文｜沈群根

基于學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是很有價(jià)值的一種學(xué)習(xí)方式，這種學(xué)習(xí)方式具有統(tǒng)整性和關(guān)聯(lián)性，是學(xué)生對(duì)于這個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行整體關(guān)聯(lián)后，主動(dòng)構(gòu)建學(xué)習(xí)的過(guò)程。結(jié)構(gòu)化視角下的深度學(xué)習(xí)是針對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)中的淺學(xué)習(xí)、被學(xué)習(xí)、虛學(xué)習(xí)而提出的一種全新的學(xué)習(xí)方式，它是一種更高階的學(xué)習(xí)思維，能夠促使學(xué)生向數(shù)學(xué)更本質(zhì)的深處進(jìn)行探究。在具體研究的過(guò)程中，指向結(jié)構(gòu)化思維培育的“三研”策略的整體框架如下：

一、入研三點(diǎn)，結(jié)構(gòu)化思維留痕

（一）基于疑問(wèn)，走向思維萌點(diǎn)

在知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)入時(shí)，我們將“疑”做大做足，有了疑問(wèn)才能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，點(diǎn)燃思維的火苗?！皥A的面積”我是這樣設(shè)疑導(dǎo)入的：圓和我們以前學(xué)習(xí)的幾何圖形不同的是：長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形都是由直線段圍成的，而圓是由曲線圍成的。古埃及人把它看成是神賜予人的神圣圖形，如何求圓的面積，當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為既然正方形的面積容易求，只需要想辦法做出一個(gè)面積恰好等于圓面積的正方形，即化圓為方。這樣的導(dǎo)入能讓學(xué)生了解圓面積推導(dǎo)過(guò)程的歷史，并讓他們站在前人的肩膀上，基于疑問(wèn)，走向思維萌點(diǎn)，激起學(xué)生挑戰(zhàn)欲望。

（二）自主判斷，經(jīng)歷思維生點(diǎn)

沿著數(shù)學(xué)家研究的路徑，學(xué)生有了思維的起點(diǎn)。我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家祖沖之，從圓內(nèi)接正六邊形入手，讓邊數(shù)成倍增加，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓面積。古希臘的數(shù)學(xué)家，從圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形同時(shí)入手，不斷增加它們的邊數(shù)，從里外兩個(gè)方面去逼近圓面積。古印度的數(shù)學(xué)家，采用類(lèi)似切西瓜的辦法，把圓切成許多小瓣，再把這些小瓣對(duì)接成一個(gè)長(zhǎng)方形，用長(zhǎng)方形的面積去代替圓面積。在課堂上讓學(xué)生對(duì)比以上三個(gè)方案，哪個(gè)方案更容易操作。筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生采用了古印度數(shù)學(xué)家的方法，于是讓學(xué)生拿出學(xué)具，兩人合作，分一分，剪一剪，拼一拼，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形。這樣讓學(xué)生通過(guò)自主判斷，動(dòng)手操作，經(jīng)歷思維生點(diǎn)。

（三）創(chuàng)造綜合，構(gòu)建思維支點(diǎn)

在借鑒方法的基礎(chǔ)上，回歸教材，書(shū)本上采用的也是把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形：分的份數(shù)越多，每一份就會(huì)越小，拼成的圖形就會(huì)越接近于長(zhǎng)方形。從圖形中可以看出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)近似于圓周長(zhǎng)的一半，寬近似于圓的半徑。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以圓的面積=πr×r=πr2。

教師引導(dǎo)學(xué)生將已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)自主遷移到新問(wèn)題的探究解決過(guò)程中，既可完善學(xué)生原有的認(rèn)知，又可以打通和發(fā)展數(shù)學(xué)的方法結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)以及策略結(jié)構(gòu)。創(chuàng)造綜合，構(gòu)建了學(xué)生思維的支點(diǎn)，從而推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式。

二、著研三向，結(jié)構(gòu)化思維無(wú)形

（一）從學(xué)到用，思維結(jié)構(gòu)有趣

既然圓可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，那么能不能轉(zhuǎn)化成三角形或梯形呢？（讓學(xué)生利用學(xué)具試一試、剪一剪、拼一拼）

把圓轉(zhuǎn)化成三角形，把16 個(gè)小扇形想象成16個(gè)近似等腰三角形，把它們擺成一個(gè)大的等腰三角形。三角形的底接近圓周長(zhǎng)的四分之一，三角形的高接近于4r，因?yàn)槿切蔚拿娣e=底×高÷2，所以圓的面積

把圓轉(zhuǎn)化成梯形：把16 個(gè)小扇形想象成16 個(gè)近似等腰三角形，把它們擺成一個(gè)的梯形。上底是3個(gè)弧長(zhǎng)，下底是5 個(gè)弧長(zhǎng)，高相當(dāng)于2 個(gè)半徑。根據(jù)梯形面積=（上底+下底）×高÷2，算出這個(gè)近似梯形的面積：

（3 個(gè)弧長(zhǎng)+5 個(gè)弧長(zhǎng)）×2r÷2

=8 個(gè)弧長(zhǎng)×2r÷2=16 個(gè)弧長(zhǎng)×r÷2=圓周長(zhǎng)×r÷2=2πr×r÷2=πr2

俗話說(shuō)：“授之以魚(yú)，不如授之以漁?！苯Y(jié)構(gòu)化思維方法可以為學(xué)生舉一反三、觸類(lèi)旁通創(chuàng)造條件。轉(zhuǎn)化和建模等都是小學(xué)階段常用的思想方法，這些方法的學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，需要教師在教學(xué)中有意地滲透。從學(xué)到用，用多點(diǎn)思維使結(jié)構(gòu)更有趣，溝通圓與前面學(xué)過(guò)的平面圖形的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)實(shí)踐與應(yīng)用的整體構(gòu)建。

（二）從探到建，平臺(tái)搭建有意

古希臘的數(shù)學(xué)家研究的是圓與內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形，它們之間又有什么聯(lián)系呢？我們要研究圓和正多邊形的聯(lián)系，你覺(jué)得我們應(yīng)該從研究圓和正幾邊形著手呢？學(xué)生一致認(rèn)為從正方形入手，遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的原則。教師先讓學(xué)生先利用圓規(guī)和尺子畫(huà)一畫(huà)這幅圖，先把平臺(tái)搭建起來(lái)，建好模。

師：假設(shè)圓的半徑為1 cm，你能求出外切正方形的面積和內(nèi)接正方形的面積嗎？

生：圓的面積是π cm2，外切正方形的面積是4 cm2，內(nèi)接正方形的面積是2 cm2。

師：假設(shè)圓的半徑為r cm2呢？

生：圓的面積是πr2cm2，外切正方形的面積是4r2cm2；內(nèi)接正方形的面積是2r2cm2。

在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生通過(guò)自我探索，搭建模型，合作交流，體驗(yàn)數(shù)學(xué)事實(shí)，從而有效地培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維。

（三）從教材到資源，創(chuàng)造性使用有法

通過(guò)分割與轉(zhuǎn)化，借助模型，在變與不變中，找出聯(lián)系與區(qū)別，學(xué)生品味到了建模和探究的魅力。在探究的過(guò)程中，哪些量變了，怎么變化的，哪些量沒(méi)有變，正是我們探究的最終目的。從教材到資源，創(chuàng)造性設(shè)計(jì)練習(xí)，并將習(xí)題悟透、學(xué)透。

1.“已知圓的直徑為6 cm，求這個(gè)圓的面積”，在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，有一位學(xué)生根據(jù)圓面積公式的推導(dǎo)過(guò)程分步求出結(jié)果。請(qǐng)你幫助這位同學(xué)補(bǔ)上第三步算式。第一步：3.14×6=18.84（cm），第二步：18.84÷2=9.42（cm），第三步（ ）

A．9.42×6 B.9.42×3.14

C.9.42×（6÷2） D.18.84×（6÷2）

2.把圓平均分成若干偶數(shù)等份，剪下來(lái)拼一拼，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，在拼的過(guò)程中（ ）不變，（ ）變了。

教師創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)練習(xí)來(lái)促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，來(lái)幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化、思維結(jié)構(gòu)化、策略結(jié)構(gòu)化，并促進(jìn)思維全面提升。

三、回研三處，結(jié)構(gòu)化思維相連

數(shù)學(xué)知識(shí)在教材中以一定的結(jié)構(gòu)分布排列，各知識(shí)間既有個(gè)性又有共性，緊抓素材背后的共性知識(shí)進(jìn)行探究，可達(dá)到知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同生共長(zhǎng)。在學(xué)習(xí)六年級(jí)上冊(cè)“圓的面積”的基礎(chǔ)上，六年級(jí)下冊(cè)又安排了“圓柱和圓錐”，嘗試?yán)^續(xù)建模，挖掘?qū)W生思維的深度和廣度。

（一）聯(lián)結(jié)處——教學(xué)溝通聯(lián)系

圓柱的表面積指的是圓柱的側(cè)面積+兩個(gè)底面的面積。圓柱的側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱底面的周長(zhǎng)C，長(zhǎng)方形的寬是圓柱的高h(yuǎn)，所以圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高=Ch；兩個(gè)底面是圓，所以面積之和是2πr2?？傊瑘A柱的表面積=Ch+2πr2。

在學(xué)習(xí)了圓柱表面積的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了以下練習(xí)：求圓柱的表面積：（1）底面周長(zhǎng)是1.6 米，高是0.7米；（2）底面半徑是3.2 分米，高是5 分米。學(xué)生練習(xí)后，我統(tǒng)計(jì)了一下學(xué)生的答題情況，正確率只有35%，于是我利用課件把圓柱表面積的三部分整合在一起，形成了以下模型，如圖2 所示：圓柱的表面積=大長(zhǎng)方形面積。這個(gè)大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)正好是圓的周長(zhǎng)C，寬近似于h+r，S=C（h+r），即S=2πr（h+r）。

圖2

對(duì)所建立模型進(jìn)行闡述之后，學(xué)生還需要對(duì)所得的模型進(jìn)行分析和檢驗(yàn)：圓柱的表面積=圓柱的側(cè)面積+兩個(gè)底面的面積=Ch+2πr2=2πr×h+2πr2=2πr（h+r）。

應(yīng)用：對(duì)模型的分析要分為兩部分進(jìn)行考慮，模型有哪些優(yōu)點(diǎn)、哪些缺點(diǎn)呢？

教師讓學(xué)生用新方法繼續(xù)練一練上面的兩道練習(xí)題。學(xué)生計(jì)算后，都直呼“簡(jiǎn)單”?？梢?jiàn)學(xué)生已實(shí)現(xiàn)了原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的一次充盈，完善了自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。對(duì)于計(jì)算圓柱的表面積不再恐懼，計(jì)算正確率更高。

（二）區(qū)別處——教學(xué)回顧審辯

在教學(xué)中，我們需要及時(shí)回顧與反思，以免以偏概全。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀中指出：作為一名有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，不能只知道教會(huì)學(xué)生如何計(jì)算，而應(yīng)教會(huì)學(xué)生掌握更廣泛的知識(shí)和技能，如處理數(shù)據(jù)信息。培養(yǎng)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生，教師可以在習(xí)題信息上巧設(shè)計(jì)，讓學(xué)生解決不同類(lèi)型的題目，可以更多地體會(huì)解題思想，盡可能讓學(xué)生多一扇獲取知識(shí)的“窗戶”。讓學(xué)生看人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第21 頁(yè)的例題4，提問(wèn)：這頂帽子的面料我們要計(jì)算哪些部分呢？只需要求圓柱的側(cè)面和一個(gè)上底面，即只能用圓柱的側(cè)面積+一個(gè)圓的面積來(lái)計(jì)算。如圖3 所示。

圖3

在教學(xué)中，及時(shí)教學(xué)回顧與審辯，可使學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)題型的多變性、構(gòu)建面積知識(shí)體系，讓學(xué)生運(yùn)用學(xué)到的知識(shí)解決不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（三）伸展處——思維拓展提升

好的活動(dòng)教學(xué)力求設(shè)計(jì)求變，方法求變。變玩法、變信息、變模型、變圖形、變思路等在變中發(fā)現(xiàn)不變，感悟知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)的不變。在“模型—練習(xí)”這樣的循環(huán)中，模型結(jié)構(gòu)得以固化，形成了解決這一類(lèi)題目的方法、策略、結(jié)構(gòu)。

這張圖是圓柱的表面積展開(kāi)圖，求圓柱的表面積。

圖4 是一張圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，讓學(xué)生找一找它的長(zhǎng)、寬和圓的半徑有什么聯(lián)系。經(jīng)過(guò)小組合作討論后發(fā)現(xiàn)：如果圓的半徑用字母r 表示，寬即圓柱的高，可以用4r 表示，長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)+2 條半徑（2πr+2r）。根據(jù)已知的條件得出2πr+2r=10.28，我們就可以求出它的半徑，圓柱的表面積就迎刃而解了。

圖4

知識(shí)的不斷輸出、遷移、迭代，提出新策略的過(guò)程就是知識(shí)內(nèi)化、方法優(yōu)化的過(guò)程，學(xué)生的能力結(jié)構(gòu)也在逐漸形成，思維得到了進(jìn)一步拓展與提升。教師要將眾多要素進(jìn)行整體性的關(guān)聯(lián)，充分考慮學(xué)生已掌握什么樣的知識(shí)，其自身具備什么樣的能力，從而更大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的積極性，讓學(xué)生利用課程中已有的知識(shí)，關(guān)聯(lián)已有的知識(shí)解決問(wèn)題，形成新的知識(shí)與能力，把數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)放在各要素整體系統(tǒng)的運(yùn)行上，使其成為一個(gè)結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)系統(tǒng)。

對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，教師仍需要不斷進(jìn)行探索和實(shí)踐，以此來(lái)符合當(dāng)下對(duì)于優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)的需求，也是對(duì)數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的追求。教學(xué)中，教師要將知識(shí)在整體上進(jìn)行融合，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，從而促使學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。