許競文

【摘? 要】? 數(shù)學是一個知識學習的過程，也是一個思想方法積累與解決問題能力培養(yǎng)的過程.在數(shù)學教學中，采用一個合適的方法往往會得到事半功倍的效果，尤其是面對復雜的問題時，唯有選擇合適的思維方法，才能建構清晰的解題思路，從而解決問題.教師把數(shù)學知識相互融合，借助信息技術的手段，將化歸思想方法滲透入教學中，有助于學生更好地理解數(shù)學知識，解決數(shù)學問題.

【關鍵詞】? 高中數(shù)學；化歸思想；課堂教學

1? 化歸思想的概念與原則

著名數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》一書中提出，教師可以通過對學生提問來引導學生尋找已知數(shù)據(jù)與未知量之間的關系.“你知道一道與它相關的題目嗎？你知道一條可能有用的定理嗎？觀察未知量！并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或者相似未知量的題目.這里有一道題目和你的題目有關而且以前解過[1].”人們在解決問題時，如果直接應用已有知識不能有效地解決問題，往往會將問題進行不斷地分解與轉(zhuǎn)化，將它們轉(zhuǎn)化成已知的、熟悉的、簡單的形式，最終實現(xiàn)問題的解決.這種思想方法叫做化歸思想，它是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱.化歸不僅是一種解決問題的重要方法，還是一種基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學思維方法.其研究思路如圖1.

圖1

化歸思想方法的實質(zhì)就是利用已有的、基本的、具體的知識，將未知的、復雜的、抽象的知識轉(zhuǎn)化為具體、常規(guī)、簡單的問題，進而解決問題，其基本原則如下.

1.1? 熟悉化原則

熟悉化原則也就是將陌生問題轉(zhuǎn)化成熟悉問題的原則，利用已有的知識及經(jīng)驗，將問題不斷分解、調(diào)整、擴充.

1.2? 簡單化原則

簡單化原則也就是將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的原則，通過換元、降次、特殊化等手段，將問題不斷簡化.

1.3? 直觀化原則

直觀化原則也就是把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體、形象、直觀的問題的原則，通過數(shù)形結(jié)合、構造等方法，使得問題更加便于理解[2].

1.4? 特殊化原則

特殊化原則也就是把一般的、普遍的問題轉(zhuǎn)化為極端的、特殊的情況，從這些情況中獲得啟示，從而解決問題的原則.

2? 化歸思想運用于函數(shù)教學中的意義分析

2.1? 滲透融合，加強函數(shù)知識聯(lián)系

在化歸思想影響下，學生整合運用已掌握的知識，構建完整的函數(shù)知識體系.數(shù)學教師對函數(shù)知識內(nèi)容進行串聯(lián)式教學，側(cè)重性地強化學生對各個函數(shù)知識板塊的整合能力，使學生形成函數(shù)知識整合使用的意識，以確保學生在日常學習中能夠進行函數(shù)知識內(nèi)容的化歸，進而達到發(fā)揮化歸思想對于強化函數(shù)知識內(nèi)容聯(lián)系的目的.

2.2? 拓展延伸，鍛煉學生思維能力

化歸思想不僅對學生的函數(shù)知識板塊聯(lián)系作出了化歸要求，還明確要求學生將解題方法、思維模式等進行混合使用，這就需要學生思維上更加貼切函數(shù)學習的發(fā)展要求，具備一定的函數(shù)信息處理能力，能夠靈活調(diào)度使用各種解題方法，而這些能力的發(fā)展無形中也會帶動學生函數(shù)思維能力的發(fā)展，使學生的函數(shù)視野不只是局限于課本教材的函數(shù)知識，能夠涉及更為廣闊的函數(shù)知識世界[3].

2.3? 化難為易，降低學生學習壓力

相較于傳統(tǒng)的函數(shù)學習模式，在化歸思想的加持輔助之下，學生實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、化未知為已知、復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題等函數(shù)解題策略的高效運用，完成了函數(shù)學習的舉一反三，一定程度上降低了函數(shù)學習對于學生思維能力的要求，使得函數(shù)知識更為容易地被學生接受，而學生自然而然就不會再懼怕函數(shù)學習，相反地，學生會以更加積極主動的姿態(tài)參與到函數(shù)學習中，教師也通過“化歸思想”的運用減輕了學生函數(shù)學習的身心壓力.

3? 化歸思想函數(shù)教學中的應用

函數(shù)表示了一種變量之間的對應關系，它是研究絕大多數(shù)數(shù)學分支的重要工具，也是研究其他學科的一大有力工具.函數(shù)與人們的生活息息相關，它是一種高效的思維方式，掌握函數(shù)及函數(shù)的思想方法，有助于更好地分析問題、解決問題.函數(shù)滲透整個數(shù)學課程的學習，也是高等數(shù)學的基礎.在學科交叉的背景下，教師通過與其他科目的融合，借助信息技術的手段，將化歸思想方法滲透入函數(shù)教學中，有助于學生更好地理解函數(shù)的知識，解決函數(shù)學習中遇到的問題.

3.1? 學科知識點的串聯(lián)與融合

函數(shù)的知識點繁多、具有很強的抽象性，不僅是解決問題的重要模型，也是提高學生核心素養(yǎng)的基本載體.教師在函數(shù)教學過程中，需要建立各個函數(shù)知識點之間的關聯(lián)，尤其是在后續(xù)函數(shù)的教學中，需要帶領學生不斷回顧、復習先前所學的函數(shù)知識，將新的問題轉(zhuǎn)化為已知問題，從而促進新問題的解決.

此外，教師需要在教學中將知識進行分類、歸納、總結(jié)，可以借助思維導圖實現(xiàn)新舊知識的關聯(lián).思維導圖又叫心智導圖，它利用圖形及網(wǎng)狀結(jié)構，把各級主題的關系形象地表示出來，將知識整合、優(yōu)化，充分利用左右腦的技能，有助于記憶知識及培養(yǎng)發(fā)散性思維.通過思維導圖把從屬的知識串成線，把相鄰的知識連成面，將知識以框架形式呈現(xiàn)給學生，以便于學生形象直觀地看到各個知識點之間的關聯(lián)，形成完整的知識體系，在解決問題的過程中從頭腦中的知識體系中抽取相應的知識，實現(xiàn)問題的化歸.

3.2? 正向與反向的轉(zhuǎn)化

在函數(shù)教學中，存在許多無法從正面解決或者從正面解決比較復雜的問題.所謂正難則反，當許多函數(shù)問題無法從正面進行解決時，可以按照給定條件從反向進行思考，將正向問題化歸為反向問題，實現(xiàn)正向與反向的轉(zhuǎn)化.

反證法是函數(shù)中常用的一種解決問題的方法.通過判斷反向論題的虛假，推出矛盾，可以間接證明原命題的正確性.牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦?”一般來講，反證法常用來證明正面證明有困難，情況多或復雜，而命題的否定則比較淺顯的題目，問題可能解決得十分干脆.也就是說，將一些比較難以解決的正向問題，通過化歸思想方法，轉(zhuǎn)化為先證明反向問題的錯誤，進而推出正向問題的正確性[4].

例如? 在三角函數(shù)周期性的學習中，教師提出是正弦函數(shù)的最小正周期.在實際教學中，由于課時限制以及學生理解水平的差異，部分教師往往會直接向?qū)W生闡明上述結(jié)論，而忽視該命題的證明，這剝奪了學生對過程與方法的體驗，不利于學生邏輯推理能力的發(fā)展.事實上，運用反證法很容易證明上述結(jié)論：根據(jù)誘導公式，可以推得是正弦函數(shù)的周期，再運用反證法，通過舉反例即可推得是正弦函數(shù)的最小正周期.

3.3? 函數(shù)問題與其他學科問題的互相轉(zhuǎn)化

函數(shù)表示了一種變量之間的對應關系，它是研究絕大多數(shù)數(shù)學分支的重要工具，也是研究其他學科的一大有力工具.函數(shù)與人們的生活息息相關，它是一種高效的思維方式，也與其他數(shù)學分支有著千絲萬縷的聯(lián)系.通過對函數(shù)問題與幾何問題、代數(shù)問題等等，可以實現(xiàn)問題的簡化，從而促進問題的解決，也可以給予學生思考問題的不同角度，促進學生發(fā)散性思維的發(fā)展.

面對一些比較復雜的函數(shù)問題，可以將其轉(zhuǎn)化為幾何問題.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”數(shù)學中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，通化歸思想方法，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.

例如? 求函數(shù)的最小值，此問題可以將上述函數(shù)表達式進行配方，轉(zhuǎn)化為求的最小值，根據(jù)兩點間距離公式，也就是求到距離的最小值.最后，本問題可以通過不斷變形，化歸為求到拋物線上的點的距離的最大值，利用幾何性質(zhì)進行求解.這樣把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，實現(xiàn)了問題的簡化.

又如，在學習空間向量的時候，教師需引導學生利用函數(shù)思想解決空間向量問題，尤其是在求法向量、平行向量時，常常會運用函數(shù)與方程的思想進行求解，將幾何條件化歸為代數(shù)條件，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與簡化.

3.4? 函數(shù)主元的轉(zhuǎn)化

數(shù)學問題涉及多變元時通常難度較大，這時候可以進行常量和變量的化歸，將函數(shù)中的常數(shù)或者參數(shù)當成“主元”，把函數(shù)中的其他變量當做“參數(shù)”，通過減少變元來簡化運算.尤其是在解決含參變量的函數(shù)、含多個變量的函數(shù)以及曲線方程的問題時，常常需要轉(zhuǎn)換主元，通過化歸思想方法實現(xiàn)問題的簡化[5].

例如? 求使得對于滿足-2＜m＜-1的所有實數(shù)m，不等式恒成立的x的范圍.本問題若將x看成主元，m看做參數(shù)，是一道一元二次不等式的問題，而若將m看成變量，x看做參數(shù)，則可以化歸為一元一次不等式的問題，實現(xiàn)了問題的簡化.因此，通過變換主元，尤其是把已知范圍的參數(shù)作為主元，化歸為已知參數(shù)范圍求解問題，可以促進問題的順利解決.

3.5? 現(xiàn)代信息技術與教學的融合

隨著現(xiàn)代技術的不斷發(fā)展，數(shù)學課堂的形式也在不知不覺中發(fā)生了重大的轉(zhuǎn)變，把現(xiàn)代技術引入課堂教學是一種必然的趨勢.通過現(xiàn)代技術，可以大大簡化繁瑣的運算，給數(shù)學課堂注入活力.

圖形計算器是一個很好的教學工具，通過圖形計算器，可以讓學生動手操作，經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”數(shù)學規(guī)律的過程，使得抽象繁瑣的數(shù)學運算變得簡單、自然，提高課堂效率.并且通過圖形計算器，學生可以主動地探究數(shù)學知識，實現(xiàn)“歸納先導，演繹跟進”的原理.

4? 結(jié)語

教師需要在日常教學中通過串聯(lián)知識點、正反向轉(zhuǎn)化、函數(shù)與其它問題的轉(zhuǎn)化、函數(shù)主元的轉(zhuǎn)化，不斷滲透化歸思想方法，讓學生在化歸思想方法的學習與實踐中從最初的模仿，到自己理解化歸思想方法，進而掌握、靈活運用化歸思想方法，將復雜的問題進行不斷地分解與轉(zhuǎn)化，將它們轉(zhuǎn)化成已知的、熟悉的、簡單的形式，從中學會發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題.

教師在教學過程中，不僅僅需要講授知識與解題技能、方法，更需要不斷滲透數(shù)學思想方法，幫助學生學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，進而促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.數(shù)學教學應當進一步深化歸思想的函數(shù)教學滲透，通過化函數(shù)為圖形、化正面為反面、題根轉(zhuǎn)化等多種策略來落實化歸思想的運用，發(fā)揮化歸思想函數(shù)增效的功能，使每一個高中生的數(shù)學函數(shù)知識素養(yǎng)、思維能力、解題技巧等都能夠?qū)崿F(xiàn)全方位成長.

參考文獻：

[1]波利亞（美）.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?011.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]周曉琳.數(shù)學化歸思想的培養(yǎng)[J].數(shù)學教學通訊，2015（12）：45-46.

[4]王艷輝.例談數(shù)學化歸的思維[J].成功（教育），2013（22）：91.

[5]李躍勝.學科融合背景下提高數(shù)學教學內(nèi)容真實性初探[J].黑河教育，2022（11）：50-52.