陳桂林,馮慕緹,金海蘭, 廖艷華*

(1.湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 湖北 黃石 435003;2.吉林省長白山保護(hù)開發(fā)區(qū)管理委員會(huì) 經(jīng)濟(jì)發(fā)展局,吉林 延邊朝鮮族自治州 133613)

具有三角形和四面體結(jié)構(gòu)的格點(diǎn)模型的幾何阻挫會(huì)引起較為豐富的物理現(xiàn)象。一些理論工作者嘗試著利用擴(kuò)展的玻色子Hubbard模型和蒙特卡洛方法在數(shù)值上對(duì)開羅五邊形晶格(Cairo Pentagonal Lattice)進(jìn)行研究。Waldor等[1]采用傳遞矩陣法(Transfer Matrix Approach)研究了具有五邊形晶格特征的彭羅斯格點(diǎn)(Penrose Lattice)的磁化機(jī)制,發(fā)現(xiàn)了五邊形格點(diǎn)中的幾何阻挫現(xiàn)象。Iliev等[2]證實(shí)具有開羅五邊形晶格結(jié)構(gòu)的反鐵磁物質(zhì)Bi2Fe4O9能顯示出明顯的阻挫現(xiàn)象。 Urumov等[3]利用修飾后的伊辛模型對(duì)二維開羅五邊形格點(diǎn)進(jìn)行了研究,并討論了臨界溫度和自發(fā)磁化特性。Rojas等[4]采用擴(kuò)展的伊辛模型進(jìn)一步研究了在臨界溫度附近阻挫對(duì)五邊形格點(diǎn)模型的熱力學(xué)和相變影響,發(fā)現(xiàn)了新的阻挫相。

伊辛模型最初用于解釋鐵磁相變[5-6],現(xiàn)被廣泛推廣應(yīng)用于研究自然、社會(huì)和人工系統(tǒng)中的臨界現(xiàn)象。本文將采用伊辛模型研究準(zhǔn)晶中的正五邊形格點(diǎn)模型,討論磁化強(qiáng)度、自由能和熱容量等熱力學(xué)函數(shù),以期明確準(zhǔn)晶內(nèi)部的熱力學(xué)和量子漲落現(xiàn)象。

1 正五邊形格點(diǎn)中的伊辛模型

伊辛模型是研究磁性材料相變問題的眾多模型中較為簡單的模型之一[7],常被用來解釋晶格格點(diǎn)間由自旋相互作用產(chǎn)生的交換強(qiáng)度與磁場之間競爭所引起的物理問題[8-10]。正五邊形格點(diǎn)模型示意圖如圖1所示。

圖1 正五邊形格點(diǎn)模型示意圖

考慮外加磁場和最近鄰的格點(diǎn)間的自旋相互作用,采用伊辛模型描述正五邊形晶格的哈密頓量：

H1=J1S1ZS2Z+J2S2ZS3Z+J3S3ZS4Z+J4S4ZS5Z+J5S1ZS5Z-B(S1Z+S2Z+S3Z+S4Z+S5Z)

(1)

考慮32種組合,利用式(1)所示的系統(tǒng)哈密頓表達(dá)式可以得到系統(tǒng)32種自旋情況下的能量表達(dá)式：

對(duì)于正五邊形晶體結(jié)構(gòu),由于每個(gè)格點(diǎn)都被定域在正五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)上,可以認(rèn)為每個(gè)格點(diǎn)都是可區(qū)分的,統(tǒng)計(jì)規(guī)律滿足玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)。此時(shí),引入玻耳茲曼配分函數(shù)：

(2)

利用磁矩(M)、自由能(F)和熱容量(CV)與配分函數(shù)間的關(guān)系,可以得到系統(tǒng)內(nèi)各熱力學(xué)函數(shù)的精確解：

(3)

F=-NklnZ

(4)

(5)

2 正五邊形格點(diǎn)熱輸運(yùn)性質(zhì)分析

2.1 磁場和交換強(qiáng)度對(duì)正五邊形格點(diǎn)磁化強(qiáng)度的影響

在沒有磁場和交換強(qiáng)度的作用下,每個(gè)格點(diǎn)的自旋方向在Z軸上的投影是隨機(jī)的,均有等概率的向上或向下兩種可能方向。通過哈密頓量分析(式(1)),遵循能量越低越穩(wěn)定的基本原理,交換強(qiáng)度J的作用是使格點(diǎn)間形成反鐵磁關(guān)聯(lián),磁場的作用是使格點(diǎn)間形成鐵磁關(guān)聯(lián),可以通過正五邊形格點(diǎn)間的磁化強(qiáng)度呈現(xiàn)兩個(gè)物理量對(duì)系統(tǒng)的影響。

(a) 交換強(qiáng)度 (b) 磁場

2.2 磁場和交換強(qiáng)度對(duì)正五邊形格點(diǎn)自由能的影響

為了研究正五邊形格點(diǎn)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,將分別計(jì)算正五邊形和一個(gè)由正三角形與正三角形邊長相等的正方形構(gòu)成的五邊形[11](此后用五邊形描述)的自由能。正五邊形格點(diǎn)與五邊形格點(diǎn)自由能曲線如圖3所示。

圖3 正五邊形格點(diǎn)與五邊形格點(diǎn)自由能曲線

從圖3可以發(fā)現(xiàn),在弱磁場下,正五邊形的自由能比五邊形的自由能低,表明此種情況下,正五邊形穩(wěn)定性好。隨著磁場強(qiáng)度或交換強(qiáng)度增大,五邊形的自由能比正五邊形的自由能低,說明此時(shí)五邊形的穩(wěn)定性比正五邊形的穩(wěn)定性好。改變磁場或交換強(qiáng)度,都能使格點(diǎn)的結(jié)構(gòu)發(fā)生改變,五邊形或正五邊形結(jié)構(gòu)具有不穩(wěn)定性。

2.3 磁場和交換強(qiáng)度對(duì)正五邊形格點(diǎn)熱容量的影響

格點(diǎn)間的交換強(qiáng)度是導(dǎo)致正五邊形結(jié)構(gòu)的格點(diǎn)中存在阻挫的主要因素。接下來,將重點(diǎn)關(guān)注正五邊形格點(diǎn)中熱容量隨磁場和交換強(qiáng)度變化的情況。不同磁場作用下正五邊形格點(diǎn)的熱容量隨交換強(qiáng)度的變化曲線如圖4所示。

圖4 不同磁場作用下正五邊形格點(diǎn)的熱容量隨交換強(qiáng)度的變化曲線

由圖4可知,在無外加磁場下,熱容量隨著交換強(qiáng)度變化出現(xiàn)了雙峰結(jié)構(gòu)。當(dāng)交換強(qiáng)度為負(fù)值時(shí),格點(diǎn)間為鐵磁關(guān)聯(lián),此時(shí)左邊的峰是正五邊形格點(diǎn)間為鐵磁關(guān)聯(lián)時(shí)所具有的熱容量;當(dāng)交換強(qiáng)度為正值時(shí),格點(diǎn)間逐漸顯現(xiàn)反鐵磁關(guān)聯(lián),此時(shí)右邊的峰是正五邊形格點(diǎn)間為反鐵磁關(guān)聯(lián)時(shí)具有的熱容量。同時(shí)也注意到一個(gè)有趣的現(xiàn)象,曲線的左邊峰值高,右邊峰值低。這是由于交換強(qiáng)度為負(fù)值時(shí)格點(diǎn)間形成的鐵磁性比交換強(qiáng)度為正值時(shí)格點(diǎn)間為反鐵磁關(guān)聯(lián)時(shí)更為有序。在有外加磁場作用下,熱容量峰值出現(xiàn)的位置右移,且峰值被抑制。這是由于磁場與交換強(qiáng)度競爭所致,磁場要抵消一部分交換強(qiáng)度的作用,使格點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)有序。這與文獻(xiàn)[12]所得結(jié)論一致。這里需要特別指出的是,磁場能導(dǎo)致熱容的兩個(gè)峰值間距變小,是磁場能使格點(diǎn)的自旋更有序所致。當(dāng)交換強(qiáng)度不變時(shí),溫度的變化也會(huì)導(dǎo)致J/T發(fā)生變化。在一定磁場作用下,熱容量的最大值會(huì)向著溫度增加(高溫區(qū))的方向移動(dòng)。這與文獻(xiàn)[13]所得結(jié)論相符。

3 結(jié)論

將伊辛模型與熱力學(xué)函數(shù)聯(lián)系在一起,得出磁場和格點(diǎn)之間的交換強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)宏觀性質(zhì)和微觀狀態(tài)的影響。①正五邊形格點(diǎn)的磁化強(qiáng)度隨磁場或交換強(qiáng)度的增強(qiáng)出現(xiàn)磁化平臺(tái),平臺(tái)的寬度與交換強(qiáng)度或磁場的大小有關(guān),反映出磁場與交換強(qiáng)度的競爭規(guī)律;②比較正五邊形和五邊形格點(diǎn)的自由能,發(fā)現(xiàn)兩種五邊形格點(diǎn)結(jié)構(gòu)的自由能會(huì)隨著磁場或交換強(qiáng)度增加而交替出現(xiàn),表明兩種結(jié)構(gòu)具有不穩(wěn)定性;③熱容量的振蕩寬度與磁場強(qiáng)度有關(guān),且呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。經(jīng)過對(duì)有限格點(diǎn)的熱力學(xué)性質(zhì)和磁化過程中各格點(diǎn)磁化微觀機(jī)制進(jìn)行較為精確的計(jì)算,所得的結(jié)果也能和無限格點(diǎn)中的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行較好的對(duì)比,所得解析解對(duì)數(shù)值求解和準(zhǔn)晶的研究有一定的指導(dǎo)意義。