李俊玲 馮男 許建強

摘?要：針對“數(shù)值分析”課程的特點，依據(jù)我校應用型人才的培養(yǎng)目標，結合MOOC和線上線下教學的優(yōu)勢，本文提出了基于應用的線上線下混合式教學模式。該模式采用應用案例驅動教學過程，同時融入豐富多樣的線上活動和分組任務。實踐表明，這種教學模式能增強學生的數(shù)學應用意識，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力，增強教學效果，提高學生的綜合素質。

關鍵詞：應用型本科；數(shù)值分析；混合式教學；線上線下

應用型本科教育逐漸成為高等教育重要的組成部分，作為我國第一所以“應用技術”命名的高水平創(chuàng)新型大學——上海應用技術大學一直致力于培養(yǎng)具有過硬本領的高素質應用創(chuàng)新型人才。

“數(shù)值分析”是高等院校數(shù)學專業(yè)的核心課程，也是許多工科類專業(yè)的必修課，是利用計算機解決數(shù)學問題的理論和方法。相比其他數(shù)學課程，“數(shù)值分析”與實際應用聯(lián)系更緊密，更注重方法的可行性和計算效率，是一門典型的學以致用課程。隨著教學改革的不斷深入，傳統(tǒng)的教學方法、教學手段已然發(fā)生變化。這就要求教師要與時俱進，不斷提高自身的教學創(chuàng)新能力，改進教學方法。改革的實質是用智慧教育來取代傳統(tǒng)教育［1］，為了更好地完成應用型人才的培養(yǎng)目標，我們著力于把傳統(tǒng)的線下教學和在線學習的優(yōu)勢結合起來，采用線上線下混合式教學模式［23］，并選取中國大學MOOC平臺上東北大學的國家精品課程“數(shù)值分析”進行線上輔助教學。

1?教學目標和課程設置

結合上海應用技術大學建設高水平應用技術大學的辦學宗旨，緊密圍繞應用型人才的培養(yǎng)目標，重視理論知識和基本機能的教學，注重培養(yǎng)學生的實踐能力，設定本課程的教學目標：（1）知識學習，使學生掌握科學計算中算法設計的基本思想和理論依據(jù)，為學生在結合計算機解決實際問題方面打下理論基礎；（2）實操實練，通過上機實驗，使學生掌握各種數(shù)值算法的構造原理和過程分析，培養(yǎng)學生算法設計能力；（3）學以致用，通過參加課內實踐和數(shù)學建模競賽等相關科技創(chuàng)新活動，培養(yǎng)學生利用已有理論知識和算法設計方法解決實際問題的能力；（4）價值觀引領，通過在課堂中加入適當?shù)乃颊虒W［4］，鼓勵學生“腳踏實地、知行合一”的做人原則。結合上述培養(yǎng)目標，課程設置為64課時，其中48課時理論授課，16課時上機實驗。

2?基于應用的線上線下混合式教學設計

為實現(xiàn)應用型人才的培養(yǎng)目標、增強學生的數(shù)學應用意識、培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力［5］，在教學過程中，考慮以應用作為驅動，學生帶著需解決的應用案例參與整個線上線下的學習過程，最終完成案例的求解。此外，結合課程內容的難易程度，對數(shù)值分析實施分層教學，變革教學結構，提升教學質量；設置分組任務，讓學生主動參與整個教學過程，激發(fā)學生內在的潛力和自主學習的動力，更好地適應學生的學習習慣、學習特性，促進學生自主探究、合作交流、歸納總結，獲取更好的教學效果。

因此，本文提出基于應用的線上線下混合式教學模式，該模式在每一個專題內容講授前，首先給出若干個待求解的應用案例。然后將課程內容依難易程度分為兩部分，一部分是課程的基礎、一般難度和擴展部分；另一部分為課程重點、難點和應用案例部分。接下來分層開展教學，第一部分以學生觀看視頻自主學習為主，采用線上觀看MOOC或錄課視頻、參與線上課堂活動和測試、線上復習和答疑的形式；第二部分采用線上預習、線下授課和線上互動相結合、線上復習和答疑的形式。兩部分內容最后都回到相應知識點應用案例的求解，做到從應用中來，到應用中去，讓應用貫穿這個教學過程。下面給出具體的教學設計過程。

2.1?教師推送資源

根據(jù)教學大綱預設的教學目標及學生學習情況，教師在線上教學平臺發(fā)布教學資源，包括針對本次課的教學內容制定的相對應的PPT、MOOC章節(jié)和錄課視頻、本次課的重點和難點亟待解決的應用案例。

例如，在講授“Lagrange插值”課題前，先發(fā)布三個應用案例。

案例1?借助下表給出7的近似值。

案例2?已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：

深度（M）46674195014221634

水溫（℃）7.044.283.402.542.13

根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其他深度（如500米、600米、1000米等）處的水溫。

案例3?圖像放大。

圖1給出圖像放大的示意圖，即已知原圖1（a），現(xiàn)要求放大3倍后的圖像（b），即根據(jù)圖1（a）中已知的9個點處的像素值來求圖1（b）中未知點處的像素值。

這里案例1和案例2可應用本課題內容完成，案例3則是本知識點的拓展應用，旨在引導學生進行從一維拓展到二維的進一步思考。

2.2?學生分組，線上自主學習

學生分組后，針對自主學習的部分，帶著需解決的應用案例觀看指定章節(jié)的MOOC視頻或錄課視頻，參與各項線上課堂教學活動，嘗試對應用案例給出求解思路，完成課后測試。最后整理完成相關知識點的自主學習報告，同時將學習過程中遇到的問題反饋給教師。

2.3?線上活動

講中有練，練中有思。無論學生自主學習還是線下課堂教學，都借助在線教學平臺按照不同需求和目的設置了搶答、投票、隨堂練習、選人、主題討論等豐富多樣的活動，如表1所示。教師特別設置一些與待解案例相關的題目，啟發(fā)學生將所學理論知識和待解案例聯(lián)系起來。

對較難問題采用投票的形式，可有效避免學生因怕答錯而不敢作答的情況。學生可按照真實情況作答，無論對錯都可獲得課堂活動積分，這樣有助于教師了解學生的真實掌握情況。

2.4?分組任務

作為過程化考核的一部分，在教學過程中設置了三種類型的分組任務。

一類是章節(jié)思維導圖。在章節(jié)結束時，學生分組完成本章內容的思維導圖，對章節(jié)內容的進行整理總結，同時錄制講解視頻或音頻。這有助于學生理清章節(jié)內容的知識網(wǎng)絡，從而建立屬于自己的數(shù)學知識體系。

一類是學習報告。針對線上自主學習的內容學生分組完成學習報告，對相應的知識點或算法總結整理。報告內容包括：這個問題是什么、為什么提出這個問題、如何解決這個問題［6］、這個方法可以用在什么問題中等。例如，對線性方程組的直接解法章節(jié)中的三對角方程組的追趕法，學生需就什么是三對角方程組、為什么要考慮三對角方程組的求解、三對角方程組的追趕法是如何求解的、該方法能應用在哪些實際問題中等問題完成學習報告。教師應鼓勵學生對所學知識點進行自發(fā)總結、深入思考、主動拓展，理清所學知識的來龍去脈，同時錄制講解視頻。

第三類是實踐課的編程問題。學生綜合應用所學知識，完成實踐題目的程序求解，可以使學生得到數(shù)學建模、程序設計、分析數(shù)值結果、寫實驗報告等環(huán)節(jié)的綜合訓練，為后續(xù)參加數(shù)學競賽和解決實際問題打下良好的基礎。

2.5?線下課堂教學

線下課堂教學主要分兩種形式，一種以教師講授重難點知識為主，針對學生反饋的問題，通過PPT+板書等形式給出問題背景，給出嚴謹?shù)臄?shù)學推導過程，激發(fā)學生探討和提出問題。板書講授基本理論，PPT形象展示相關示意圖、結果等。最后回到應用案例的討論和求解，以學生討論、教師總結的方式給出案例求解的基本思路和具體過程。例如，在“Lagrange插值”專題，討論總結后給出前述案例1和案例2的求解過程，對案例3教師在啟發(fā)學生討論后給出該專題在二維情況下的求解思路，供學有余力的同學課后進一步學習。

另一種以學生分享學習成果為主，學生將分組完成的思維導圖、學習報告和程序實踐問題在課堂上做匯報，梳理所學知識并整理講述，教師總結點評。這些分享交流變“聽教師講”為“自己講”或“聽同學講”，激發(fā)學生參與競爭、向同伴學習的意識，提高學生的臨場反應和口頭表達能力，為將來畢業(yè)設計和工作打下基礎。

2.6?課內線上測試

最后十分鐘，對本次內容進行測試，檢驗學生的聽課情況和知識點的掌握情況。題目設置為比較基礎的類型，以選擇、填空、判斷等客觀題為主，認真預習和聽課的同學基本可以正確完成。隨堂測驗題目通過學習通等平臺直接批改，教師下課后就可以對學生知識掌握情況了然于胸。

2.7?課后線上作業(yè)

課后，教師對每堂課的教學情況通過學習通等平臺布置個性化作業(yè)，以主觀題為主，主要是當堂知識的應用，學有余力的同學可挑戰(zhàn)另設的有難度梯度的附加題。學生通過移動端設備接受消息，在規(guī)定的時間內完成作業(yè)并及時提交。對不太會的題目，學生可以通過MOOC或學習通等平臺反復觀看相應視頻，加強對未掌握知識點的進一步理解。如果仍沒有理解相關內容，學生可通過學習通等平臺和教師進一步溝通。教師通過移動端設備批改學生作業(yè)，并根據(jù)學生作業(yè)完成情況，錄制某些難題的講解視頻或在討論區(qū)發(fā)布作業(yè)中存在問題的討論。對課后測試和作業(yè)中錯誤較多的題目，教師著重進行分析和講解，及時發(fā)現(xiàn)學生的薄弱環(huán)節(jié)，彌補不足，不留知識盲區(qū)。

2.8?課后拓展資料推送

為了激發(fā)學有余力的學生進一步學習、深入思考，教師在各章節(jié)后增設了相關知識的拓展、參考資料或考研題目。例如，在Lagrange插值小節(jié)，給出多元Lagrange插值的幾種常見方法；Hermite插值小節(jié)，給出Birkhoff插值問題提出的背景和求解方法；在三次樣條小節(jié)，給出了貝塞爾樣條的定義和應用實例。

2.9?學生成績評定

為提高學生全程參與教學過程的積極性，加大學生總成績中過程化考核占比，將過程化考核權重設為40%，期末考試權重設為60%。其中，過程化考核包括出勤（5%）、作業(yè)（15%）、課堂活動積分（10%）和分組任務（10%）。每個考核環(huán)節(jié)都制定相應的考核標準，最后綜合所有考核成績計算出每個學生的總成績。

結語

在應用型本科教育背景下，融合線上線下教學優(yōu)勢，結合我校應用型人才的培養(yǎng)目標，本文提出基于應用的線上線下混合式教學模式。該模式以學生為主體，以應用為驅動，通過豐富多樣的線上課堂活動和分組任務等誘導學生發(fā)問、思考、總結和講評，從而提升教學質量，改善教學效果，培養(yǎng)學生的綜合素質。

參考文獻：

［1］陳素琴，陳雄達，王琤.傳統(tǒng)教育到智慧教育融合階段的計算數(shù)學專業(yè)課程教學改革與探索［J］.大學數(shù)學，2020，36（1）：3744.

［2］何志學.線上賦能線下混合式教學模式探討［J］.計算機時代，2021（3）：9396.

［3］魏曉峰.分析化學實驗慕課國家精品課程線上線下的混合教學模式［J］.化工教研，2021（2）：4950.

［4］邵新慧，馮男，史大濤.基于課程思政的數(shù)值分析教學探究［J］.遼寧教育行政學院學報，2020（5）：2729.

［5］許建強.數(shù)學實驗與數(shù)學建模課程教學改革與實踐［J］.高師理科學刊，2018（38）：5962.

［6］李俊玲，安玉蓮.“數(shù)值分析”課程教學改革的思考與建議［J］.教育現(xiàn)代化，2019（24）：6264.

基金項目：2021年上海高校市級重點課程（10110M?231008A22）

作者簡介：李俊玲（1980—?），女，漢族，山西平遙人，博士研究生，講師，從事數(shù)值計算、數(shù)學建模等研究。