立體幾何是高中數學中的重要模塊.常見的立體幾何問題有幾何體的三視圖問題、空間位置關系問題、空間距離問題、空間角問題等.立體幾何問題對同學們的空間想象、直觀想象、抽象思維等能力有較高的要求.本題主要談一談三類立體幾何問題的解法.

一、幾何體的三視圖問題

幾何體的三視圖有正視圖、側視圖、俯視圖.幾何體的三視圖問題常以選擇題的形式出現.常見的命題形式有：（1）畫幾何體的三視圖；（2）根據幾何體的三視圖求幾何體的邊長、表面積、體積等.畫幾何體的三視圖，需分別從幾何體的正前方、正左側、正上方觀察幾何體，所得到的投影即為幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖.在計算幾何體的邊長、表面積、體積等時，需根據三視圖還原幾何體，并確定對應的邊、角及其大小.

例1.某四面體的三視圖如圖1所示，則該四面體的表面積為（" " ）.

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圖1

[A.3+32] [B.4] [C.3+3] [D.2]

解：由三視圖可得對應的幾何體，如圖2所示.

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圖2

由三視圖可知[PA⊥AB]，[PA⊥AC]，[AB⊥AC]，

根據直線與平面垂直的判定定理可知[PA⊥]底面[ABC]，

而[PA=AB=AC=1]，

所以[ΔPBC]是邊長為[2]的等邊三角形，

則[ΔPAB]、[ΔPAC]、[ΔABC]為全等三角形，

所以[SΔPAB=SΔPAC=SΔABC]，

所以該四面體的表面積：[S=SΔPAB+SΔPAC+SΔABC+SΔPBC]

[=3×SΔPAB+SΔPBC][=3×12×1×1+12×2×2×sinπ3]

[=3+32].

故本題的正確答案為Ａ項.

我們需先仔細觀察三視圖，根據其特征將幾何體還原，并確定相應的邊角關系以及邊長；再根據三棱錐的表面積公式求三棱錐的表面積.

二、空間位置關系問題

空間中的位置關系主要有平行、垂直、相交、重合、在平面內、在平面外.解答空間位置關系問題，往往需靈活運用線面、線線、面面平行和垂直的判定定理和性質定理，來判斷點、直線、平面之間的位置關系.有時還可以根據題意建立空間直角坐標系，通過空間向量坐標運算來判斷空間位置關系.

例2.如圖3，[PO]是三棱錐[P-ABC]的高，[PA=PB，AB⊥AC，E]為[PB]的中點，求證：[OE//]平面[PAC].

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圖3

解：因為[PO]是三棱錐[P-ABC]的高，

所以[OP⊥]平面[ABC]，

由線面垂直的性質定理可知[OP⊥OA，OP⊥OB]，

所以[∠POA=∠POB=90°]，

因為[PA=PB]，所以[ΔPOA]≌[ΔPOB]，

所以[OA=OB]，延長[BO]交[AC]于點[D]，連接[PD]，

在[ΔABD]中，[AB⊥AC]，所以[O]為[BD]的中點，

在[ΔPBD]中，[O]，[E]分別為[BD，BP]的中點，所以[OE//PD]，

而[OE?]平面[PAC]，[PD?]平面[PAC]，

所以[OE//]平面[PAC].

解答本題，需先根據線面垂直的性質定理證明[OP⊥OA，OP⊥OB]，從而證明[ΔPOA]≌[ΔPOB]；然后根據中位線的性質和線面平行的判定定理證明[OE//]平面[PAC].

三、空間角問題

空間角包括二面角、直線與平面所成的角、異面直線之間所成的角.求空間角的大小，主要有兩種方法：幾何法和空間向量法.運用幾何法求解空間角問題，需先根據二面角、直線與平面所成的角、異面直線之間所成的角的定義，添加合適的輔助線，找出相應的平面角；再運用平面幾何知識，如勾股定理、等腰三角形的性質、正余弦定理等求角的大小.用空間向量法求空間角的大小，往往需先建立空間直角坐標系，通過坐標運算求得直線的方向向量、平面的法向量；再根據向量的夾角公式求解.

例3.如圖4，三棱錐[A-BCD]中，[DA=DB=DC]，[BD⊥CD]，[∠ADB=∠ADC=60°]，[E]為[BC]中點.

（1）證明：[BC⊥DA]；

（2）若[EF=DA]，求二面角[D-AB-F]的正弦值.

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圖4

（1）證明：連接AE，DE，

因為[DB=DC]，E為BC中點，所以[DE⊥BC]，

因為[DA=DB=DC]，[∠ADB=∠ADC=60°]，

所以[ΔABD]與[ΔACD]均為等邊三角形，所以[AC=AB，]

所以[AE⊥BC]，所以[BC⊥平面ADE]，

因為[AD?平面ADE]，所以[BC⊥DA].

（2）解：設[DA=DB=DC=2]，

因為[BD⊥CD]，所以[BC=22]，[DE=AE=2].

所以[DE2+AE2=4=AD2]，所以[AE⊥DE].

又因為[AE⊥BC]，[DE?BC=E]，[DE，BC?]平面[BCD]，

所以[AE⊥]平面[BCD].

以點[E]為原點，[ED，EB，EA]為[x，y，z]軸建立空間直角坐標系，如圖5所示.

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圖5

則[D（2，0，0），A（0，0，2），B（0，2，0），E（0，0，0）] ，

設平面[DAB]的法向量為[n1=（x1，y1，z1）]，平面[ABF]的法向量為[n2=（x2，y2，z2）]，二面角[D-AB-F]平面角為[θ]，則[AB=（0，2，-2）]，

因為[EF=DA=（-2，0，2）]，

所以[F（-2，0，2）]，即[AF=（-2，0，0）]，

由[n1?DA=0，n1?AB=0，]得[-2x1+2z1=0，2y1-2z1=0，]

令[x1=1]，得[n1=（1，1，1）]，

同理[n2?AB=0，n2?AF=0，]得[2y2-2z2=0，-2x2=0，]

令[y2=1]，得[n2=（0，1，1）].

所以[|cosθ|=|n1?n2||n1||n2|=23×2=63]，

則[sinθ=1-69=33]，

所以二面角[D-AB-F]的正弦值為[33].

我們先根據[BC⊥DA]以及勾股定理證明[AE⊥]平面[BCD]，據此建立空間直角坐標系；再給各個點賦予坐標，求出平面[DAB]與平面[ABF]的法向量[n1]、[n2]，便可直接根據向量的夾角公式[cosθ=n1?n2|n1||n2|]，求出兩個法向量的夾角.值得注意的是，所求的夾角可能等于二面角，也可能為其補角，通常需結合幾何圖形中二面角的位置進行判斷.

綜上所述，立體幾何問題的命題形式很多.同學們在日常學習中，要學會對同類型的題目進行深入的研究、分析，總結出一些題目的通性通法，積累解題經驗，這樣才能在再次面對這些問題時從容應對.

（作者單位：河北省滄州市第二中學）