袁良同

(廬江縣樂橋鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 安徽合肥 231500)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱課標(biāo))在“課程理念”“學(xué)業(yè)質(zhì)量”“課程實(shí)施”中強(qiáng)調(diào)“教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化”,為一線數(shù)學(xué)教師實(shí)施新課程教學(xué)指明方向:建議“推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)”,幫學(xué)生“用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題,形成科學(xué)的思維習(xí)慣,發(fā)展核心素養(yǎng)”。據(jù)此,課題組針對(duì)數(shù)學(xué)教材以章(單元)節(jié)(小單元)編排的結(jié)構(gòu)特征,在初中“圖形與幾何”領(lǐng)域進(jìn)行單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)實(shí)踐研究,進(jìn)而提煉出“三階段六環(huán)節(jié)”教學(xué)模式。下面簡(jiǎn)介該模式,并以人教版八上“三角形的內(nèi)角和”一課為例,說明該模式的具體實(shí)施。

一、單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)內(nèi)涵

單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)是站在系統(tǒng)的高度,跳出知識(shí)點(diǎn)的“散點(diǎn)”式課時(shí)框架,基于教材知識(shí)序、學(xué)生認(rèn)知序?qū)⒘闵⒌闹R(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián),并選擇適切的方法和路徑予以實(shí)施。具體實(shí)施時(shí),教師指導(dǎo)學(xué)生從整體上把握教材結(jié)構(gòu),講清楚知識(shí)的來龍去脈(教結(jié)構(gòu));在“單元-課時(shí)”教學(xué)實(shí)踐中,學(xué)習(xí)概念、定理、公式、法則及彼此間聯(lián)系,掌握學(xué)習(xí)的方法(學(xué)結(jié)構(gòu));再讓學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)儲(chǔ)備和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),用已掌握的方法去自主學(xué)習(xí)其他內(nèi)容(用結(jié)構(gòu))。

二、“三階段六環(huán)節(jié)”課堂教學(xué)模式簡(jiǎn)介

“三階段”指一節(jié)課的實(shí)施過程,在信息技術(shù)環(huán)境下進(jìn)行課前學(xué)情研判、課中新知生成、課后鞏固復(fù)習(xí)的一體化教學(xué)。課前,教師根據(jù)課標(biāo)和對(duì)學(xué)情的預(yù)判,提前設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)草案,利用班級(jí)小管家或問卷星發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)和檢測(cè)練習(xí),再根據(jù)課前檢測(cè)來分析學(xué)情,調(diào)整教學(xué)目標(biāo),完善教學(xué)設(shè)計(jì)。課中,教師實(shí)施以學(xué)習(xí)者為中心的“六環(huán)節(jié)”教學(xué),在框圖啟學(xué)、情境誘導(dǎo)、建構(gòu)活動(dòng)、鞏固運(yùn)用、歸納總結(jié)和作業(yè)布置六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行師生合作、生生交流,注重課堂的生成性。課后,教師根據(jù)作業(yè)反饋來評(píng)估教學(xué)效果,針對(duì)出錯(cuò)較多的知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)補(bǔ)償性練習(xí),利用課后延時(shí)服務(wù)時(shí)間進(jìn)行精準(zhǔn)輔導(dǎo);對(duì)于個(gè)別性錯(cuò)誤,教師利用課余碎片時(shí)間實(shí)施個(gè)性化指導(dǎo)。

三、教學(xué)實(shí)施案例

人教版八上第十一章三角形由3個(gè)小單元組成,教材計(jì)劃用6課時(shí)進(jìn)行三角形的概念和性質(zhì)學(xué)習(xí),再用2課時(shí)通過類比三角形來探究四邊形的相關(guān)概念、內(nèi)角和與外角和。本章是前面所學(xué)知識(shí)的延伸,又是后續(xù)學(xué)習(xí)全等三角形、四邊形、相似三角形、三角函數(shù)的基礎(chǔ)。本章重點(diǎn)是三角形有關(guān)的線段及角;難點(diǎn)為三角形內(nèi)角和、外角和定理的證明與多邊形內(nèi)角和、外角和的探究,綜合運(yùn)用所學(xué)解決角的計(jì)算與證明問題。

本節(jié)課所授“三角形的內(nèi)角和”是三角形內(nèi)角的一個(gè)重要性質(zhì),也是后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)平面幾何的基礎(chǔ),到了高中將推廣到空間多面體平面角內(nèi)角和、多面角截面上閉折線的方向改變量的探索。課標(biāo)要求“理解三角形及其內(nèi)角、外角等概念,探索并證明三角形的內(nèi)角和定理”,能夠運(yùn)用結(jié)論來解決問題。知識(shí)結(jié)構(gòu)上,遵循“概念(定義、表示、分類)→性質(zhì)與判定→圖形關(guān)系”的圖形與幾何研究的一般路徑;方法和素養(yǎng)上,滲透類比、化歸等思想方法,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理和幾何直觀能力。根據(jù)以上分析,課堂教學(xué)具體實(shí)施如下。

(一)課前學(xué)情研判

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)和課前檢測(cè)練習(xí)。

(2)畫一任意△ABC,剪下∠B、∠C,分別拼到∠A的左右拼成平角,你能想到哪些拼法?

(3)將“三角形的內(nèi)角和是180°”這一命題寫成已知、求證和證明的形式,試著證一證。

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)情分析是課堂教學(xué)的水之源、木之根。課前借助班級(jí)小管家或問卷星進(jìn)行學(xué)情調(diào)研,同時(shí)幫學(xué)生養(yǎng)成自主預(yù)習(xí)的習(xí)慣。教師根據(jù)檢測(cè)反饋來了解學(xué)情,調(diào)整預(yù)定的教學(xué)目標(biāo),確定課堂教學(xué)思路和流程。通過學(xué)情研判,教師確定本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)是“探索并證明三角形的內(nèi)角和定理,在規(guī)范證明中體會(huì)證明的必要性”,教學(xué)的難點(diǎn)為“學(xué)習(xí)輔助線的添加方法及作用”。

(二)課堂教學(xué)流程

1.框圖啟學(xué),把握知識(shí)結(jié)構(gòu)

課件出示單元知識(shí)框圖(圖1),重溫已學(xué)習(xí)的三角形的相關(guān)概念、三邊之間關(guān)系和三角形的穩(wěn)定性,本節(jié)課將學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角的一個(gè)重要性質(zhì)。(揭題板題)

有時(shí)再談得遠(yuǎn)一點(diǎn)，就是表姊表妹之類訂了婆家，或是什么親戚的女兒出嫁了。或是什么耳聞的，聽說的，新娘子和新姑爺鬧別扭之類。

圖1

設(shè)計(jì)意圖:在單元整體中把握新舊知識(shí)間的邏輯關(guān)聯(lián),發(fā)揮知識(shí)框圖的“導(dǎo)學(xué)”功能,讓學(xué)生站在系統(tǒng)的高度去掌握教材的邏輯、結(jié)構(gòu)和體系;后續(xù)在結(jié)構(gòu)框架下推進(jìn)課堂,讓學(xué)生對(duì)已學(xué)習(xí)的內(nèi)容、正在學(xué)習(xí)的內(nèi)容和將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容做到心中有數(shù),滲透單元整體思想。

2.實(shí)驗(yàn)操作,創(chuàng)設(shè)推理情境

(1)學(xué)生匯報(bào)小學(xué)時(shí)采用的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法,感知度量、剪拼的局限性,達(dá)成共識(shí):實(shí)驗(yàn)所得結(jié)論沒有說服力,需要通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉M(jìn)行證明。

(2)希沃視頻展臺(tái)展示剪拼方法,學(xué)生結(jié)合拼圖匯報(bào):共有6種拼法,以下3種拼法能給證明提供思路(圖2)。

圖2

師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察并分析,剪拼的目的是改變∠B和∠C的位置,將三個(gè)內(nèi)角在頂點(diǎn)A處拼成一個(gè)平角,現(xiàn)在可以利用平行線的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)角的位置變換。認(rèn)真觀察拼圖,從中找尋證明的思路和方法,抽象得到3種添加輔助線的方法。(圖3)

圖3

圖4

設(shè)計(jì)意圖:七年級(jí)下學(xué)期到八年級(jí)上學(xué)期是實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡階段,學(xué)生以小學(xué)階段的具體形象思維為主逐步過渡到以抽象思維為主,七年級(jí)下冊(cè)“命題、定理、證明”的學(xué)習(xí)為演繹推理、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維奠定基礎(chǔ)。課堂注意中小學(xué)銜接,學(xué)生在直觀形象的動(dòng)手操作中認(rèn)識(shí)到度量法、剪拼法均存在誤差,感悟演繹證明的必要性、嚴(yán)謹(jǐn)性和普適性。學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中獲得經(jīng)驗(yàn),在反思操作過程中上升到理論高度進(jìn)行深層探究,自然生成添加輔助線的思路和方法,感悟輔助線在幾何證明中的重要性,破解課堂教學(xué)的難點(diǎn)。

3.新知構(gòu)建,訓(xùn)練規(guī)范證明

追問1:結(jié)合圖3中(1)的輔助線添加方法,你能寫出已知、求證和證明過程嗎?

師生活動(dòng):學(xué)生口頭回答,教師板書示范,合作完成推理過程,知曉這是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯所采用的方法。

追問2:你能根據(jù)圖3中(2)、(3)的輔助線添加方法,條理清晰地寫出證明過程嗎?

師生活動(dòng):學(xué)生借鑒板書,自行完成歐幾里得證法證明過程,教師投影展示規(guī)范書寫。

追問3:看到“180°”,你還能想到什么角?你還能用其他方法來證明此定理嗎?

師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考、組內(nèi)交流怎樣將三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為同旁內(nèi)角,匯報(bào)不同的輔助線添加方法和證明思路,教師適時(shí)點(diǎn)撥克萊羅和普羅克拉斯的證法。

(板書三角形內(nèi)角和定理,結(jié)合圖形將定理轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言。)

小結(jié):添加平行線的方法大致相同,初中各版教材多采用畢達(dá)哥拉斯和歐幾里得的證法;有興趣的同學(xué)課后可查閱與三角形內(nèi)角和有關(guān)的數(shù)學(xué)史,自主探究其他證明方法。

設(shè)計(jì)意圖:將數(shù)學(xué)史融入課堂,與數(shù)學(xué)家們隔空對(duì)話,感受定理發(fā)現(xiàn)的曲折歷程,體驗(yàn)豐富的人文與歷史底蘊(yùn)。經(jīng)歷嚴(yán)格的邏輯推理證明,幫學(xué)生感悟幾何證明的意義,在規(guī)范的書寫表達(dá)中體會(huì)證明的邏輯性和規(guī)范性,學(xué)習(xí)輔助線的不同添加方法,鼓勵(lì)學(xué)生在活動(dòng)探究中積極思考、交流表達(dá)。在輔助線的添加和證明方法的學(xué)習(xí)中,訓(xùn)練學(xué)生用符號(hào)語言規(guī)范表述,建立文字、符號(hào)和圖形三種語言之間的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4.歸納總結(jié),提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

師生對(duì)照板書,共同回顧本節(jié)課所學(xué),請(qǐng)學(xué)生回答以下問題:

(1)回顧本節(jié)課的教學(xué)流程。

(2)梳理所學(xué)知識(shí)和方法。

(3)提煉數(shù)學(xué)思想和核心素養(yǎng)。

(4)回歸知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖,明確已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容,下節(jié)課將要學(xué)習(xí)什么。

設(shè)計(jì)意圖:歸納總結(jié)是課堂教學(xué)的關(guān)鍵一環(huán),起到梳理課堂所學(xué)和激起學(xué)生思維高潮的作用,激發(fā)學(xué)生對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的強(qiáng)烈渴望。該環(huán)節(jié)放手讓學(xué)生自主進(jìn)行結(jié)構(gòu)化梳理,從“學(xué)習(xí)過程”中獲得“知識(shí)方法”,再提煉出“思想觀念”,最后回到“結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖”,在單元整體中構(gòu)建學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng),提醒學(xué)生預(yù)習(xí)直角三角形的兩銳角之間關(guān)系,進(jìn)行知識(shí)的類比遷移。如此處理,課堂教學(xué)始終在結(jié)構(gòu)框架下推進(jìn),學(xué)生能夠把握知識(shí)的整體脈絡(luò)和走向。

5.布置作業(yè),課后鞏固深化

基礎(chǔ)性作業(yè):書本16頁習(xí)題11.2的第1題,第2題中(1)(2)小題,第10題。

提高性作業(yè):如圖5(1),將△ABC的一角折疊,點(diǎn)A落在△ABC內(nèi)點(diǎn)A′處。

圖5

(1)若∠1=50°,∠2=40°,則∠A=;

(2)猜想∠1、∠2、∠A之間關(guān)系并加以證明;

(3)如圖5(2),當(dāng)點(diǎn)A′落在△ABC外部時(shí),請(qǐng)直接寫出∠1、∠2、∠A間的關(guān)系。

實(shí)踐性作業(yè):請(qǐng)同學(xué)們查閱與三角形內(nèi)角和有關(guān)的數(shù)學(xué)史,并與其他同學(xué)交流。

設(shè)計(jì)意圖:精選少而精的習(xí)題,避免機(jī)械重復(fù)性練習(xí),確保學(xué)生在20～30分鐘能完成任務(wù),發(fā)揮作業(yè)的鞏固、診斷和教學(xué)評(píng)估功能。根據(jù)學(xué)生的年齡、心理特點(diǎn)及認(rèn)知規(guī)律,所設(shè)計(jì)的課時(shí)作業(yè)有面向全體學(xué)生的基礎(chǔ)題,又有個(gè)性化、探究性、創(chuàng)新性的提高題,還有涉及數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)實(shí)踐的作業(yè),其中基礎(chǔ)題要求人人過關(guān),提高題和實(shí)踐性作業(yè)讓學(xué)有余力的學(xué)生選擇性完成。

數(shù)學(xué)知識(shí)有著完整的結(jié)構(gòu)系統(tǒng),學(xué)生的認(rèn)知亦有潛在結(jié)構(gòu),單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)反映了教育家杜威所倡導(dǎo)的“關(guān)注學(xué)生生活和實(shí)踐”的哲學(xué)思想,踐行“學(xué)生主體、教師主導(dǎo)”的教學(xué)理念?；仡櫛竟?jié)課的學(xué)情調(diào)研和課堂教學(xué)過程,師生在單元整體中把握教材內(nèi)容,在實(shí)驗(yàn)和說理中構(gòu)建知識(shí)體系,掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,獲得基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),落實(shí)“四基四能”目標(biāo),促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展,收獲良好的教學(xué)效果。