摘" 要：概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支，其研究工具是代數(shù)、函數(shù)等重要知識(shí). 研究概率的一般觀念就是要運(yùn)用類(lèi)比、歸納、特殊化和一般化等邏輯推理方法進(jìn)行思考，且類(lèi)比的方法在概率的研究中體現(xiàn)得尤為突出. 概率的研究對(duì)象是隨機(jī)事件，而隨機(jī)事件又是樣本空間的子集，因此可以類(lèi)比集合的研究方法對(duì)隨機(jī)事件展開(kāi)研究；概率和隨機(jī)變量本質(zhì)上都是一種映射，是廣義上的函數(shù)，于是又可以類(lèi)比函數(shù)的研究方法對(duì)概率和隨機(jī)變量進(jìn)行研究，建立相應(yīng)的研究路徑，并發(fā)現(xiàn)它們的研究?jī)?nèi)容和研究方法. 通過(guò)大量邏輯推理方法的運(yùn)用，讓學(xué)生逐步體會(huì)到一般觀念在概率學(xué)習(xí)中發(fā)揮的重要的思維引領(lǐng)作用.

關(guān)鍵詞：概率；一般觀念；數(shù)學(xué)思維；邏輯推理

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）11-0005-05

引用格式：謝永清，王雙兵. 在一般觀念引領(lǐng)下研究概率的性質(zhì)［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（11）：5-9.

對(duì)于數(shù)學(xué)教師而言，認(rèn)真鉆研教材，理解教材的編寫(xiě)意圖是提高自身教學(xué)水平的有效途徑. 章建躍博士強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生思維能力的重要性，認(rèn)為注重一般觀念的思維引領(lǐng)作用可以提高學(xué)生思維的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性，有效克服“做得到但想不到”的尷尬，使數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)更具“必然性”，為實(shí)現(xiàn)育人目標(biāo)提供了重要途徑. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比、建立研究路徑等方法培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題時(shí)總能想到辦法. 認(rèn)真研究人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“人教A版教材”）和對(duì)應(yīng)的教師教學(xué)用書(shū)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，該理念已經(jīng)融入其中. 例如，人教A版教材必修第一冊(cè)教師教學(xué)用書(shū)第15頁(yè)寫(xiě)道：“教科書(shū)除了介紹集合的基本知識(shí)，還特別注意指引學(xué)生‘如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象’，即引入一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象后，需要研究些什么，研究方法是什么等. 事實(shí)上，這是整套教科書(shū)貫穿始終的編寫(xiě)理念之一.”用一般觀念的視角審視數(shù)學(xué)知識(shí)，超越碎片化的知識(shí)觀，追求數(shù)學(xué)的整體性，是人教A版教材的最大特點(diǎn)之一.

章建躍博士多次提到，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中一定要重視一般觀念的思維引領(lǐng)作用，提升課堂教學(xué)的品位. 那么，到底什么是數(shù)學(xué)中的一般觀念？他給出數(shù)學(xué)中的一般觀念的定義：所謂一般觀念，是對(duì)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想與方法的進(jìn)一步提煉與概括. 它涵蓋了對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義方式、幾何性質(zhì)、代數(shù)性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)、概率性質(zhì)等問(wèn)題的一般性回答. 他認(rèn)為，一般觀念不僅是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法論，更是學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的重要標(biāo)志. 該定義對(duì)教師的教學(xué)工作具有非常重要的指導(dǎo)意義. 他多次在講座和文章中直接談到如何運(yùn)用一般觀念在函數(shù)、代數(shù)、幾何中進(jìn)行教學(xué). 例如，在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，要注意“變化中的不變性就是性質(zhì)，變化中的規(guī)律性也是性質(zhì)”（人教A版教材必修第一冊(cè)第76頁(yè)旁白）這一一般觀念；在代數(shù)的教學(xué)中，要重視“運(yùn)算中的不變性就是性質(zhì)”（人教A版教材必修第一冊(cè)第40頁(yè)旁白）這一一般觀念；在立體幾何的教學(xué)中，要重視“幾何體的組成元素及其相互關(guān)系”（在人教A版教材必修第二冊(cè)第97頁(yè)節(jié)引言中首次出現(xiàn)）這一一般觀念. 那么，在概率的教學(xué)中，什么是概率的一般觀念呢？怎樣運(yùn)用概率的一般觀念進(jìn)行有效教學(xué)呢？

通過(guò)研讀相關(guān)文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)對(duì)于概率的一般觀念具體指什么，并沒(méi)有像函數(shù)、代數(shù)、立體幾何等內(nèi)容一樣給出明確的說(shuō)法. 但是根據(jù)上述一般觀念定義的第一句就可以找到獲得概率一般觀念的方法，即概率內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法正是它的一般觀念. 概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，采用了集合語(yǔ)言、代數(shù)、函數(shù)等研究工具. 因此，可以類(lèi)比確定性數(shù)學(xué)的研究方法，運(yùn)用邏輯推理的方法進(jìn)行思考，如類(lèi)比、歸納、特殊化和一般化等方法的運(yùn)用.

一、大量運(yùn)用邏輯方法，發(fā)揮一般觀念的方法論作用

概率研究的對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，屬于不確定性數(shù)學(xué). 對(duì)于不確定性數(shù)學(xué)，如果經(jīng)驗(yàn)不足，必然會(huì)想到能否借助確定性數(shù)學(xué)的研究方法進(jìn)行研究. 正是這種自然而然的想法，使得在概率的研究中大量使用了與確定性數(shù)學(xué)中合適的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行類(lèi)比探究的方法，且概率的一般觀念就體現(xiàn)在運(yùn)用這些邏輯推理的方法中. 對(duì)于不確定性數(shù)學(xué)，采用整體類(lèi)比確定性數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行研究，具體如下.

1. 類(lèi)比確定性數(shù)學(xué)對(duì)象的研究套路

通過(guò)確定性數(shù)學(xué)對(duì)象的研究，可以知道研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路是：實(shí)例—定義—表示—分類(lèi)—特例—關(guān)系—性質(zhì)—應(yīng)用. 因此，可以通過(guò)類(lèi)比得到概率知識(shí)的研究套路，如圖1所示.

2. 類(lèi)比函數(shù)的研究路徑，形成概率的研究路徑

由于概率是一個(gè)映射，因此可以將其視為定義在樣本空間子集上的“集函數(shù)”. 由此，可以通過(guò)類(lèi)比函數(shù)的研究路徑，構(gòu)建概率的研究路徑，并發(fā)現(xiàn)概率的研究?jī)?nèi)容與研究方法. 類(lèi)比的研究結(jié)構(gòu)和內(nèi)容如表1所示.

3. 類(lèi)比集合的關(guān)系與運(yùn)算，理解事件的關(guān)系與運(yùn)算

由于隨機(jī)事件被定義為樣本空間的子集，因此可以通過(guò)類(lèi)比集合的關(guān)系與運(yùn)算研究事件的關(guān)系與運(yùn)算，具體過(guò)程如表2所示.

4. 類(lèi)比函數(shù)的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)概率的性質(zhì)

由于概率是一個(gè)映射，是自變量為集合的一種“集函數(shù)”，因此可以類(lèi)比函數(shù)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)和提出概率的性質(zhì). 例如，類(lèi)比函數(shù)的特殊值、值域、單調(diào)性等性質(zhì)，可以研究必然事件、不可能事件等特殊事件的概率、概率的取值范圍，以及概率的單調(diào)性等性質(zhì)，具體如表3所示.

5. 類(lèi)比度量的性質(zhì)，提出概率的性質(zhì)

由于概率是對(duì)事件發(fā)生可能性大小的一種度量，因此可以通過(guò)類(lèi)比度量的性質(zhì)提出問(wèn)題. 例如，類(lèi)比幾何度量的基本性質(zhì)（如非負(fù)性、運(yùn)動(dòng)不變性、疊合性、有限可加性和不可公度性等）可以研究概率的基本性質(zhì)，包括非負(fù)性、規(guī)范性和可加性等.

6. 類(lèi)比集合中的元素個(gè)數(shù)，得出概率的性質(zhì)

由于概率的性質(zhì)建立在隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算的基礎(chǔ)之上，且事件的關(guān)系與運(yùn)算本質(zhì)上又是集合的關(guān)系與運(yùn)算. 因此，可以類(lèi)比集合中的元素個(gè)數(shù)關(guān)系進(jìn)一步得出概率的性質(zhì)，具體如表4所示.

此外，由于概率自身具有特殊性，因此概率具有區(qū)別于集合的性質(zhì). 例如，交事件的性質(zhì)要用到條件概率：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若[PAgt;0]，則[PAB=][PAPBA].

特別地，當(dāng)事件[A]與事件[B]相互獨(dú)立時(shí)，有[PAB=PAPB].

7. 通過(guò)類(lèi)比函數(shù)的研究路徑，展開(kāi)對(duì)隨機(jī)變量的研究

我們知道隨機(jī)變量是對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)可能結(jié)果的量化呈現(xiàn)，從本質(zhì)上說(shuō)，它是樣本空間向?qū)崝?shù)集的映射. 在引入隨機(jī)變量的概念后，與之相關(guān)的隨機(jī)事件同樣能夠借助隨機(jī)變量的表達(dá)式予以表示. 離散型隨機(jī)變量的分布列能夠類(lèi)比函數(shù)的表示方式進(jìn)行展現(xiàn)，進(jìn)而通過(guò)計(jì)算隨機(jī)變量的數(shù)字特征進(jìn)行決策.

人教A版教材選擇性必修第三冊(cè)中對(duì)隨機(jī)變量的定義為：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間[Ω]中的每個(gè)樣本點(diǎn)[ω]，都有唯一的實(shí)數(shù)[Xω]與之對(duì)應(yīng)，我們稱(chēng)[X]為隨機(jī)變量. 從該定義中可以看出隨機(jī)變量其實(shí)就是一個(gè)映射，其定義與函數(shù)的定義類(lèi)似，這里的樣本點(diǎn)相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量相當(dāng)于函數(shù)值，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于值域. 如果這樣理解，離散型隨機(jī)變量與數(shù)列更類(lèi)似，因?yàn)閿?shù)列本質(zhì)上就是自變量取正整數(shù)時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，只不過(guò)數(shù)列與順序有關(guān)，而離散型隨機(jī)變量的各個(gè)取值與順序無(wú)關(guān). 另外，隨機(jī)變量與一般意義上的函數(shù)定義最明顯的區(qū)別在于隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間[Ω]不一定是數(shù)集，而高中階段所描述的函數(shù)的定義域必須為非空數(shù)集. 不過(guò)，隨機(jī)變量也可以說(shuō)是一種廣義上的函數(shù).

實(shí)際上，為了描述隨機(jī)變量，只知曉它的可能取值是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更重要的是要了解它取各個(gè)值或者在某一范圍內(nèi)取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率，即概率的分布. 例如，拋擲一枚骰子，只知道向上的面的點(diǎn)數(shù)可以為1，2，3，4，5，6并不夠，更重要的是要知道每個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率都是[16]. 這樣就產(chǎn)生了另一個(gè)更重要的函數(shù)，即隨機(jī)變量的分布函數(shù)：設(shè)[X]是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)[x]，稱(chēng)[Fx=PX≤x]為隨機(jī)變量[X]的分布函數(shù). 具體來(lái)說(shuō)，離散型隨機(jī)變量的概率分布列[PX=xi=pi i=1，2，…]具有[pi≥0]，且[pi=1]的性質(zhì)，所以我們可以把[pi]解釋為分布在質(zhì)點(diǎn)[xi]上的質(zhì)量，其質(zhì)點(diǎn)組的總質(zhì)量為1. 類(lèi)似地，也可以把連續(xù)型隨機(jī)變量[X]落在區(qū)間[a，b]上的概率[Palt;Xlt;b]看作區(qū)間[a，b]的質(zhì)量. 討論線段的質(zhì)量，關(guān)鍵在于線段的密度，研究某一點(diǎn)的質(zhì)量是沒(méi)有意義的. 相應(yīng)地，研究連續(xù)型隨機(jī)變量[X]取某個(gè)值[x0]的概率也是沒(méi)有意義的，只有說(shuō)隨機(jī)變量[X]落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率才是有意義的.

對(duì)于隨機(jī)變量[X]，如果存在非負(fù)可積函數(shù)[px][x∈R]，使對(duì)任意[a，b alt;b]都有[Palt;Xlt;b=abpxdx]，則稱(chēng)[X]為連續(xù)型隨機(jī)變量，[px]為[X]的概率密度函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度或者密度）. 由此定義可知，連續(xù)型隨機(jī)變量與概率密度函數(shù)是同時(shí)定義的. 從以上定義中可以看出，隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是對(duì)由隨機(jī)變量作為自變量產(chǎn)生的函數(shù)進(jìn)行研究. 因此，無(wú)論是離散型隨機(jī)變量還是連續(xù)型隨機(jī)變量，都可以通過(guò)類(lèi)比函數(shù)的研究路徑和方法進(jìn)行探究，并且可以根據(jù)它們各自的特點(diǎn)，選擇不同的數(shù)學(xué)工具表示隨機(jī)變量的概率分布，從而建立各種概率分布模型，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布等. 這些模型能夠便捷、有效地刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象. 該過(guò)程與引入函數(shù)概念后，針對(duì)現(xiàn)實(shí)中直線上升（下降）、指數(shù)增長(zhǎng)（衰減）、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)、周而復(fù)始等現(xiàn)象，選用不同數(shù)學(xué)工具表示變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而建立冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的做法類(lèi)似. 利用基本初等函數(shù)可以有效描述現(xiàn)實(shí)世界中的各種確定性現(xiàn)象.

具體來(lái)說(shuō)，對(duì)函數(shù)的研究從定義出發(fā)，先研究一般函數(shù)的表示方法、性質(zhì)，再研究幾類(lèi)重要的基本初等函數(shù)（包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等），最后研究函數(shù)的應(yīng)用. 當(dāng)然，對(duì)這些函數(shù)的研究同樣遵循了這樣的研究過(guò)程，即“實(shí)例—定義—性質(zhì)與圖象—應(yīng)用”，這也是研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路.

隨機(jī)變量也從定義出發(fā)，先研究與隨機(jī)變量相關(guān)的表示與性質(zhì)，再研究幾類(lèi)重要的隨機(jī)變量分布（兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布等），最后研究隨機(jī)變量的應(yīng)用.

函數(shù)的表示方法主要有解析法、列表法、圖象法，隨機(jī)變量也具有類(lèi)似的表示方法；函數(shù)的性質(zhì)有單調(diào)性、奇偶性、最值、周期性、對(duì)稱(chēng)性等，隨機(jī)變量也具有性質(zhì)，包括概率的非負(fù)性、概率和為1等. 另外，還研究了離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征，即均值與方差，它們分別反映了隨機(jī)變量取值的平均水平與離散程度.

在研究函數(shù)時(shí)，一般函數(shù)與幾類(lèi)重要的基本初等函數(shù)的研究路徑一致，隨機(jī)變量的研究同樣可以類(lèi)比函數(shù)的研究方法，在研究幾類(lèi)重要分布時(shí)，分別研究它們各自的均值與方差等性質(zhì).

8. 通過(guò)特殊化方法得到特殊事件的概率

由概率的定義出發(fā)，可以非常直觀地得出：隨機(jī)事件概率的取值范圍為[0，1]，然后將隨機(jī)事件特殊化為必然事件和不可能事件，可知必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0.

9. 運(yùn)用特殊到一般、一般到特殊的推理方式

通過(guò)類(lèi)比幾何度量的可加性可以得到概率的加法公式，即若事件A，B為互斥事件，則有[PA?B]=[PA+PB]. 去掉“事件A，B互斥”這一條件，通過(guò)類(lèi)比集合中元素的個(gè)數(shù)的計(jì)算公式“若A∩B =[?]，則[cardA?B=cardA+cardB]”，將其一般化，可以得到“[cardA?B=cardA+cardB-cardA∩B]”. 結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行歸納，可以得出更一般化的并事件的概率計(jì)算公式：[PA?B=PA+PB-PA∩B]. 此外，將概率的加法公式推廣到一般情形，即如果事件[A1]，[A2]，…，[Am]兩兩互斥，那么有P[A1]∪[A2]∪ … ∪[Am]=[PA1+PA2+…+PAm]. 對(duì)概率的加法公式再次進(jìn)行特殊化處理得到：當(dāng)A∪B = Ω，即事件A與B互為對(duì)立事件時(shí)，有[PA+PB=1].

二、感悟概率中的數(shù)學(xué)思想，升華對(duì)一般觀念的理解

一般觀念除了體現(xiàn)在數(shù)學(xué)方法的研究中外，更深層次地體現(xiàn)在運(yùn)用這些方法時(shí)感悟內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，只有這樣才能加深學(xué)生對(duì)一般觀念的理解.

1. 隨機(jī)思想

概率旨在研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，為人們從不確定性的角度認(rèn)識(shí)客觀世界提供重要的思維模式和解決問(wèn)題的方法，其核心思想為隨機(jī)思想. 因此，概率內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)該以理論聯(lián)系實(shí)際為導(dǎo)向，借助概率知識(shí)解釋客觀事實(shí)和某些規(guī)則的合理性，并進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)決策，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中領(lǐng)悟隨機(jī)思想，提高數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

2. 模型思想

隨機(jī)數(shù)學(xué)中的一部分內(nèi)容可以借助概率的模型予以呈現(xiàn). 例如，古典概型、伯努利概型和正態(tài)分布等皆能從隨機(jī)問(wèn)題中探尋到具體特點(diǎn). 基于此，學(xué)生要能夠構(gòu)建抽象模型或者現(xiàn)實(shí)模型對(duì)該隨機(jī)問(wèn)題進(jìn)行刻畫(huà). 因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)多個(gè)實(shí)例進(jìn)行總結(jié)、理解和概率模型的運(yùn)用，提高學(xué)生構(gòu)建模型的能力，從而在概率的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生加強(qiáng)理解，不斷感悟模型思想.

概率課程主要的育人功能在于培養(yǎng)學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象的能力，同時(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng). 在概率的教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮一般觀念的理性思維引領(lǐng)作用，發(fā)展學(xué)生認(rèn)識(shí)不確定性現(xiàn)象的思維模式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)辯證地思考問(wèn)題，最終成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的優(yōu)秀人才.

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍. 一般觀念的思維引領(lǐng)作用［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版）：2014（3）：66.

［2］薛紅霞. 轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)知識(shí)觀做好單元教學(xué)設(shè)計(jì)［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2022，61（2）：12-16.

［3］章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

［4］劉婉如，徐信之. 概率與統(tǒng)計(jì)［M］. 北京：高等教育出版社，1989.

［5］程?？?，章建躍. 用樣本空間刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象定義隨機(jī)事件的概率發(fā)展學(xué)生的隨機(jī)觀念［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（5）：1-9，17.

［6］吳光亮. 高中數(shù)學(xué)概率教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想［J］. 中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2017（11）：26.

［7］張偉，程海奎.《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)（人教A版）》第十章“概率”教材設(shè)計(jì)與教學(xué)建議［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2020（10）：28-34.

基金項(xiàng)目：山西省教育科學(xué)“十四五”一般規(guī)劃課題——一般觀念指引下的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)實(shí)踐研究（GH-240026）.

作者簡(jiǎn)介：謝永清（1969— ），男，正高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育和課堂教學(xué)研究；

王雙兵（1979— ），男，高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育和課堂教學(xué)研究.