錢筱珍 陳碧芬

【摘? 要】? 推理是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基礎(chǔ)，也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系與交流的重要方式.探究指向推理能力的核心問題設(shè)計(jì)流程——培養(yǎng)目標(biāo)確定、核心問題選擇、核心問題設(shè)計(jì)、子問題鏈設(shè)計(jì)和核心問題改進(jìn)，以期在探究核心問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

【關(guān)鍵詞】? 推理能力；核心問題設(shè)計(jì)；初中數(shù)學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：數(shù)學(xué)教育應(yīng)使初中生達(dá)到“三會(huì)”的境界，其中包括會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界［1］. 在這方面，學(xué)生推理意識(shí)和推理能力的培養(yǎng)至關(guān)重要. 然而，學(xué)生的推理能力不甚理想，在實(shí)際教學(xué)中教師也常由于缺乏切實(shí)可行的培養(yǎng)方法而停留在知識(shí)的傳授上. 因此，培養(yǎng)推理能力無疑是中學(xué)教學(xué)中的一大重點(diǎn)和挑戰(zhàn). 問題能促進(jìn)學(xué)習(xí)思考，核心問題作為一節(jié)課中最關(guān)鍵、具有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的中心問題，能促進(jìn)學(xué)生思考，有效落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 本文旨在探討如何設(shè)計(jì)指向推理能力的核心問題，并以浙教版“完全平方公式”為例進(jìn)行具體闡述. 1? 指向推理能力的核心問題設(shè)計(jì)

指向推理能力的核心問題是指針對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體性和學(xué)生的認(rèn)知水平提煉出的中心問題，是在諸多問題中最具思維價(jià)值且最能揭示知識(shí)本質(zhì)的關(guān)鍵性問題.這些問題有一定的思維深度，能夠激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)和主動(dòng)參與，旨在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯思考和推理，幫助他們理解知識(shí)的本質(zhì)，推動(dòng)他們?cè)谕评砟芰Ψ矫娴膶W(xué)習(xí)和發(fā)展.和一般的核心問題相比，指向推理能力的核心問題主要有以下特征：整體性和深刻性，邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，以及開放性和創(chuàng)新性.整體性和深刻性強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)和思考問題的深度，邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性注重問題間的邏輯脈絡(luò)和推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，開放性和創(chuàng)新性則重在激發(fā)學(xué)生的探索欲望和創(chuàng)新能力.基于上述特點(diǎn)并結(jié)合郭妍提出的邏輯推理的培育路徑［2］，構(gòu)建指向推理能力的核心問題設(shè)計(jì)流程，包括培養(yǎng)目標(biāo)確定、核心問題選擇、核心問題設(shè)計(jì)、子問題鏈設(shè)計(jì)和核心問題改進(jìn)這五個(gè)環(huán)節(jié)（如圖1）.

首先在準(zhǔn)備階段，依據(jù)課標(biāo)、教材、學(xué)情和邏輯推理培育路徑，確定學(xué)生推理能力的具體培養(yǎng)目標(biāo). 其次在篩選階段，根據(jù)所確定的培養(yǎng)目標(biāo)整合學(xué)習(xí)問題，生成一個(gè)或多個(gè)具有統(tǒng)攝作用且指向推理能力培養(yǎng)的核心問題，并用簡練術(shù)語表示出來. 在設(shè)計(jì)階段對(duì)所選問題進(jìn)行深入分析. 在這個(gè)階段，教師需要進(jìn)一步了解問題的背景和相關(guān)概念，確定學(xué)生在解決問題時(shí)可能遇到的難點(diǎn)及關(guān)鍵要素，收集相關(guān)問題情境素材，結(jié)合培養(yǎng)目標(biāo)思考核心問題具體、清晰的設(shè)問方式，使學(xué)生能夠理解和回答. 隨后在細(xì)化階段，教師需要將核心問題進(jìn)一步分解為一系列有序的子問題. 每個(gè)子問題都應(yīng)該與核心問題緊密相關(guān)，并且能夠引導(dǎo)學(xué)生思考和推理，最終解決核心問題. 注意，子問題鏈的設(shè)計(jì)應(yīng)該具有邏輯性和連貫性，確保學(xué)生在解決問題的過程中逐步積累知識(shí)和提升推理能力. 最后，測(cè)評(píng)環(huán)節(jié)貫穿在每一個(gè)階段當(dāng)中，教師可以使用不同的評(píng)估方法來驗(yàn)證問題的有效性，如教師觀察、學(xué)生表現(xiàn)評(píng)價(jià)、小組討論和作品展示等，并根據(jù)評(píng)估結(jié)果對(duì)核心問題和子問題鏈進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化，以更好地促進(jìn)學(xué)生的推理能力的培養(yǎng).

2? 教學(xué)案例

下面以浙教版“完全平方公式”為例，具體闡述如何根據(jù)上文所構(gòu)建的設(shè)計(jì)流程設(shè)計(jì)核心問題.

2.1? 準(zhǔn)備階段：培養(yǎng)目標(biāo)確定

課標(biāo)分析? 課標(biāo)中對(duì)完全平方公式的要求為“理解完全平方公式，了解完全平方公式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算和推理”［1］. 立足所選課題，可以將其理解為以下三個(gè)方面：第一，學(xué)生需要理解完全平方公式的含義、原理和應(yīng)用. 通過深入理解完全平方公式的含義和原理，學(xué)生可以更好地掌握它的應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)抽象能力. 第二，學(xué)生需要了解完全平方公式與幾何圖形之間的關(guān)系. 這有助于學(xué)生更好地理解完全平方公式，明白平方項(xiàng)的含義以及乘積項(xiàng)的來源. 同時(shí)，通過這種幾何視覺化的方式，學(xué)生可以更直觀地理解完全平方公式的運(yùn)用和推導(dǎo)過程. 第三，學(xué)生需要掌握利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算和推理的能力. 這包括根據(jù)給定的數(shù)值計(jì)算出完全平方形式的結(jié)果，能夠通過完全平方公式推導(dǎo)出其他相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以及能夠在實(shí)際問題中應(yīng)用該公式.

教材分析? 本課時(shí)內(nèi)容是在整式的乘法以及平方差公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法公式，是前面所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用和發(fā)展. 同時(shí)，完全平方公式是后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解、配方法等知識(shí)的基礎(chǔ)，因此本節(jié)課起著承上啟下的作用. 教材從多項(xiàng)式的乘法（數(shù)）和圖形面積割補(bǔ)（形）兩個(gè)角度得到完全平方公式，再通過例、習(xí)題教學(xué)幫助學(xué)生理解公式，有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰豌@研精神. 結(jié)合以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：完全平方公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.

學(xué)情分析? 在本節(jié)課之前，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)與式的承接，初步實(shí)現(xiàn)了從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變，完成了冪的運(yùn)算、整式的乘法和平方差公式等知識(shí)的學(xué)習(xí)，能夠運(yùn)用整式相關(guān)法則進(jìn)行計(jì)算，并能通過合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡. 同時(shí)在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘法和平方差公式的過程中體驗(yàn)了如何用圖形的面積關(guān)系來說明多項(xiàng)式乘法的法則，有了初步的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，具備了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 但學(xué)生的邏輯思維還不夠嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)還不夠深刻：其一，公式中的字母a，b本身具有廣泛性，尤其是字母a，b是帶有數(shù)字系數(shù)的單項(xiàng)式時(shí)，學(xué)生容易忽略公式中字母的結(jié)構(gòu)特征以及含義；其二，從兩數(shù)和的完全平方公式到兩數(shù)差的完全平方公式要用到換元思想，對(duì)學(xué)生來說也是一難點(diǎn). 結(jié)合以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是公式中字母的含義，從兩數(shù)和的完全平方公式到兩數(shù)差的完全平方公式的推理方法.

培養(yǎng)目標(biāo)確定? “完全平方公式”培養(yǎng)目標(biāo)，見表1.

2.2? 篩選階段：核心問題選擇

結(jié)合培養(yǎng)目標(biāo)，從五個(gè)層次分別初步確定對(duì)應(yīng)的五個(gè)核心問題，如表2.

2.3? 設(shè)計(jì)階段：核心問題設(shè)計(jì)+細(xì)化階段——子問題鏈設(shè)計(jì)

根據(jù)培養(yǎng)目標(biāo)和初步確定的核心問題設(shè)計(jì)具體核心問題及子問題鏈，并形成完整的教學(xué)設(shè)計(jì).

核心問題1? 如何利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則推出完全平方公式？

子問題1：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法的法則是什么？如何用字母表示？如何用幾何圖形反映？

子問題2：上述四個(gè)長方形中，其中一個(gè)演變成正方形，即x=y時(shí)，整式的乘法公式如何演變？

追問：結(jié)合上述公式，根據(jù)以下條件分別求出（x+p）（x+q）的值，并觀察所給p，q的值.

（1）p=1，q=－1；? （2）p=23，q=－23；

（3）p=－3m，q=3m；? （4）p=－12n，q=12n.

子問題3：p，q互為相反數(shù)是一種特殊情形，當(dāng)p=q呢［3］？又會(huì)出現(xiàn)怎樣的情形.

設(shè)計(jì)意圖? 從整體視角出發(fā)，以多項(xiàng)式的乘法公式為切入點(diǎn)，將平方差公式和完全平方公式巧妙地融入整式乘法的大體系中，體現(xiàn)它們之間的密切聯(lián)系：平方差公式和完全平方公式都是整式乘法中最特殊的兩類情況（p，q相等或相反）.這樣，學(xué)生可以更好地理解整個(gè)章節(jié)知識(shí)的連貫性與聯(lián)系性.

核心問題2? 利用兩數(shù)和的完全平方公式解決其它多項(xiàng)式乘法.

子問題1：用兩數(shù)和的完全平方公式計(jì)算（填空）.

（1）（a+1）2=（? ）2+2（? ）（? ）+（? ）2=;

（2）（2a+3b）2=（? ）2+2（? ）（? ）+（? ）2=.

追問：兩數(shù)和的完全平方公式中的字母表示什么含義？

子問題2：利用兩數(shù)和的完全平方公式計(jì)算（a-b）2=？

設(shè)計(jì)意圖? 一方面讓學(xué)生深入理解完全平方公式中字母的多重含義，另一方面引導(dǎo)學(xué)生利用換元思想從兩數(shù)和的完全平方公式推出兩數(shù)差的完全平方公式，讓學(xué)生體悟代數(shù)推理的過程與思想.

核心問題3? 為什么要引入完全平方公式，它解決了什么樣的數(shù)學(xué)問題？

子問題1：利用完全平方公式計(jì)算：

（1）（x+2y）2;（2）（2a－5）2;（3）（－2s+t）2

（4）（－3x－4y）2;（5）992;（6）1032

子問題2：一花農(nóng)有2塊正方形茶花苗圃，邊長分別為30.1m，29.5m，現(xiàn)將這2塊苗圃的邊長都增加1.5m后，求各苗圃的面積分別增加了多少m2？

設(shè)計(jì)意圖? 子問題1前4小題是讓學(xué)生立足完全平方公式運(yùn)用整體思想解決問題，后兩道計(jì)算題是讓學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，達(dá)到簡化計(jì)算的目的.子問題2是現(xiàn)實(shí)問題，讓學(xué)生體會(huì)完全平方公式的實(shí)際應(yīng)用.

核心問題4? 多項(xiàng)式的乘法公式有其幾何背景，這兩個(gè)完全平方公式能否也用幾何圖形進(jìn)行驗(yàn)證呢？

探究1：用圖2的四張卡片擺出一個(gè)大正方形，要求：圖形之間不能有重疊、不能有空隙.圖2? 探究1對(duì)應(yīng)卡片

探究2：用圖3的三張卡片擺出一個(gè)大正方形，要求：圖形之間允許有重疊.圖3? 探究2對(duì)應(yīng)卡片

設(shè)計(jì)意圖? 從圖形面積割補(bǔ)兩個(gè)角度再次驗(yàn)證完全平方公式，在探究的過程中理解完全平方公式的幾何意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

核心問題5? 梳理完全平方公式的推導(dǎo)過程、總結(jié)思想方法.

子問題1：本節(jié)課學(xué)習(xí)完全平方公式的路徑是怎樣的？在這探究過程中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)方法.

設(shè)計(jì)意圖? 讓學(xué)生梳理完全平方公式的學(xué)習(xí)路徑，以促進(jìn)學(xué)生深入理解和掌握完全平方公式.此外，通過回顧思想方法，凝練問題解決的一般路徑，旨在培養(yǎng)學(xué)生解題的基本思路，并提升其問題解決能力.

3? 教學(xué)反思

數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化特征決定了各課時(shí)內(nèi)容之間也并非完全獨(dú)立的.因此，在設(shè)計(jì)核心問題時(shí)應(yīng)從整體上分析新舊知識(shí)之間的關(guān)系. 上述指向推理能力的核心問題設(shè)計(jì)流程從多方面考慮確定培養(yǎng)目標(biāo)，催生出核心問題，接著形成具有邏輯關(guān)聯(lián)性的子問題串，清晰地揭示了數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系. 在案例中，問題設(shè)計(jì)也注重整體性策略，以“數(shù)”為主、“形”為輔，主要的問題設(shè)計(jì)流程圖如圖4. 以多項(xiàng)式的乘法作為起點(diǎn)，將“多項(xiàng)式乘法法則”“平方差公式”和“完全平方公式”聯(lián)系起來，同時(shí)結(jié)合長方形面積的變化，將數(shù)學(xué)與幾何圖形相結(jié)合，有效地整合了各個(gè)內(nèi)容之間的邏輯結(jié)構(gòu). 這樣，同根同源的平方差公式和完全平方公式就能夠作為一個(gè)整體呈現(xiàn)，使學(xué)生見“樹”還見“林”. 通過核心問題引導(dǎo)學(xué)生用全局的視角和系統(tǒng)的思維去構(gòu)建知識(shí)體系，這對(duì)于學(xué)生理解知識(shí)、實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的整體建構(gòu)以及提升學(xué)生的推理能力都大有裨益.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：6.

［2］郭妍，沈建民.高中數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的生成價(jià)值與培育路徑［J］.教學(xué)與管理，2023（03）：94-97.

［3］馮俊.教材整合建構(gòu)? 強(qiáng)化思維訓(xùn)練——大單元教學(xué)背景下“完全平方公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（16）：27-29.

作者簡介? 錢筱珍（1998—），女，浙江杭州人，碩士研究生；從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究.

陳碧芬（1979—），女，浙江奉化人，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師；主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究.