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        指向推理能力的核心問題設(shè)計(jì)

        2024-01-22 17:25:12錢筱珍陳碧芬
        關(guān)鍵詞:推理能力初中數(shù)學(xué)

        錢筱珍 陳碧芬

        【摘? 要】? 推理是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基礎(chǔ),也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系與交流的重要方式.探究指向推理能力的核心問題設(shè)計(jì)流程——培養(yǎng)目標(biāo)確定、核心問題選擇、核心問題設(shè)計(jì)、子問題鏈設(shè)計(jì)和核心問題改進(jìn),以期在探究核心問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

        【關(guān)鍵詞】? 推理能力;核心問題設(shè)計(jì);初中數(shù)學(xué)

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出:數(shù)學(xué)教育應(yīng)使初中生達(dá)到“三會(huì)”的境界,其中包括會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界[1]. 在這方面,學(xué)生推理意識(shí)和推理能力的培養(yǎng)至關(guān)重要. 然而,學(xué)生的推理能力不甚理想,在實(shí)際教學(xué)中教師也常由于缺乏切實(shí)可行的培養(yǎng)方法而停留在知識(shí)的傳授上. 因此,培養(yǎng)推理能力無疑是中學(xué)教學(xué)中的一大重點(diǎn)和挑戰(zhàn). 問題能促進(jìn)學(xué)習(xí)思考,核心問題作為一節(jié)課中最關(guān)鍵、具有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的中心問題,能促進(jìn)學(xué)生思考,有效落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 本文旨在探討如何設(shè)計(jì)指向推理能力的核心問題,并以浙教版“完全平方公式”為例進(jìn)行具體闡述. 1? 指向推理能力的核心問題設(shè)計(jì)

        指向推理能力的核心問題是指針對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體性和學(xué)生的認(rèn)知水平提煉出的中心問題,是在諸多問題中最具思維價(jià)值且最能揭示知識(shí)本質(zhì)的關(guān)鍵性問題.這些問題有一定的思維深度,能夠激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)和主動(dòng)參與,旨在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯思考和推理,幫助他們理解知識(shí)的本質(zhì),推動(dòng)他們?cè)谕评砟芰Ψ矫娴膶W(xué)習(xí)和發(fā)展.和一般的核心問題相比,指向推理能力的核心問題主要有以下特征:整體性和深刻性,邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性,以及開放性和創(chuàng)新性.整體性和深刻性強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)和思考問題的深度,邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性注重問題間的邏輯脈絡(luò)和推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)性,開放性和創(chuàng)新性則重在激發(fā)學(xué)生的探索欲望和創(chuàng)新能力.基于上述特點(diǎn)并結(jié)合郭妍提出的邏輯推理的培育路徑[2],構(gòu)建指向推理能力的核心問題設(shè)計(jì)流程,包括培養(yǎng)目標(biāo)確定、核心問題選擇、核心問題設(shè)計(jì)、子問題鏈設(shè)計(jì)和核心問題改進(jìn)這五個(gè)環(huán)節(jié)(如圖1).

        首先在準(zhǔn)備階段,依據(jù)課標(biāo)、教材、學(xué)情和邏輯推理培育路徑,確定學(xué)生推理能力的具體培養(yǎng)目標(biāo). 其次在篩選階段,根據(jù)所確定的培養(yǎng)目標(biāo)整合學(xué)習(xí)問題,生成一個(gè)或多個(gè)具有統(tǒng)攝作用且指向推理能力培養(yǎng)的核心問題,并用簡練術(shù)語表示出來. 在設(shè)計(jì)階段對(duì)所選問題進(jìn)行深入分析. 在這個(gè)階段,教師需要進(jìn)一步了解問題的背景和相關(guān)概念,確定學(xué)生在解決問題時(shí)可能遇到的難點(diǎn)及關(guān)鍵要素,收集相關(guān)問題情境素材,結(jié)合培養(yǎng)目標(biāo)思考核心問題具體、清晰的設(shè)問方式,使學(xué)生能夠理解和回答. 隨后在細(xì)化階段,教師需要將核心問題進(jìn)一步分解為一系列有序的子問題. 每個(gè)子問題都應(yīng)該與核心問題緊密相關(guān),并且能夠引導(dǎo)學(xué)生思考和推理,最終解決核心問題. 注意,子問題鏈的設(shè)計(jì)應(yīng)該具有邏輯性和連貫性,確保學(xué)生在解決問題的過程中逐步積累知識(shí)和提升推理能力. 最后,測(cè)評(píng)環(huán)節(jié)貫穿在每一個(gè)階段當(dāng)中,教師可以使用不同的評(píng)估方法來驗(yàn)證問題的有效性,如教師觀察、學(xué)生表現(xiàn)評(píng)價(jià)、小組討論和作品展示等,并根據(jù)評(píng)估結(jié)果對(duì)核心問題和子問題鏈進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化,以更好地促進(jìn)學(xué)生的推理能力的培養(yǎng).

        2? 教學(xué)案例

        下面以浙教版“完全平方公式”為例,具體闡述如何根據(jù)上文所構(gòu)建的設(shè)計(jì)流程設(shè)計(jì)核心問題.

        2.1? 準(zhǔn)備階段:培養(yǎng)目標(biāo)確定

        課標(biāo)分析? 課標(biāo)中對(duì)完全平方公式的要求為“理解完全平方公式,了解完全平方公式的幾何背景,能利用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算和推理”[1]. 立足所選課題,可以將其理解為以下三個(gè)方面:第一,學(xué)生需要理解完全平方公式的含義、原理和應(yīng)用. 通過深入理解完全平方公式的含義和原理,學(xué)生可以更好地掌握它的應(yīng)用,提高數(shù)學(xué)抽象能力. 第二,學(xué)生需要了解完全平方公式與幾何圖形之間的關(guān)系. 這有助于學(xué)生更好地理解完全平方公式,明白平方項(xiàng)的含義以及乘積項(xiàng)的來源. 同時(shí),通過這種幾何視覺化的方式,學(xué)生可以更直觀地理解完全平方公式的運(yùn)用和推導(dǎo)過程. 第三,學(xué)生需要掌握利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算和推理的能力. 這包括根據(jù)給定的數(shù)值計(jì)算出完全平方形式的結(jié)果,能夠通過完全平方公式推導(dǎo)出其他相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式,以及能夠在實(shí)際問題中應(yīng)用該公式.

        教材分析? 本課時(shí)內(nèi)容是在整式的乘法以及平方差公式的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法公式,是前面所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用和發(fā)展. 同時(shí),完全平方公式是后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解、配方法等知識(shí)的基礎(chǔ),因此本節(jié)課起著承上啟下的作用. 教材從多項(xiàng)式的乘法(數(shù))和圖形面積割補(bǔ)(形)兩個(gè)角度得到完全平方公式,再通過例、習(xí)題教學(xué)幫助學(xué)生理解公式,有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰豌@研精神. 結(jié)合以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn):完全平方公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.

        學(xué)情分析? 在本節(jié)課之前,學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)與式的承接,初步實(shí)現(xiàn)了從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變,完成了冪的運(yùn)算、整式的乘法和平方差公式等知識(shí)的學(xué)習(xí),能夠運(yùn)用整式相關(guān)法則進(jìn)行計(jì)算,并能通過合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡. 同時(shí)在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘法和平方差公式的過程中體驗(yàn)了如何用圖形的面積關(guān)系來說明多項(xiàng)式乘法的法則,有了初步的數(shù)形結(jié)合意識(shí),具備了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 但學(xué)生的邏輯思維還不夠嚴(yán)謹(jǐn),對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)還不夠深刻:其一,公式中的字母a,b本身具有廣泛性,尤其是字母a,b是帶有數(shù)字系數(shù)的單項(xiàng)式時(shí),學(xué)生容易忽略公式中字母的結(jié)構(gòu)特征以及含義;其二,從兩數(shù)和的完全平方公式到兩數(shù)差的完全平方公式要用到換元思想,對(duì)學(xué)生來說也是一難點(diǎn). 結(jié)合以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是公式中字母的含義,從兩數(shù)和的完全平方公式到兩數(shù)差的完全平方公式的推理方法.

        培養(yǎng)目標(biāo)確定? “完全平方公式”培養(yǎng)目標(biāo),見表1.

        2.2? 篩選階段:核心問題選擇

        結(jié)合培養(yǎng)目標(biāo),從五個(gè)層次分別初步確定對(duì)應(yīng)的五個(gè)核心問題,如表2.

        2.3? 設(shè)計(jì)階段:核心問題設(shè)計(jì)+細(xì)化階段——子問題鏈設(shè)計(jì)

        根據(jù)培養(yǎng)目標(biāo)和初步確定的核心問題設(shè)計(jì)具體核心問題及子問題鏈,并形成完整的教學(xué)設(shè)計(jì).

        核心問題1? 如何利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則推出完全平方公式?

        子問題1:多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法的法則是什么?如何用字母表示?如何用幾何圖形反映?

        子問題2:上述四個(gè)長方形中,其中一個(gè)演變成正方形,即x=y時(shí),整式的乘法公式如何演變?

        追問:結(jié)合上述公式,根據(jù)以下條件分別求出(x+p)(x+q)的值,并觀察所給p,q的值.

        (1)p=1,q=-1;? (2)p=23,q=-23;

        (3)p=-3m,q=3m;? (4)p=-12n,q=12n.

        子問題3:p,q互為相反數(shù)是一種特殊情形,當(dāng)p=q呢[3]?又會(huì)出現(xiàn)怎樣的情形.

        設(shè)計(jì)意圖? 從整體視角出發(fā),以多項(xiàng)式的乘法公式為切入點(diǎn),將平方差公式和完全平方公式巧妙地融入整式乘法的大體系中,體現(xiàn)它們之間的密切聯(lián)系:平方差公式和完全平方公式都是整式乘法中最特殊的兩類情況(p,q相等或相反).這樣,學(xué)生可以更好地理解整個(gè)章節(jié)知識(shí)的連貫性與聯(lián)系性.

        核心問題2? 利用兩數(shù)和的完全平方公式解決其它多項(xiàng)式乘法.

        子問題1:用兩數(shù)和的完全平方公式計(jì)算(填空).

        (1)(a+1)2=(? )2+2(? )(? )+(? )2=;

        (2)(2a+3b)2=(? )2+2(? )(? )+(? )2=.

        追問:兩數(shù)和的完全平方公式中的字母表示什么含義?

        子問題2:利用兩數(shù)和的完全平方公式計(jì)算(a-b)2=?

        設(shè)計(jì)意圖? 一方面讓學(xué)生深入理解完全平方公式中字母的多重含義,另一方面引導(dǎo)學(xué)生利用換元思想從兩數(shù)和的完全平方公式推出兩數(shù)差的完全平方公式,讓學(xué)生體悟代數(shù)推理的過程與思想.

        核心問題3? 為什么要引入完全平方公式,它解決了什么樣的數(shù)學(xué)問題?

        子問題1:利用完全平方公式計(jì)算:

        (1)(x+2y)2;(2)(2a-5)2;(3)(-2s+t)2

        (4)(-3x-4y)2;(5)992;(6)1032

        子問題2:一花農(nóng)有2塊正方形茶花苗圃,邊長分別為30.1m,29.5m,現(xiàn)將這2塊苗圃的邊長都增加1.5m后,求各苗圃的面積分別增加了多少m2?

        設(shè)計(jì)意圖? 子問題1前4小題是讓學(xué)生立足完全平方公式運(yùn)用整體思想解決問題,后兩道計(jì)算題是讓學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,達(dá)到簡化計(jì)算的目的.子問題2是現(xiàn)實(shí)問題,讓學(xué)生體會(huì)完全平方公式的實(shí)際應(yīng)用.

        核心問題4? 多項(xiàng)式的乘法公式有其幾何背景,這兩個(gè)完全平方公式能否也用幾何圖形進(jìn)行驗(yàn)證呢?

        探究1:用圖2的四張卡片擺出一個(gè)大正方形,要求:圖形之間不能有重疊、不能有空隙.圖2? 探究1對(duì)應(yīng)卡片

        探究2:用圖3的三張卡片擺出一個(gè)大正方形,要求:圖形之間允許有重疊.圖3? 探究2對(duì)應(yīng)卡片

        設(shè)計(jì)意圖? 從圖形面積割補(bǔ)兩個(gè)角度再次驗(yàn)證完全平方公式,在探究的過程中理解完全平方公式的幾何意義,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想,提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

        核心問題5? 梳理完全平方公式的推導(dǎo)過程、總結(jié)思想方法.

        子問題1:本節(jié)課學(xué)習(xí)完全平方公式的路徑是怎樣的?在這探究過程中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)方法.

        設(shè)計(jì)意圖? 讓學(xué)生梳理完全平方公式的學(xué)習(xí)路徑,以促進(jìn)學(xué)生深入理解和掌握完全平方公式.此外,通過回顧思想方法,凝練問題解決的一般路徑,旨在培養(yǎng)學(xué)生解題的基本思路,并提升其問題解決能力.

        3? 教學(xué)反思

        數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化特征決定了各課時(shí)內(nèi)容之間也并非完全獨(dú)立的.因此,在設(shè)計(jì)核心問題時(shí)應(yīng)從整體上分析新舊知識(shí)之間的關(guān)系. 上述指向推理能力的核心問題設(shè)計(jì)流程從多方面考慮確定培養(yǎng)目標(biāo),催生出核心問題,接著形成具有邏輯關(guān)聯(lián)性的子問題串,清晰地揭示了數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系. 在案例中,問題設(shè)計(jì)也注重整體性策略,以“數(shù)”為主、“形”為輔,主要的問題設(shè)計(jì)流程圖如圖4. 以多項(xiàng)式的乘法作為起點(diǎn),將“多項(xiàng)式乘法法則”“平方差公式”和“完全平方公式”聯(lián)系起來,同時(shí)結(jié)合長方形面積的變化,將數(shù)學(xué)與幾何圖形相結(jié)合,有效地整合了各個(gè)內(nèi)容之間的邏輯結(jié)構(gòu). 這樣,同根同源的平方差公式和完全平方公式就能夠作為一個(gè)整體呈現(xiàn),使學(xué)生見“樹”還見“林”. 通過核心問題引導(dǎo)學(xué)生用全局的視角和系統(tǒng)的思維去構(gòu)建知識(shí)體系,這對(duì)于學(xué)生理解知識(shí)、實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的整體建構(gòu)以及提升學(xué)生的推理能力都大有裨益.

        參考文獻(xiàn)

        [1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022:6.

        [2]郭妍,沈建民.高中數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的生成價(jià)值與培育路徑[J].教學(xué)與管理,2023(03):94-97.

        [3]馮俊.教材整合建構(gòu)? 強(qiáng)化思維訓(xùn)練——大單元教學(xué)背景下“完全平方公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2021(16):27-29.

        作者簡介? 錢筱珍(1998—),女,浙江杭州人,碩士研究生;從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究.

        陳碧芬(1979—),女,浙江奉化人,博士,副教授,碩士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究.

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