摘" 要：學(xué)生對新定義問題有畏難情緒，是因為學(xué)生不理解新定義問題，現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力不足. 基于學(xué)情，立足教材、數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生的現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力，對新定義問題進行恰當(dāng)設(shè)計，旨在問題設(shè)計中理解新定義的內(nèi)涵，剖析其中蘊含的思維方法，提煉分析問題和解決問題的一般思路. 此外，還提出了關(guān)于新定義問題教學(xué)的幾點想法：通過恰當(dāng)?shù)膯栴}設(shè)計，幫助學(xué)生克服對數(shù)學(xué)符號的恐懼，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力；引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光看待問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺、猜測、檢驗及歸納反思能力；依托集合、函數(shù)和數(shù)列大單元，設(shè)計新定義微專題，組建創(chuàng)新思維研討班.

關(guān)鍵詞：問題設(shè)計；思想方法；數(shù)學(xué)閱讀；現(xiàn)場學(xué)習(xí)

中圖分類號：G633.6" " "文獻標(biāo)識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）11-0038-05

一、新定義問題的特點與研究價值

新定義問題的基本特點是新、活和抽象.“新”主要體現(xiàn)為情境新穎，立意新穎；“活”主要體現(xiàn)為數(shù)學(xué)思維靈活，規(guī)避題型，沒有固定的模式和套路；“抽象”主要體現(xiàn)為用抽象的數(shù)學(xué)符號語言定義一個新概念，且設(shè)問方式比較抽象. 高考中的新定義問題背景深刻、思維靈活、知識面廣，突出考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，引導(dǎo)教師在日常教學(xué)中重點關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，特別是注重學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).

二、新定義問題的常見解決方法和問題設(shè)計

解決新定義問題的常見方法有枚舉法、從特殊到一般、反證法、配對思想、“算兩次”原理、數(shù)學(xué)歸納法、分類討論與整合、構(gòu)造不變量或者半不變量等. 在日常教學(xué)中，教師可以選擇容易解決的新定義問題或?qū)C合性較強的模擬題和高考試題進行適當(dāng)簡化，讓學(xué)生了解上述方法，進而在解決新定義問題的過程中逐步提升分析問題和解決問題的能力.

下面，筆者以配對思想、分類討論、枚舉法和“算兩次”原理為例，介紹關(guān)于新定義問題設(shè)計的一些思考.

1. 立足教材的問題設(shè)計

在教學(xué)過程中，教師要充分利用教材. 很多新定義問題中蘊含的思想方法都來源于教材. 其中，配對思想和枚舉法是求解新定義問題的常見方法. 配對思想在教材中的原型是倒序相加法.

在推導(dǎo)等差數(shù)列的前[n]項和公式[Sn=na1+an2]時，將等差數(shù)列[an]按照如下兩個原則分組：“較小的數(shù)”配“較大的數(shù)”；“較小的數(shù)”與“較大的數(shù)”的和為定值. 得到[n]組，即[a1，an， a2，an-1，…， an，a1，]且每組的和都相等. 這就是配對思想.

下面以配對思想的應(yīng)用為例，對新定義問題進行拓展設(shè)計.

例1" 正整數(shù)集合[A=a1，a2，a3，a4]，且[a1lt;][a2lt;a3lt;a4]，集合[B]中所有元素的和為[TB]，集合[C=TB B?A.] 已知集合[B]中有且只有兩個元素，求證：當(dāng)集合[C]中有[5]個元素時，[a1+a4=][a2+a3].

解析：因為[B?A]，且集合[B]中有且只有兩個元素，

所以集合[B]只可能是[a1，a2]， [a1，a3]， [a1，a4]，

[a2，a3]， [a2，a4]， [a3，a4].

因為[a1+a2lt;a1+a3lt;a1+a4lt;a2+a4lt;a3+a4]①，

所以集合[C]中至少有以下[5]個元素：[a1+a2]，[a1+a3]， [a1+a4]， [a2+a4]， [a3+a4].

因為[a1+a2lt;a1+a3lt;a2+a3lt;a2+a4lt;a3+a4]②，

所以集合[C]中至少有以下[5]個元素：[a1+a2]， [a1+a3]， [a2+a3]， [a2+a4]， [a3+a4].

因為集合[C]中有[5]個元素，

觀察①和②，發(fā)現(xiàn)有下面的對應(yīng)關(guān)系：

所以[a1+a4=a2+a3].

【評析】例1的背景是集合，本質(zhì)上可以將其看作一個單調(diào)的數(shù)列問題. 當(dāng)集合[B]中有且只有兩個元素時，因為集合[C]中的元素是由集合[A]中的兩個元素之和構(gòu)成的，所以集合[C]中的元素只能是[a1，a2，a3，a4]這[4]個元素的兩兩組合之和，即[a1+a2]， [a1+a3]， [a1+a4]， [a2+a3]， [a2+a4]和[a3+a4]中的5個元素. 因為這6個元素中除了[a1+a4]與[a2+a3]之間的大小關(guān)系無法確定外，其余元素的大小關(guān)系均可以確定. 基于這種關(guān)系，觀察①和②這兩組數(shù)對應(yīng)的不等式，通過構(gòu)造“一一對應(yīng)”建立這兩組數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，既體現(xiàn)了配對思想的應(yīng)用，又體現(xiàn)了順序分析和構(gòu)造性證明的應(yīng)用.

例2" 已知數(shù)列[A：a1，a2，…，an]. 從數(shù)列[A]中選取第[i1]項，第[i2]項，[…]，第[ik]項[i1lt;i2lt;…lt;ik]構(gòu)成數(shù)列[B：ai1，ai2，…，aik]. 數(shù)列[B]稱為數(shù)列[A]的[k]項子列. 記數(shù)列[B]的所有項的和為[TB]. 當(dāng)[k≥2]時，若數(shù)列[B]滿足：對任意[s∈1，2，…，k-1]，[is+1-][is=1]，則稱數(shù)列[B]具有性質(zhì)[P]. 規(guī)定：數(shù)列[A]的任意一項都是數(shù)列[A]的[1]項子列，且具有性質(zhì)[P].

（1）當(dāng)[n=4]時，寫出數(shù)列[A]中具有性質(zhì)[P]的所有子列；

（2）已知數(shù)列[A：1，2，3，4，5，6]. 對數(shù)列[A]的[k]項具有性質(zhì)[P]的子列[B][k≤3]，求所有[TB]的算術(shù)平均值；

（3）已知數(shù)列[A：1，2，3，…，n][n≥2]. 給定正整數(shù)[k≤n2]，對數(shù)列[A]的[k]項子列[B]，求所有[TB]的算術(shù)平均值.

解析：針對第（1）小題，數(shù)列[B]具有性質(zhì)[P]的關(guān)鍵特征是數(shù)列[B]中元素的下標(biāo)是連續(xù)的. 因為數(shù)列[B]的元素個數(shù)可以分為[1]項、[2]項、[3]項和[4]項，所以數(shù)列[A]中具有性質(zhì)[P]的所有子列為：[a1]；[a2]；[a3]；[a4]；[a1，a2]；[a2，a3]；[a3，a4]；[a1，a2，a3]；[a2，a3，][a4]；[a1，a2，a3，a4].

對于第（2）小題，可以按照第（1）小題的思路，通過枚舉法列出所有具有性質(zhì)[P]的子列[B]，即1項子列B為[1;2;3;4;5;6]. 此時[TB]的值為[1，2，3，4，]

[5，6]. 2項子列B為[1，2;2，3;3，4;4，5;5，6]. 此時[TB]的值為[3，5，7，9，11]. 3項子列[B]為1，2，3；[2，3，4;3，4，5;4，5，6]. 此時[TB]的值為6，9，12，15.所以所有[TB]的算術(shù)平均值為[1+2+3+4+5+6+3+5+7+9+11+6+9+12+1515=9815].

對于第（3）小題，通過觀察第（2）小題，發(fā)現(xiàn)可以按照子列[B]的項數(shù)進行分類，且1項子列[B]、2項子列[B]、3項子列[B]對應(yīng)的[TB]均為等差數(shù)列. 此時，可以借助配對思想重新認識這種分類的好處. 例如，對于2項子列[B]，如果把子列[1，2]與子列[5，6]配對，子列[2，3]與子列[4，5]配對，就可以發(fā)現(xiàn)每對子列的[TB]之和恰好符合配對思想的兩個原則：“較小的數(shù)”配“較大的數(shù)”；“較小的數(shù)”與“較大的數(shù)”的和為定值. 所以第（2）小題可以得到更一般的結(jié)論：對于2項子列[B：a1，a2]，可以得到數(shù)列[7-a2，7-a1]也是數(shù)列[A]的2項子列，且數(shù)列[a1，a2]與數(shù)列[7-a2，][7-a1]的[TB]之和為定值；對于3項子列[B：a1，a2，][a3]，可以得到數(shù)列[7-a3，7-a2，7-a1]也是數(shù)列[A]的3項子列，且數(shù)列[a1，a2，a3]與數(shù)列[7-a3，7-a2，7-a1]的[TB]之和為定值；等等. 根據(jù)上述思考過程，容易得到第（3）小題的解答，具體如下.

若數(shù)列[B：ai 1，ai 2，…，ai k]是數(shù)列[A]的[k k≤n2]項子列，

則數(shù)列[B：n+1-ai k，n+1-ai k-1，…，n+1-ai 1]也是數(shù)列[A]的[k k≤n2]項子列.

所以[TB+TB=j=1kaij+j=1kn+1-aij=kn+1].

因為給定正整數(shù)[k k≤n2]，

所以數(shù)列[A]有[Ckn]個[k]項子列.

所以所有[TB]的算術(shù)平均值為[1Ckn×12Ckn×kn+1=][kn+12].

【評析】上述問題是數(shù)列子列的求和問題，其解決方法主要為枚舉法和配對思想.

2. 立足思想方法的問題設(shè)計

新定義問題中蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生在分析問題、解決問題和歸納反思時，要認真體會這些思想方法. 例如，在研究數(shù)列的遞推關(guān)系時，經(jīng)常使用特殊與一般思想和函數(shù)思想；在研究等比數(shù)列的單調(diào)性時，經(jīng)常使用分類討論思想；在研究數(shù)列的單調(diào)性時，經(jīng)常使用函數(shù)思想.

下面以分類討論思想方法為例，對新定義問題進行設(shè)計.

例3" 數(shù)列[An：a1，a2，…，an n≥2]滿足[ai∈][-1，1]，[i=1，2，…，n]. 稱[Tn=a1 ? 2n-1+a2 ? 2n-2+][a3 ? 2n-3+…+an-1 ? 21+an ? 20]為數(shù)列[An]的指數(shù)和. 求證：當(dāng)[Tnlt;0]時，[a1=-1].

解析：因為[ai∈-1，1]，[i=1，2，…，n]，

所以[a1=1]或[a1=-1].

當(dāng)[a1=-1]時，

[Tn=-2n-1+a2 ? 2n-2+a3 ? 2n-3+…+an-1 ? 21+an ? 20]

[≤-2n-1+2n-2+2n-3+…+21+20]

[≤-2n-1+2n-1-1]

[=-1].

所以[Tnlt;0].

所以[a1=-1]符合題意.

當(dāng)[a1=1]時，

[Tn=2n-1+a2 ? 2n-2+a3 ? 2n-3+…+an-1 ? 21+an ? 20]

[≥2n-1-2n-2+2n-3+…+21+20]

[≥2n-1-2n-1+1]

[=1].

所以[Tngt;0].

所以[a1=1]不符合題意.

綜上所述，[a1=-1].

【評析】在解決例3時，分別對[a1=1]和[a1=-1]進行了討論，運用了分類討論的思想方法.

例4" 對于一個有窮正整數(shù)數(shù)列[Q]，設(shè)其各項為[a1，][a2，…，an]，各項和為[SQ]，集合[i，jaigt;aj， 1≤ilt;j≤n]中元素的個數(shù)為[TQ.] 對所有滿足[TQ=6]的數(shù)列[Q]，求[SQ]的最小值.

解析：由題意，知集合[i，jaigt;aj， 1≤ilt;j≤n]的元素是數(shù)列[a1，a2，…，an]中滿足[aigt;aj]，[1≤ilt;][j≤n]的所有[i，j]，

所以[TQ]的最大值為[C2n].

由[TQ=6]，得[C2n≥6]，解得[n≥4].

當(dāng)[n=4]時，滿足[TQ=6]的數(shù)列[Q]中各項均不相同，且每項都大于或等于1，

所以[SQ≥4+3+2+1=10]；

當(dāng)[n=5]時，數(shù)列[Q]中各項必有不同的數(shù)，

由每項都大于或等于1，得[SQ≥6].

若[SQ=6]，滿足上述要求的數(shù)列中有四項為[1]，一項為[2]，此時[TQ≤4]，不符合題意.

所以[SQ≥7].

當(dāng)數(shù)列[Q]為[2，2，1，1，1]時，[SQ=7].

當(dāng)[n≥6]時，同上可得[SQ≥7.]

綜上所述，[SQ]的最小值為[7].

【評析】在解決例4時，采用了枚舉法和分類討論的思想方法. 枚舉法的基本思想是：逐一列舉問題涉及的所有情形，根據(jù)問題提出的條件檢驗?zāi)男┦菃栴}的解，哪些應(yīng)該排除. 通過枚舉法可以發(fā)現(xiàn)具體實例中的一般規(guī)律，進而形成猜想. 枚舉法體現(xiàn)了特殊與一般的思想，根據(jù)[C2n≥6]得到[n≥4]，然后對[n]進行分類討論，對于每種情況采用枚舉的方法構(gòu)造符合題意的數(shù)列[Q]，并計算相應(yīng)的[SQ]，從而確定[SQ]的最小值.

此外，例2的第（3）小題也可以利用分類討論的思想方法進行求解，具體如下.

容易知道數(shù)列[A]中[k]項子列有[Ckn]個. 其中，含數(shù)字[1]的[k]項子列為[Ck-1n-1]個，含數(shù)字[2，3，…，n]的[k]項子列也都是[Ck-1n-1]個.

所以數(shù)列[A]的所有[k]項子列[B]的[TB]之和為[1+2+…+nCk-1n-1=nn+12Ck-1n-1].

所以所有[TB]的算術(shù)平均值為[nn+12×Ck-1n-1×][1Ckn=kn+12].

3. 立足現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力的問題設(shè)計

在研究一些新定義問題時，學(xué)生可能會覺得太抽象，根本不理解題意或者直接放棄求解. 此時，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生閱讀新定義. 必要時，教師還可以給出問題的解答過程讓學(xué)生閱讀，不懂的地方做好批注.

以“算兩次”原理為例設(shè)計以下問題，以便逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力.

例5" 一組學(xué)生站成一排. 若任意相鄰的[3]人中至少有[2]名男生，且任意相鄰的[5]人中至多有[3]名男生，則這組學(xué)生人數(shù)的最大值是（" " ）.

（A）[5]" "（B）[6]" "（C）[7]" "（D）[8]

解析：該題可以采用從特殊到一般的思想進行求解. 通過畫示意圖，判斷5名學(xué)生是否符合要求. 以此類推，可以獲得答案.

解決該問題的另一種思路是先設(shè)出這組學(xué)生人數(shù)的最大值[K]，確定[K]的上界[n]，再舉例說明學(xué)生人數(shù)為[n]時，符合題意.

不妨用[c1，c2，…，cn]表示一排學(xué)生，按如圖1所示的方式進行重新排列.

所以這組學(xué)生人數(shù)小于[7]人.

下面說明[6]人符合題意. 例如，“男，女，男，男，女，男”這[6]名學(xué)生的排列方式恰好符合題意，所以該題答案選B.

【評析】例5是對“算兩次”原理的具體應(yīng)用. 為了得到一個方程，我們把同一個量以兩種不同的方式表示出來，即將一個量“算兩次”，從而建立相等關(guān)系，這就是“算兩次”原理. 在教學(xué)中，教師可以給予學(xué)生充足的時間閱讀題目，根據(jù)題意畫圖，培養(yǎng)學(xué)生的現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力.

例6" 在[n×n n≥2]個實數(shù)組成的[n]行[n]列的數(shù)表中，[aij]表示第[i]行第[j]列的數(shù)，記[ri=ai1+ai2+…+][ain 1 ≤ i ≤ n，cj=a1j+a2j+…+anj 1≤ j ≤ n]. 若[aij∈]

[-1，0，1，1≤i，j≤n]，且[r1，r2，…，rn，c1，c2，…，]

[cn]兩兩不等，則稱此表為“[n]階[H]表”，記[Hn=]

[r1，r2，…，rn，c1，c2，…，cn]. 對于任意一個“[n]階[H]表”，若整數(shù)[λ∈-n，n]，且[λ?Hn]. 求證：[λ]為偶數(shù).

解析：對任意一個“[n]階[H]表”，[ri]表示第[i]行所有數(shù)的和，[ci]表示第[j]列所有數(shù)的和，其中[1≤i，j≤n].

因為[i=1nri]與[j=1ncj]均表示數(shù)表中所有數(shù)的和，

所以[i=1nri=j=1ncj].

由[aij∈-1，0，1]，得[r1，r2，…，rn，c1，c2，…，cn]只能取[-n，n]內(nèi)的整數(shù).

因為[r1，r2，…，rn，c1，c2，…，cn]互不相等，

所以[r1，r2，…，rn，c1，c2，…，cn，λ=-n，-n+1，][-n+2，…，-1，0，1，…，n-1，n].

因為[λ∈-n，n]，且[λ?Hn]，

所以[λ+i=1nri+j=1ncj=-n+-n+1+…+-1+0+][1+]…[+ n-1+n=0].

所以[λ=-2i=1nri]為偶數(shù).

【評析】該題是一個數(shù)表問題，“算兩次”原理是研究數(shù)表問題的重要方法，即因為[i=1nri]與[j=1ncj]均表示數(shù)表中所有數(shù)的和，所以[i=1nri=j=1ncj]. 在教學(xué)中，教師可以借助具體數(shù)表幫助學(xué)生理解題目中的符號，借助從特殊到一般思想分析問題. 例如，可以先研究[n=2，n=3]的情況，通過對特殊情況的分析得到一些規(guī)律，然后把這些規(guī)律推廣到一般情況.

上面設(shè)計的6道例題，較好地體現(xiàn)了枚舉法、配對思想、分類討論和“算兩次”原理在解決新定義問題中的作用，教師可以結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容有選擇地使用上述方法. 在教學(xué)中，教師選取適當(dāng)?shù)臅r機，設(shè)計恰當(dāng)?shù)膯栴}，可以幫助學(xué)生提前接觸新定義問題，進而讓學(xué)生體會分析和解決新定義問題的方法與一般思路.

三、對新定義問題的教學(xué)建議

1. 通過恰當(dāng)?shù)膯栴}設(shè)計，幫助學(xué)生克服對數(shù)學(xué)符號的恐懼，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力

一般地，新定義問題本身比較抽象，符號較多，學(xué)生難以理解. 在教學(xué)中，教師可以對新定義問題進行適當(dāng)改編. 例如，新定義問題的第（1）小題可以設(shè)計一些能夠舉出具體實例的問題，把新定義中的每個符號具體化，然后要求學(xué)生寫出具體的分析過程；第（2）小題可以適當(dāng)分解，設(shè)計兩個或多個遞進的小問題，減少學(xué)生的思維障礙. 必要時，教師還可以提供第（2）小題的解題方法并讓學(xué)生閱讀解答過程，這樣既可以幫助學(xué)生克服對數(shù)學(xué)符號的恐懼，又可以幫助學(xué)生逐步理解新定義的含義.

對于一些特別抽象或符號特別多的新定義問題，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生一起閱讀新定義，結(jié)合具體例子理解每個符號及新定義的含義，循序漸進地培養(yǎng)學(xué)生的現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力. 在具體實例中理解新定義，在問題設(shè)計中思索方法，在問題解決中培養(yǎng)創(chuàng)新思維，通過“獨立思考 + 閱讀訓(xùn)練”的方式幫助學(xué)生克服對數(shù)學(xué)符號的恐懼，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力.

2. 引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光看待問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺、猜測、檢驗及歸納反思能力

新定義問題很少涉及復(fù)雜的計算和較難的數(shù)學(xué)技巧，更多的是基于新定義進行邏輯推理，突出考查學(xué)生的“動手嘗試、探索實踐”能力和對“先猜再證”基本研究方法的運用. 對于新定義問題，“數(shù)學(xué)直覺”和“猜測 + 檢驗”往往是打開解題局面的法寶.

在高考試題中，新定義問題往往采用不斷深入的設(shè)問方式考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 新定義問題的第（1）小題雖然一般比較簡單，但是教師要引導(dǎo)學(xué)生重視第（1）小題，挖掘第（1）小題蘊含的深刻內(nèi)容. 例如，能否結(jié)合具體例子，重新用一種比較簡單的或者比較形象的描述方式理解新定義，這往往有助于后續(xù)問題的解決. 第（2）小題是第（1）小題的延伸，當(dāng)很多學(xué)生對第（2）小題無從下手時，教師可以舉個具體例子幫助學(xué)生理解. 能否用第（1）小題得到的新定義的簡化形式理解第（2）小題？能否嘗試借助簡單例子大膽猜想，再用邏輯推理論證猜想？這些思考的目的是鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和猜想能力. 教師應(yīng)該不斷引導(dǎo)學(xué)生回歸新定義本身，挖掘新定義的本質(zhì)，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、大膽猜想，多歸納、多反思.

3. 依托集合、函數(shù)和數(shù)列大單元，設(shè)計新定義微專題，組建創(chuàng)新思維研討班

新定義問題的設(shè)計可以按照以下方向進行. 結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，注意題目難度的層次性，要循序漸進，注意對數(shù)學(xué)思想方法和思維方法的揭示. 在教學(xué)中，教師可以以微專題或者單元教學(xué)的形式進行教學(xué)設(shè)計. 例如，學(xué)完集合知識后，可以設(shè)計以集合為背景的新定義微專題；學(xué)完函數(shù)知識后，可以設(shè)計以函數(shù)為背景的新定義微專題；學(xué)完數(shù)列知識后，可以設(shè)計以數(shù)表和數(shù)列為背景的新定義微專題. 另外，在教學(xué)中，教師也可以以組建創(chuàng)新思維研討班的形式讓學(xué)有余力的學(xué)生開展對新定義問題的研討. 研討班中可以由教師布置問題，也可以由學(xué)生自主選擇問題，每周定期交流，由學(xué)生主講，其余學(xué)生補充，教師點評，課后由主講學(xué)生對討論的內(nèi)容進行整理，建立新定義問題資源庫，以便開展更進一步的系統(tǒng)研究.

參考文獻：

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引用格式：劉攀坤，劉佳. 指向數(shù)學(xué)思維能力和現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力的問題設(shè)計：從“新定義問題”談起［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（11）：38-42.

作者簡介：劉攀坤（1987— ），男，中學(xué)一級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

劉佳（1986— ），女，中學(xué)一級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.