李賽花

摘 要：傳統(tǒng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)“輕過程、重結(jié)果”，往往是“介紹概念—說明內(nèi)涵—闡述應(yīng)用規(guī)律—例題講解”的“灌輸式”教學(xué)，忽視概念的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生和形成，概念學(xué)習(xí)退化為“概念—性質(zhì)—注意事項(xiàng)”教師主導(dǎo)的學(xué)習(xí)過程，不能有效地體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。深度學(xué)習(xí)下的問題式數(shù)學(xué)概念教學(xué)倡導(dǎo)的是讓學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗(yàn)、感受的教學(xué)法，通過課前預(yù)習(xí)、資料查閱、合作探究、課堂交流等方式了解概念的由來與發(fā)展，把握概念的內(nèi)涵，理解概念的核心與本質(zhì)，在解決問題中應(yīng)用概念。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生以問題為切入點(diǎn)開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，通過鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，實(shí)現(xiàn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)與提升。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；深度學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)問題；教學(xué)策略

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂），高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)側(cè)重于核心概念和基本思想，在日常教學(xué)過程中加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的全面深入理解；要提高學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）[1]。隨著新課標(biāo)的深入實(shí)施，高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)受到了前所未有的重視，在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生提出問題對實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)有重要的意義。

對數(shù)學(xué)概念的深度學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)形成數(shù)學(xué)概念，批判性地運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，最終充分理解數(shù)學(xué)概念并善于應(yīng)用數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)應(yīng)用策略[2]。學(xué)生在不斷解決數(shù)學(xué)問題的過程中得以提高自己的數(shù)學(xué)能力，基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式除了肯定學(xué)生的主體地位，還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，在教師的引導(dǎo)下對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行探究，最終可以理解概念，應(yīng)用概念，解決問題。筆者結(jié)合20余年的一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，給出基于深度學(xué)習(xí)的問題式數(shù)學(xué)概念教學(xué)法的七個(gè)教學(xué)策略。

一、設(shè)置預(yù)習(xí)作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生在自學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)提出數(shù)學(xué)問題

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師需要關(guān)注學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣會(huì)讓概念教學(xué)取得事半功倍的效果，其中預(yù)習(xí)就是一種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。教師在概念教學(xué)前布置預(yù)習(xí)作業(yè)，學(xué)生通過閱讀書本或教師提供的相關(guān)資料，提前對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行初步了解，通過預(yù)習(xí)作業(yè)幫助學(xué)生熟悉問題并提前進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，使學(xué)習(xí)變得更有目的性和主動(dòng)性，在課堂上提出與概念相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

例如，在學(xué)習(xí)“正弦函數(shù)圖像”相關(guān)知識前，布置學(xué)生閱讀課本，并試著畫正弦函數(shù)的圖像，教師收集匯總學(xué)生的預(yù)習(xí)作業(yè)。通過作業(yè)發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生將正弦函數(shù)的圖像畫成了半圓、拋物線、折線等，這些錯(cuò)誤恰好就是學(xué)生的問題素材，比如，正弦函數(shù)圖像的變化趨勢是什么？圖像上的關(guān)鍵點(diǎn)有哪些？圖像的凹凸性該如何把握？等問題，正確的圖像背后就是正弦函數(shù)的概念。教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察不同學(xué)生所畫的不同圖像，通過發(fā)現(xiàn)這些圖像的區(qū)別與聯(lián)系，提出自己的疑問。在實(shí)際教學(xué)中，有的學(xué)生提出：為什么有的圖像是折線，有的是曲線？有的學(xué)生提出：為什么不能把圖像畫成內(nèi)凹形？還有學(xué)生提出：造成這些圖像不一樣的原因是點(diǎn)取的不一樣還是點(diǎn)取的個(gè)數(shù)不夠呢？這些問題可以引發(fā)更多的學(xué)生去思考正弦函數(shù)圖像的正確畫法到底是什么，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)正弦函數(shù)圖像的積極性與主動(dòng)性，有利于課堂教學(xué)的開展。結(jié)合課堂上的分析，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)出正弦函數(shù)圖像的正確畫法及關(guān)鍵步驟，促進(jìn)學(xué)生對正弦函數(shù)圖像的深度學(xué)習(xí)與理解，同時(shí)提高學(xué)生的作圖、識圖、用圖能力。

二、引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中提出數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生由于不懂提問而極少提問，教學(xué)中教會(huì)學(xué)生如何提出問題可以促進(jìn)數(shù)學(xué)概念深度學(xué)習(xí)[3]。在實(shí)踐中，筆者通過開設(shè)專題講座培養(yǎng)學(xué)生的課堂提問能力，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，要對邏輯復(fù)雜的知識點(diǎn)、新舊知識的聯(lián)結(jié)方式、教學(xué)重難點(diǎn)進(jìn)行提問，還可針對概念定義、公式推導(dǎo)、解題思路等提出問題，思考過后，交流自己的見解。數(shù)學(xué)概念之間存在著眾多聯(lián)系，在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的關(guān)聯(lián)知識或者適用條件進(jìn)行提問，鼓勵(lì)學(xué)生說出自己的疑惑和不解，在教師指導(dǎo)下經(jīng)歷獨(dú)立思考與邏輯分析，深刻地理解與掌握、靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念。

例如，在講解“等比數(shù)列”概念時(shí)，學(xué)生可以對“同一個(gè)常數(shù)”“從第二項(xiàng)起”等關(guān)鍵詞進(jìn)行提問，提問范例包括“常數(shù)是否可以為零”“若僅有一個(gè)條件是否可以”“什么反例能說明不可以”等問題。帶著問題學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念可以加深理解，牢固記憶，靈活運(yùn)用。

三、啟發(fā)學(xué)生從豐富的情境中提出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)問題

深度學(xué)習(xí)要求學(xué)生參與到知識建構(gòu)的過程中，在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中不斷思考和探究概念的形成過程、概念的條件和結(jié)論，讓學(xué)生能夠理解概念的來龍去脈、概念的內(nèi)涵和外延[4]。深度學(xué)習(xí)注重學(xué)生的主體性，教學(xué)活動(dòng)以學(xué)生為中心，教師充分激發(fā)學(xué)生的探索欲，圍繞數(shù)學(xué)概念創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。

這些情境要根據(jù)不同的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行創(chuàng)設(shè)，它可以與生活實(shí)際相關(guān)，可以與之前所學(xué)的知識相關(guān)，也可以與某一科學(xué)技術(shù)相關(guān)，只要與學(xué)生生活相關(guān)又能引導(dǎo)學(xué)生形成概念的情境都是引發(fā)學(xué)生提出問題的好素材。

例如，在學(xué)習(xí)“函數(shù)”概念的時(shí)候，可以創(chuàng)設(shè)如下問題情境：2021年8月5日，中國隊(duì)小將全紅嬋以完美的五跳中三跳滿分，總分466.2分拿下女子跳臺歷史單場最高分，奪得2020東京奧運(yùn)會(huì)跳水女子單人10米跳臺金牌。

情境1：通過表格給出全紅嬋決賽5次跳水成績。第1跳82.5分，第2跳96.0分，第3跳95.7分，第4跳96.0分，第5跳96.0分。

情境2：全紅嬋在決賽某一次跳水中，從靜止開始在10米跳臺下落，下落的距離（單位：）與下落的時(shí)間（單位：）之間近似地滿足關(guān)系式。

情境3：通過給出全紅嬋決賽那天8月5日東京24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖，考慮溫度（℃）與時(shí)間（）的關(guān)系。

基于學(xué)生在初中已經(jīng)掌握的函數(shù)概念，引導(dǎo)學(xué)生觀察這些情境的共同特征，啟發(fā)學(xué)生提出一系列與函數(shù)概念相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，比如三個(gè)情境中都涉及了兩個(gè)變量的范圍，這是否是函數(shù)概念中的關(guān)鍵點(diǎn)？初中的函數(shù)概念指的是一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變化而變化，高中的函數(shù)是否也可以這樣定義，還是有更好的定義方式？情境1給出表格，情境2給出具體的函數(shù)解析式，情境3給出圖像，這三個(gè)情境是否存在函數(shù)關(guān)系，等等。這些問題的提出可以引發(fā)學(xué)生對函數(shù)概念進(jìn)行深入的思考，發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念的本質(zhì)特征。因此，在概念教學(xué)中，應(yīng)該把概念的形成過程交給學(xué)生自己去體驗(yàn)和感悟，讓學(xué)生通過提出觸及概念本質(zhì)的數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的深度學(xué)習(xí)。

四、利用教師設(shè)計(jì)的問題串促使學(xué)生提出數(shù)學(xué)概念相關(guān)問題

數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)重要標(biāo)志就是思維的碰撞，這需要一個(gè)源問題，即引起思維碰撞的源頭[5]，在教學(xué)實(shí)踐中可以設(shè)計(jì)一個(gè)問題或一串問題引起學(xué)生的思考，引導(dǎo)學(xué)生提出另一個(gè)問題或另一串問題，形成連鎖反應(yīng)，得出新的數(shù)學(xué)概念。

例如，進(jìn)行“函數(shù)的單調(diào)性”知識點(diǎn)教學(xué)時(shí)，可以設(shè)計(jì)這樣的問題串：

問題1：分析以下函數(shù)圖像的基本特征：（1）（＞0）；（2）（＞0）

問題2：怎樣利用數(shù)學(xué)語言來描述函數(shù)圖像變化趨勢？

問題3：怎樣量化表述二次函數(shù)）（＞

0）的圖像變化趨勢？

問題4：函數(shù)單調(diào)遞增的概念是什么？

問題5：你能舉一個(gè)增函數(shù)的例子并用定義進(jìn)行說明嗎？

用這樣的問題串，引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)單調(diào)遞減提出相關(guān)問題：1.減函數(shù)的圖像有何特征？2.如何定義減函數(shù)？3.已經(jīng)學(xué)過的減函數(shù)的例子有哪些？4.函數(shù)單調(diào)性的概念有等價(jià)定義嗎？5.利用函數(shù)的單調(diào)性可以解決哪些數(shù)學(xué)問題？等等。通過對這些問題的探究與解決，可以幫助學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行積極主動(dòng)的建構(gòu)，建立清晰而完整的概念體系。

五、利用信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)問題

高中數(shù)學(xué)概念有一個(gè)突出的特點(diǎn)，就是其高度的概括性和抽象性，學(xué)生得出概念有一定難度，而信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科相融合使得數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)更加直觀、易懂，如，可以利用幾何畫板、GeoGebra（一個(gè)結(jié)合幾何、代數(shù)與微積分的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件）等數(shù)學(xué)軟件的動(dòng)態(tài)演示將抽象的數(shù)學(xué)概念變得形象而直觀，有效地突破思維難點(diǎn)，同時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生針對這一動(dòng)態(tài)演示的過程提出與概念相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

例如，在“拋物線”相關(guān)知識的教學(xué)過程中，可借助幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，構(gòu)造一個(gè)到定點(diǎn)與定直線距離相等的動(dòng)點(diǎn)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條拋物線。這一動(dòng)態(tài)演示過程包含了許多可以提出的問題，教師可引導(dǎo)學(xué)生針對定點(diǎn)、定直線、軌跡形成，以及觀察圖像本身這幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)進(jìn)行提問。如定直線與定點(diǎn)之間的關(guān)系如何？動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件是什么？如何給拋物線下定義？動(dòng)畫中的拋物線與二次函數(shù)圖像所對應(yīng)的拋物線有何區(qū)別？通過以上問題，能夠加深學(xué)生對拋物線概念的理解，實(shí)現(xiàn)對拋物線概念的深度學(xué)習(xí)。

六、組織學(xué)生通過合作探究學(xué)習(xí)，提出數(shù)學(xué)概念相關(guān)問題

每個(gè)學(xué)生看問題的角度不盡相同，學(xué)習(xí)能力也不盡相同，在開展概念教學(xué)的時(shí)候，盡可能地讓學(xué)生去親身經(jīng)歷、感受，通過與同學(xué)、教師的合作探究去學(xué)習(xí)概念的內(nèi)涵，掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，掌握其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法。在合作探究學(xué)習(xí)時(shí)，可以按照學(xué)生的不同思維水平進(jìn)行穿插組合，教師明確學(xué)習(xí)任務(wù)與目標(biāo)，每個(gè)小組進(jìn)行探究，在輕松的氛圍中，每個(gè)人根據(jù)自己的理解說出自己的想法與做法，在交流協(xié)作的過程中，學(xué)生會(huì)思考自己對概念的理解對不對，理解得深不深刻，思維產(chǎn)生了火花，這時(shí)就會(huì)提出新的問題，問題越辯越明朗，最后得出正確結(jié)論。

例如，在《平量向量的數(shù)量積》一課的教學(xué)中，涉及兩非零向量的夾角概念的學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生在兩個(gè)向量不共起點(diǎn)時(shí)容易弄錯(cuò)夾角的大小。對于向量在上的投影向量的概念及其公式的理解，學(xué)生也存在一定難度。這時(shí)組織學(xué)生以小組為單位進(jìn)行探究，互相交流，提出問題，舉例論證，進(jìn)行實(shí)操。實(shí)踐證明，在小組探究中，學(xué)生加深了對兩非零向量夾角的概念和向量在上的投影向量概念及其公式的理解，達(dá)到正確理解兩非零向量夾角的概念和向量在上的投影向量的概念及其公式的目的。在聽取小組報(bào)告時(shí)，如果有錯(cuò)誤的觀點(diǎn)，教師適當(dāng)點(diǎn)撥，以鼓勵(lì)為主，糾錯(cuò)為輔，讓學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念的理解，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

七、通過變式訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)概念相關(guān)問題

基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)要讓學(xué)生參與概念的遷移與應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的等價(jià)定義，挖掘概念的內(nèi)涵，重視概念的應(yīng)用，在新的情境中可以辨認(rèn)出數(shù)學(xué)概念，進(jìn)行外延和深化，提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

例如，2021年新高考卷單項(xiàng)選擇第8題：有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球。甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（? ）

A.甲與丙相互獨(dú)立? B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立? D.丙與丁相互獨(dú)立

本題考查的是事件獨(dú)立性的概念的應(yīng)用。運(yùn)用事件的獨(dú)立性的概念計(jì)算公式=，本題就非常容易解決，（甲）=（乙）=1/6，

（丙）=5/36，（丁）=1/6，對于選項(xiàng)A，（甲丙）=0，（甲）（丙）=（1/6）×（5/36），∴（甲丙）≠（甲）（丙），選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B，（甲丁）=1/36=（1/6）×（1/6）=（甲）×（?。?，選項(xiàng)B正確，而C，D選項(xiàng)可以仿照上面的方法判斷出是錯(cuò)誤的。

在解題時(shí)，學(xué)生往往會(huì)通過定性分析想當(dāng)然得出結(jié)果，而容易忽略通過事件相互獨(dú)立的概念來解決問題，結(jié)果得出錯(cuò)誤的結(jié)論。這說明學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解還停留在表面，不懂其內(nèi)在深義，更不懂得對其進(jìn)行應(yīng)用與遷移，而深度學(xué)習(xí)要求要能促進(jìn)問題的解決。通過變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，提出問題：本題涉及了什么數(shù)學(xué)概念？用了什么解題方法？注意點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)是什么？通過這樣的變式訓(xùn)練，對事件相互獨(dú)立概念的理解有什么幫助？學(xué)生在變式訓(xùn)練中深化了對概念的理解與應(yīng)用，同時(shí)通過進(jìn)一步歸納總結(jié)并反思解題過程形成技能，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的。

結(jié)束語

基于深度學(xué)習(xí)的問題式數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略，是通過深度學(xué)習(xí)的方式，在學(xué)生深度參與數(shù)學(xué)概念的形成與應(yīng)用的過程中，培養(yǎng)學(xué)生提出觸及數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的數(shù)學(xué)問題的能力；旨在幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的深度理解，完成對數(shù)學(xué)概念的主動(dòng)構(gòu)建，形成完整的知識體系，并能進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪w移與創(chuàng)造，建立知識與情境的聯(lián)系，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力；旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及創(chuàng)新和應(yīng)用意識。

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本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中學(xué)生問題提出的實(shí)踐研究”（課題批準(zhǔn)號：FJJKZX22-611）階段研究成果。