? 湖北江漢大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)系 周 嶺 許 璐

基金項目:江漢大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金項目“基于新課標(biāo)新課改背景下提升中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的探究”,項目編號為KYCXJJ202350;教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)調(diào)育人2022年第一批立項項目“基于Python的大數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用課程混合教學(xué)模式探索”,項目編號為220506627242057.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”.所謂“數(shù)形結(jié)合”就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”,即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合,將復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,達到實現(xiàn)優(yōu)化解題路徑的目的,起到事半功倍的效果.下面將結(jié)合高考數(shù)學(xué)試題實例,分析說明“數(shù)形結(jié)合”思想在解決問題中的作用和簡捷.

1 數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

例1(2023年全國新高考Ⅰ卷)過點(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα=( ).

分析：此題可以先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,設(shè)出切線方程,利用點到直線的距離公式求出兩條切線的斜率,最后利用夾角公式求得sinα的值,但是計算相對復(fù)雜.

解析：依題意,圓的方程可化為(x-2)2+y2=5.

圖1

設(shè)過點P的兩條切線為PA和PB,則∠APB=α,可得

分析：此題常見解法是設(shè)出點A,B的坐標(biāo),利用已知條件列出三個方程,再解出方程求得點A,B的坐標(biāo),進而得出雙曲線C的離心率.這樣計算量會很大,如果利用數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合雙曲線的定義求其離心率將會大大簡化計算.

由雙曲線的定義,得|AF1|=|AF2|+2a=2x+2a.

如圖2,在△F1AF2中,由余弦定理,可得

圖2

整理,得5c2=9a2.

點評：這類題目考查了學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”的核心素養(yǎng).解決此類題的關(guān)鍵在于將數(shù)學(xué)符號語言和圖形語言相互轉(zhuǎn)化,利用圖形的直觀性,結(jié)合相關(guān)定義、公式即可快速解題.

2 數(shù)形結(jié)合思想在立體幾何中的應(yīng)用

例3(2022年新高考I卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則( ).

A.直線BC1與DA1所成的角為90°

B.直線BC1與CA1所成的角為90°

C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°

D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

分析：此題可以通過建立空間直角坐標(biāo)系來判斷各選項是否正確,但計算較繁瑣.

解析：選項A,B的判斷略.

圖3

因為C1C⊥平面ABCD,所以∠C1BC為直線BC1與平面ABCD的夾角,易得∠C1BC=45°,故選項D正確.

綜上所述,此題選:ABD.

點評：本題主要考查立體幾何中直線與直線的夾角、直線與平面的夾角,是對學(xué)生“邏輯推理”“直觀想象”核心素養(yǎng)的考查.此題如果通過建系來計算,將比較復(fù)雜,耗時較長;若采取“傳統(tǒng)”方法,結(jié)合圖形并運用立體幾何、三角函數(shù)相關(guān)知識,即可快速、直觀作出判斷.

3 數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

例4(2021年全國乙卷)設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點,則有( ).

A.abC.aba2

分析：此題如果利用導(dǎo)數(shù)知識來求該函數(shù)的極大值點,再通過a與b的大小來判斷選項將非常復(fù)雜.如果通過數(shù)形結(jié)合先考慮函數(shù)的零點情況,注意零點附近左右兩側(cè)函數(shù)值是否變號,結(jié)合極大值點的性質(zhì),對a進行分類畫出該函數(shù)的圖象再來判斷選項將大大簡化了問題,既直觀又方便快捷[1].

解析：若a=b,則f(x)=a(x-a)3為單調(diào)函數(shù),無極值點,不符合題意,故a≠b.

所以f(x)有x=a和x=b兩個不同零點,且在x=a附近左右兩側(cè)不變號,在x=b附近左右兩側(cè)變號.

因為x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點,所以f(x)在x=a附近左右都小于0.

①當(dāng)a<0時,由x>b,f(x)≤0,畫出f(x)的圖象如圖4所示.由ba2.

圖4

②當(dāng)a>0時,由x>b,f(x)>0,畫出f(x)的圖象如圖5所示.由b>a>0,得ab>a2.

圖5

綜上ab>a2成立.故選:D.

例5(2021年新高考I卷)已知O為坐標(biāo)原點,點A(1,0),P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),則( ).

分析：此題如果畫出圖形,利用數(shù)形結(jié)合思想解題,既直觀又簡捷.

圖6

例6(2021年新高考I卷)若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( ).

A.eb

C.0

分析：此題要求作出曲線y=ex的兩條切線,通過幾何圖形進行直觀想象,很容易判斷各選項是否正確.

解析：作出y=ex的圖象.

易得,若想作出切線,點(a,b)需在曲線y=ex的下方和x軸上方,如圖7,即b

圖7

但點(a,b)在x軸及其下方時,僅能作出一條切線,如圖8.所以點(a,b)需在y軸上方,即b>0.

圖8

綜上,可得0

綜上所述,在高考數(shù)學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合思想解題往往可以起到簡化計算、提高解題效率的作用.因此,平時教學(xué)中教師應(yīng)通過數(shù)形結(jié)合思想豐富的展現(xiàn)形式不斷對其進行滲透,促進學(xué)生數(shù)與形相互轉(zhuǎn)換的能力,刺激學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望,引導(dǎo)學(xué)生投入到數(shù)形結(jié)合分析的專題探究中[2],從而達到數(shù)學(xué)抽象思維具象化、發(fā)散化的教學(xué)目的,最終達到提升學(xué)生核心素養(yǎng)和全面發(fā)展的教育目的.