朱麟

【摘??要】??學(xué)生數(shù)學(xué)模型觀念的形成不能僅僅依靠一道例題或者一節(jié)數(shù)學(xué)課，而是需要長(zhǎng)期潛移默化的教學(xué)滲透.本文嘗試和探索包含數(shù)學(xué)模型觀念的單元教學(xué)設(shè)計(jì).通過(guò)對(duì)初中數(shù)學(xué)“整式”一章節(jié)的部分內(nèi)容進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，嘗試將數(shù)學(xué)模型觀念系統(tǒng)滲透到日常數(shù)學(xué)課程中，從而讓學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí).

【關(guān)鍵詞】 ?初中數(shù)學(xué)；建模思想；課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，是對(duì)現(xiàn)實(shí)原型的概括反映或模擬，是一種符號(hào)模型.數(shù)學(xué)模型觀念方法就是指通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題的一種思想方法.教師對(duì)于數(shù)學(xué)模型觀念方法的理解應(yīng)是廣義的，它包括數(shù)學(xué)概念、原理，以及從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的各種數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)等.只有教師更深刻地理解和把握數(shù)學(xué)模型觀念方法，才能更好地開(kāi)展教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師對(duì)模型觀念的重視程度較低，認(rèn)為模型觀念方法對(duì)學(xué)生能力要求較高，大部分學(xué)生對(duì)模型觀念掌握有困難，在教學(xué)過(guò)程中缺乏對(duì)模型觀念的研究與應(yīng)用.

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022）明確將模型觀念列為初中階段學(xué)生發(fā)展的九大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)表現(xiàn)之一，越來(lái)越多教師意識(shí)到注重學(xué)生模型觀念發(fā)展的重要性.怎樣將模型觀念融入初中教學(xué)，成為很多教師首先思考的問(wèn)題.目前研究較多主題的有：平面直角坐標(biāo)系中幾何模型的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，列方程解應(yīng)用題等.筆者認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)模型觀念的形成不能僅僅依靠一道例題或者一節(jié)數(shù)學(xué)課，而是需要長(zhǎng)期潛移默化的教學(xué)滲透.這就需要一線教師在平時(shí)的教學(xué)中，嘗試和探索包含數(shù)學(xué)模型觀念的單元教學(xué)設(shè)計(jì).本文通過(guò)對(duì)初中數(shù)學(xué)整式一章節(jié)的部分內(nèi)容進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，嘗試將數(shù)學(xué)模型觀念系統(tǒng)滲透到日常數(shù)學(xué)課程中，從而讓學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí).

1 ?從數(shù)到式、從式到方程單元教學(xué)設(shè)計(jì)整體規(guī)劃

數(shù)學(xué)是由數(shù)產(chǎn)生的，但實(shí)際生活中，僅靠數(shù)字解決問(wèn)題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，人們發(fā)現(xiàn)用字母表示數(shù)應(yīng)用更為廣泛.用字母表示數(shù)是將數(shù)字抽象成字母，繼而可以用字母來(lái)表示數(shù)字之間的數(shù)量關(guān)系，這一偉大跨越本身就滲透著數(shù)學(xué)模型觀念.然而在初中學(xué)生剛開(kāi)始系統(tǒng)學(xué)習(xí)代數(shù)式的概念時(shí)，很少有教師能夠意識(shí)到其中的模型觀念的滲透，大部分時(shí)間用于計(jì)算和運(yùn)算法則的教授.當(dāng)學(xué)生掌握了式的運(yùn)算，就可以通過(guò)立方程來(lái)解決現(xiàn)實(shí)世界的很多問(wèn)題，方程模型也是初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用最為廣泛的數(shù)學(xué)模型.

例如 ?滬教版六年級(jí)下就已經(jīng)安排了一元一次方程、二元一次方程（組）的解法及應(yīng)用的教學(xué).于教師角度而言，部分教師在方程教學(xué)過(guò)程中對(duì)模型觀念重視程度較低.于學(xué)生角度而言，部分學(xué)生對(duì)大段文字描述的實(shí)際問(wèn)題一籌莫展，找不到突破口，從而對(duì)用方程模型解決問(wèn)題缺乏興趣，轉(zhuǎn)而尋求小學(xué)中使用更多的算術(shù)方法.再加上學(xué)生在六年級(jí)時(shí)沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)和代數(shù)式的概念及其運(yùn)算，對(duì)方程的理解也僅限于設(shè)元求解，即將未知數(shù)用表示列等式求解，所以學(xué)生對(duì)方程的模型觀念了解和掌握程度相對(duì)較低.將方程建模活動(dòng)補(bǔ)充進(jìn)整式章節(jié)的教學(xué)，對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，尤為必要.單元教學(xué)設(shè)計(jì)的規(guī)劃分為兩種類型，第一類為基于內(nèi)容主題的單元，這一類的單元教學(xué)體現(xiàn)為若干緊密相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)組成有主題的內(nèi)容體系.第二類為基于學(xué)習(xí)專題的單元，體現(xiàn)為某個(gè)學(xué)習(xí)或者探究的專題.本單元教學(xué)設(shè)計(jì)屬于后者，學(xué)習(xí)路徑如圖1所示.滬教版整式一章節(jié)安排了19節(jié)內(nèi)容，對(duì)該章節(jié)合理進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，有助于學(xué)生初步形成模型觀念，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和應(yīng)用意識(shí).

2 ?從數(shù)到式、從式到方程單元教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 ?教學(xué)目標(biāo)

2.1.1 ?知識(shí)與技能目標(biāo)

理解字母表示數(shù)的意義，理解代數(shù)式的含義，能根據(jù)語(yǔ)言描述正確列出相應(yīng)的代數(shù)式.會(huì)依據(jù)所給條件求代數(shù)式的值.理解整式相關(guān)概念，同類項(xiàng)相關(guān)概念，會(huì)合并同類項(xiàng)，掌握整式的加減運(yùn)算.能熟練運(yùn)用合適的示意圖分析各類問(wèn)題中的等量關(guān)系，列出合理簡(jiǎn)潔的方程（組）模型解決問(wèn)題.

2.1.2 ?過(guò)程與方法目標(biāo)

經(jīng)歷探索用字母表示數(shù)的過(guò)程以及列代數(shù)式的過(guò)程感受數(shù)學(xué)抽象模型觀念.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題感受同一個(gè)代數(shù)式可以表示不同的實(shí)際意義.在求代數(shù)式的值的過(guò)程中，感受數(shù)量的變化及其聯(lián)系.經(jīng)歷“問(wèn)題情境——建立方程模型——解釋、應(yīng)用”的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)模型觀念的應(yīng)用價(jià)值，初步形成用模型的思想思考、解決問(wèn)題的能力.

2.1.3 ?情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

通過(guò)對(duì)式的運(yùn)算規(guī)律的總結(jié)和應(yīng)用，初步體會(huì)由具體的數(shù)到抽象的式所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維方式的跨越.體驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題中用式表示數(shù)的簡(jiǎn)便性和普適性，積累用式解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提高模型觀念的認(rèn)知度，拓展數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在自主探究和合作交流中積極發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力，從中獲得成功的體驗(yàn).

2.2 ?教學(xué)重難點(diǎn)

2.2.1 ?教學(xué)重點(diǎn)

對(duì)代數(shù)式的理解，整式的運(yùn)算，以及實(shí)際問(wèn)題中如何找尋數(shù)量關(guān)系.

2.2.2 ?教學(xué)難點(diǎn)

能用字母和代數(shù)式表示規(guī)律.解釋代數(shù)式的實(shí)際背景或幾何意義.理解代數(shù)式中的值可以取不同的值，代數(shù)式的值隨著它的字母取值的變化而變化.整式運(yùn)算中整體代入的思想運(yùn)用.會(huì)合理選用表格示意圖或圖形示意圖簡(jiǎn)潔表示出實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，巧妙設(shè)元，列出方程（組）解決問(wèn)題.

2.3 ?單元學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)

專題1 ?從數(shù)到式的相關(guān)概念

本專題教學(xué)流程設(shè)計(jì)如圖2所示，設(shè)計(jì)說(shuō)明：舉例1和舉例2通過(guò)列舉常見(jiàn)的運(yùn)算定律和學(xué)生所熟悉的圖形的面積公式，引入用字母表示數(shù)的概念，具有承前啟后的作用.例題1可以選擇學(xué)生生活中常見(jiàn)的經(jīng)濟(jì)類問(wèn)題，比如滬教版教材中的小明買橘子問(wèn)題.這類問(wèn)題涉及的數(shù)量關(guān)系為總價(jià)數(shù)量單價(jià)，這也是本單元建立方程模型的知識(shí)儲(chǔ)備.通過(guò)例題的真實(shí)問(wèn)題的解決，學(xué)生積累代數(shù)式書(shū)寫經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)解決讀圖識(shí)規(guī)律類的題型，學(xué)生體驗(yàn)了從具體圖形到抽象的數(shù)字變化規(guī)律的思維過(guò)程，能夠鍛煉學(xué)生的抽象思維品質(zhì).經(jīng)典例題有火柴拼圖形、堆積木、圖形的分割等.實(shí)際問(wèn)題能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活是緊密聯(lián)系的，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.這里有大量例題可供選擇，比如：月歷問(wèn)題，鋪設(shè)草坪?jiǎn)栴}，用電問(wèn)題，打折問(wèn)題，利息問(wèn)題等.

專題2 ?合理建立方程模型解決問(wèn)題

史寧中教授曾指出：“在進(jìn)行方程的課程設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施時(shí)，可先讓學(xué)生用自然語(yǔ)言來(lái)闡述所述事情，然后抽象為數(shù)學(xué)表達(dá)，最后再用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程，解決問(wèn)題，這就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程.”本主題教學(xué)采用探究活動(dòng)課形式，方程建模問(wèn)題探究活動(dòng)教學(xué)嘗試突破傳統(tǒng)教學(xué)模式，把通過(guò)方程模型解決問(wèn)題作為活動(dòng)課程，改變學(xué)生聽(tīng)教師分析題目，獨(dú)立完成題目的學(xué)習(xí)方式.在本活動(dòng)課中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用自然語(yǔ)言闡述問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，幫助學(xué)生將問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)表達(dá)，再通過(guò)小組活動(dòng)建立合理的方程，最后解決問(wèn)題.學(xué)生通過(guò)小組合作進(jìn)行數(shù)學(xué)建模活動(dòng)學(xué)習(xí)，不僅能夠鍛煉思辨能力，而且有助于深化方程模型觀念.

案例1 ?經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

小芳的媽媽生日到了，小芳打算買一束玫瑰花送給母親，這束花由粉色玫瑰花和紫色玫瑰花組成.

問(wèn)題1 ?小芳買了粉色玫瑰花和紫色玫瑰花共18支，紫色玫瑰花有10支，若設(shè)粉色玫瑰花有支，那么粉色玫瑰花有多少支？（用方程表示）

問(wèn)題2 ?小芳買了粉色玫瑰花和紫色玫瑰花共18支，紫色玫瑰花有支，若設(shè)粉色玫瑰花有支.

設(shè)問(wèn)1 ?你能確定紅色玫瑰花到底有多少支嗎？為什么？

設(shè)問(wèn)2 ?你能給出條件確定紅色玫瑰花有多少支嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明 ?由于初中階段學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)所限，遇到的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題主要有購(gòu)買、折扣、利率、盈虧等問(wèn)題.本節(jié)課為活動(dòng)課的第一堂課，選題為學(xué)生十分熟悉的社會(huì)活動(dòng)，讓學(xué)生能夠充分發(fā)揮想象，在能力范圍內(nèi)提出問(wèn)題解決問(wèn)題.問(wèn)題1的設(shè)計(jì)是讓學(xué)生理解方程是含有未知數(shù)的等式這一概念，求未知數(shù)的過(guò)程就是解方程的過(guò)程.問(wèn)題2的設(shè)計(jì)是鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.設(shè)問(wèn)1設(shè)計(jì)目的為，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)模型的實(shí)際意義，由于玫瑰花的支數(shù)是整數(shù)支，所以玫瑰花的支數(shù)有多種情況.緊接著，設(shè)問(wèn)2，啟發(fā)學(xué)生思考，能夠限制每種玫瑰花到底買了幾支的條件可以有哪些，可以啟發(fā)學(xué)生從經(jīng)濟(jì)約束的角度，個(gè)人偏好的角度，數(shù)字特征的角度，花朵特征的角度，偶然事件的角度給條件，鍛煉學(xué)生從具體事件到數(shù)學(xué)問(wèn)題的表述能力.

案例2 ?幾何模型的應(yīng)用

小明、小杰分別站在邊長(zhǎng)為12米的正方形道路相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)處，他們開(kāi)始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按順時(shí)針?lè)较騽蛩傩凶?

問(wèn)題1??經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，小明、小杰第一次（初始位置除外）都在道路的頂點(diǎn)處？有什么規(guī)律？

問(wèn)題2 ?經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，小明、小杰第一次都在道路的同一頂點(diǎn)處？有什么規(guī)律？

問(wèn)題3 ?小明和小杰能同時(shí)出現(xiàn)在小明的初始頂點(diǎn)處嗎？為什么？可能出現(xiàn)小明、小杰同時(shí)出現(xiàn)在道路相對(duì)頂點(diǎn)的情況嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明 ?本道題改編自滬教版六年級(jí)教材第六章，探究活動(dòng).本道題沒(méi)有展示正方形道路的數(shù)學(xué)模型，需要學(xué)生自己將正方形道路的示意圖表示出來(lái)，并標(biāo)明確定的字母.從實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)幾何圖形的表示，是思維方式的一大飛躍，教師在應(yīng)用題的教學(xué)中要有意識(shí)的對(duì)這類模型觀念進(jìn)行滲透.

2.4 ?單元教學(xué)設(shè)計(jì)反思

數(shù)學(xué)模型觀念的滲透是應(yīng)該是在日常教學(xué)的點(diǎn)滴中，而不是孤立的一個(gè)課時(shí)或者一次活動(dòng).本單元的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了這一點(diǎn)，在概念教學(xué)時(shí)通過(guò)真實(shí)情境的例題講解，讓學(xué)生感受實(shí)際問(wèn)題的抽象化，在概念應(yīng)用部分對(duì)這一思想進(jìn)行強(qiáng)化.最后通過(guò)探究活動(dòng)，學(xué)生就能夠運(yùn)用這一思想解決實(shí)際問(wèn)題.初中生的模型觀念應(yīng)該是在認(rèn)識(shí)范圍內(nèi)緊密聯(lián)系實(shí)際的，這樣就可以通過(guò)建立能力范圍內(nèi)的方程模型解決問(wèn)題，經(jīng)歷完整的模型構(gòu)建過(guò)程，體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)用性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

3 ?結(jié)語(yǔ)

單元教學(xué)目標(biāo)有側(cè)重點(diǎn)，但不能為了構(gòu)建模型而降低其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求.課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)應(yīng)該圍繞九大類，本單元設(shè)計(jì)以模型觀念的滲透為重點(diǎn)，并不代表忽視其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，比如運(yùn)算能力、抽象能力等都可以在本單元的課時(shí)教學(xué)中得到體現(xiàn).只有將豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維貫穿于平時(shí)教學(xué)之中，才能讓學(xué)生真正能夠?qū)W會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維面對(duì)世界.

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