究結(jié)構(gòu)和材料失效的一門學(xué)科，但傳統(tǒng)斷裂力學(xué)不適用于大范圍屈服構(gòu)件或整體屈服構(gòu)件。近年來，基于彈塑性斷裂力學(xué)的內(nèi)聚力模型(cohesive zone model，CZM)因其模擬裂紋擴(kuò)展簡單且有效而廣泛應(yīng)用。內(nèi)聚力模型的概念由BARENBLATT G I[1-2]提出，并考慮了脆性材料的有限強(qiáng)度。DUGDALE D S[3]將內(nèi)聚力模型用于研究裂紋尖端的屈服及塑性區(qū)的尺寸。HILLERBORG A等[4]率先將內(nèi)聚力模型用于研究混凝土材料的斷裂過程。內(nèi)聚力模型常常用于模擬事先已知裂紋路徑的裂紋擴(kuò)展過程[2-3]。廣泛使用的內(nèi)聚力模型有雙線性內(nèi)聚力模型(bilinear cohesive zone model)[5]、梯形內(nèi)聚力模型(trapezoidal cohesive zone model)[6]、光滑梯形內(nèi)聚力模型(softening trapezoidal cohesive zone model)[7]、指數(shù)內(nèi)聚力模型(exponential cohesive zone model)[8]、多項(xiàng)式內(nèi)聚力模型(polynomial cohesive zone model)[9]等。內(nèi)聚力模型已成功用于研究各種材料的裂紋擴(kuò)展，如復(fù)合材料[10]、非均質(zhì)材料[11]、瀝青混凝土[12]及粘接界面[13]等。

BERT C W和PAUL T K[14]基于平面彈性理論研究輪盤破裂轉(zhuǎn)速時(shí)，未考慮裂紋擴(kuò)展的影響。本文以含徑向初始裂紋的輪盤為研究對象，引入內(nèi)聚力模型模擬輪盤的裂紋擴(kuò)展過程并預(yù)測破裂轉(zhuǎn)速，驗(yàn)證內(nèi)聚力模型的有效性。

1 旋轉(zhuǎn)輪盤破裂轉(zhuǎn)速理論解

BERT C W和PAUL T K將旋轉(zhuǎn)輪盤問題簡化為二維平面彈性問題，推導(dǎo)了含初始徑向裂紋旋轉(zhuǎn)輪盤上的應(yīng)力分布如下：

式中：σr、σθ、τrθ、σeff分別為徑向應(yīng)力、周向應(yīng)力、切向應(yīng)力和Mises應(yīng)力；ρ為密度；ω為轉(zhuǎn)速；r、θ分別為極坐標(biāo)下的極徑與極角；A、B、D為常數(shù)項(xiàng)，由下列邊界條件求得：

3) 當(dāng)r=r2時(shí)，τrθ=0。

由公式(1)、邊界條件2)可求出等效載荷P。應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式如下：

(2)

(3)

KQ可由材料的斷裂韌度KIC代替，其余參數(shù)如圖1所示。根據(jù)等效載荷P估算力矩M：

M=P(r1+r2)/2

(4)

圖1 計(jì)算模型

隨著輪盤轉(zhuǎn)速增加，輪盤上的Mises應(yīng)力增加，當(dāng)Mises應(yīng)力最大值達(dá)到屈服極限σut時(shí)，對應(yīng)轉(zhuǎn)速即為破裂轉(zhuǎn)速。圖2所示為輪盤內(nèi)徑處的應(yīng)力分布曲線。隨著θ值的增加，Mises應(yīng)力先增加后減小，當(dāng)θ=90°時(shí)，Mises應(yīng)力達(dá)到最大值。

圖2 內(nèi)徑處應(yīng)力曲線

2 內(nèi)聚力模型

對于彈塑性材料，使用梯形內(nèi)聚力模型可有效描述其本構(gòu)關(guān)系，但梯形內(nèi)聚力模型計(jì)算收斂困難，故本文采用簡單有效的雙線性內(nèi)聚力模型。

內(nèi)聚力是描述物質(zhì)原子或分子之間的相互作用力。內(nèi)聚力模型實(shí)質(zhì)是將材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線用牽引力-張開位移曲線來替代，如圖3所示，具體關(guān)系見式(5)。

圖3 張開型雙線性內(nèi)聚力模型

(5)

(6)

雙線性內(nèi)聚力模型描述裂紋萌生至擴(kuò)展可以分成3個(gè)階段(圖3)：

內(nèi)聚力模型的張力位移關(guān)系及其特征參數(shù)可通過理論、實(shí)驗(yàn)和計(jì)算獲得。例如，SQRENSEN B F與JACOBSEN T K[16]采用J積分法得到了雙層懸臂梁試件的張力位移關(guān)系。一般而言，雙線性內(nèi)聚力模型參數(shù)可初步確定如下：1)內(nèi)聚力剛度應(yīng)大于材料彈性模量；2)內(nèi)聚力強(qiáng)度取材料的屈服極限；3)內(nèi)聚能等于J積分或根據(jù)斷裂韌度確定。

3 內(nèi)聚力模型驗(yàn)證

針對SAKATA M等人[17]研究的4340高強(qiáng)度鋼輪盤，根據(jù)基于內(nèi)聚力模型的輪盤破裂轉(zhuǎn)速預(yù)測方法，利用有限元軟件ABAQUS預(yù)測破裂轉(zhuǎn)速。

輪盤幾何尺寸：內(nèi)徑為30mm，外徑為150mm，初始徑向裂紋尺寸為a，外徑與內(nèi)徑之差為W，且a/W=0.2，輪盤幾何模型示意圖如圖4所示。

圖4 旋轉(zhuǎn)輪盤幾何模型

(7)

表1 4340內(nèi)聚力模型特征參數(shù)

有限元模型：旋轉(zhuǎn)輪盤的單元類型為四節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變減縮積分單元(CPE4R)，采用自由網(wǎng)格劃分技術(shù)。此外，在初始徑向裂紋沿徑向布置一層二維四節(jié)點(diǎn)內(nèi)聚力單元(COH2D4)，其中初始裂紋擴(kuò)展路徑上采用四邊形掃掠網(wǎng)格，指定掃掠方向沿內(nèi)聚力單元厚度方向。有限元網(wǎng)格局部加密區(qū)域的網(wǎng)格尺寸，由下列公式確定：

內(nèi)聚力區(qū)長度lcz[19]：

(8)

(9)

式中l(wèi)e為內(nèi)聚力單元長度。

J積分隨單元尺寸變化的關(guān)系曲線如圖5所示，當(dāng)單元尺寸<0.02mm時(shí)，J積分趨于常數(shù)。因此，單元尺寸選為0.02mm。

圖5 J積分與內(nèi)聚力單元長度關(guān)系曲線

有限元網(wǎng)格示意圖如圖6所示，劃分了62311個(gè)四節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變減縮積分單元、4800個(gè)二維四節(jié)點(diǎn)內(nèi)聚力單元。

圖6 旋轉(zhuǎn)輪盤有限元模型(4340鋼)

施加載荷約束：為保證裂紋完全擴(kuò)展，首先施加一個(gè)較高轉(zhuǎn)速，旋轉(zhuǎn)輪盤的角速度為38197r/min。

預(yù)測破裂轉(zhuǎn)速：若裂紋擴(kuò)展至輪盤外邊界(圖7)，則輪盤破裂，此時(shí)對應(yīng)的轉(zhuǎn)速即為破裂轉(zhuǎn)速。與文獻(xiàn)[17]中實(shí)驗(yàn)獲得的破裂轉(zhuǎn)速相比，理論解的相對誤差為0.65%，內(nèi)聚力解的相對誤差為2.51%，如表2所示。

圖7 旋轉(zhuǎn)輪盤Mises應(yīng)力云圖

表2 輪盤破裂轉(zhuǎn)速對比

4 內(nèi)聚力模型應(yīng)用

4.1 有限元計(jì)算

本節(jié)討論基于內(nèi)聚力模型的GH4169輪盤的破裂轉(zhuǎn)速預(yù)測。破裂轉(zhuǎn)速計(jì)算步驟如下：

1) 輪盤幾何模型：內(nèi)徑為25mm，外徑為100mm，初始徑向裂紋尺寸為0.5mm～2.5mm。

2) 定義材料參數(shù)：旋轉(zhuǎn)輪盤材料為GH4169，具體材料參數(shù)如下[20]：密度為8240kg/m3；彈性模量為162.0GPa；泊松比為0.330；屈服極限為976MPa；強(qiáng)度極限為1210MPa；J積分為45kJ/m2。根據(jù)旋轉(zhuǎn)輪盤材料參數(shù)，內(nèi)聚力模型特征參數(shù)如表3所示。

表3 GH4169內(nèi)聚力模型特征參數(shù)

3) 旋轉(zhuǎn)輪盤劃分了49049個(gè)四節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變減縮積分單元(CPE4R)、3725個(gè)二維四節(jié)點(diǎn)內(nèi)聚力單元(COH2D4)如圖8所示。

4) 施加載荷約束：旋轉(zhuǎn)輪盤的角速度為ω=57296r/min，內(nèi)邊界上無約束。

圖8 旋轉(zhuǎn)輪盤有限元模型(GH4169)

4.2 有限元結(jié)果及分析

由圖9可知，旋轉(zhuǎn)輪盤的破裂轉(zhuǎn)速隨初始徑向裂紋尺寸增加而減小，且內(nèi)聚力解相對于理論解誤差在4%以內(nèi)。理論解均高于內(nèi)聚力解，這是因?yàn)閮?nèi)聚力解模擬了裂紋擴(kuò)展。

圖9 破裂轉(zhuǎn)速與初始徑向裂紋尺寸關(guān)系曲線

4.3 內(nèi)聚力模型的參數(shù)影響

內(nèi)聚力剛度與內(nèi)聚力強(qiáng)度控制內(nèi)聚力單元的線彈性階段與損傷起始點(diǎn)，內(nèi)聚能確定內(nèi)聚力單元的失效。內(nèi)聚力模型的3個(gè)特征參數(shù)數(shù)量級相差較大，故考慮破裂轉(zhuǎn)速與3個(gè)參數(shù)變化百分比關(guān)系，如圖10所示，破裂轉(zhuǎn)速隨內(nèi)聚力剛度、內(nèi)聚力強(qiáng)度和內(nèi)聚能增加而增加。內(nèi)聚力強(qiáng)度的變化對破裂轉(zhuǎn)速影響最大。

圖10 破裂轉(zhuǎn)速與內(nèi)聚力剛度、內(nèi)聚力強(qiáng)度、內(nèi)聚能百分比關(guān)系曲線

5 結(jié)語

1) 基于雙線性內(nèi)聚力模型研究含初始徑向裂紋的輪盤破裂轉(zhuǎn)速。該模型用于模擬含初始裂紋的輪盤裂紋擴(kuò)展過程，并預(yù)測輪盤的破裂轉(zhuǎn)速。內(nèi)聚力模型通過高強(qiáng)度鋼4340輪盤驗(yàn)證，其預(yù)測的破裂轉(zhuǎn)速與實(shí)驗(yàn)值相比誤差為2.51%。

2) 將內(nèi)聚力模型應(yīng)用于GH4169高溫合金輪盤。結(jié)果表明：隨著初始徑向裂紋尺寸的增加，破裂轉(zhuǎn)速下降；預(yù)測的破裂轉(zhuǎn)速與理論解相比誤差均<4%。

3) 內(nèi)聚力模型中的內(nèi)聚力強(qiáng)度參數(shù)對破裂轉(zhuǎn)速影響最大。因此，合理選擇內(nèi)聚力模型中的強(qiáng)度特征參數(shù)可以提高模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性。