【摘 要】數(shù)學(xué)與生活緊密相連，圍繞學(xué)生在生活中感興趣的問題來設(shè)計探究性學(xué)習(xí)?，F(xiàn)實中的問題有時是復(fù)雜的，需要融合具體學(xué)科中的多個主題以及不同學(xué)科的知識，整體性地加以解決。在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生主動猜想，提升推理性思維；實驗驗證，體現(xiàn)可視化思維；小組合作，提升發(fā)散性思維；在操作中體驗數(shù)學(xué)，呈現(xiàn)思維直觀。促進學(xué)生的思維在“做數(shù)學(xué)”中發(fā)展：通過變式訓(xùn)練，改變思維方式；通過聯(lián)系生活，提升思維能力；通過學(xué)科融合，提升思維品質(zhì)，在融會貫通中促進思維進階。

【關(guān)鍵詞】思維發(fā)展 跨學(xué)科 數(shù)學(xué) 探究性學(xué)習(xí)

蘇教版數(shù)學(xué)六年級下冊第六單元的教學(xué)重點是正比例和反比例關(guān)系，本節(jié)課是在“動手做”的基礎(chǔ)上，以反比例意義來衡量身邊相關(guān)聯(lián)的量，加強對反比例關(guān)系的體驗。學(xué)生在一系列的親身體驗中發(fā)現(xiàn)新知、理解新知、掌握新知，在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，發(fā)展思維能力。學(xué)生在探究性問題的引領(lǐng)下，基于自身知識經(jīng)驗、思維方式展開探索。探究性學(xué)習(xí)更傾向于知識點的探索和學(xué)生能力的培養(yǎng)，更能體現(xiàn)出學(xué)生的整個探究過程，使學(xué)生在這一過程中進一步獲取、鞏固、拓展知識。

一、操作體驗，呈現(xiàn)思維直觀

（一）主動猜想，提升推理性思維

師：今天這節(jié)課我們從數(shù)學(xué)的角度一起來探索“有趣的平衡”。說到平衡，你覺著平衡與什么有關(guān)？

生：物體的重量，還有物體到支點的長度。

師：也就是與物體的質(zhì)量、到支點的距離有關(guān)。我們就從這兩個角度出發(fā)，通過兩個數(shù)學(xué)實驗來探究平衡狀態(tài)下平衡尺平衡的規(guī)律。

師：你準(zhǔn)備怎么進行實驗操作來探究平衡尺在什么情況下能保持平衡？

生1：我想在平衡尺兩邊相同的位置放上相同的鉤碼，看看是不是平衡。

生2：我還想在平衡尺兩邊不同的位置放上不同的鉤碼，讓平衡尺也能平衡。

提煉：鉤碼質(zhì)量相同，距離相等。鉤碼質(zhì)量不同，距離不相等。

師：同學(xué)們能根據(jù)問題，想到操作的思路，非常愛思考！能不能大膽地提出你們的猜想？

生1：我的猜想—鉤碼質(zhì)量相同，距離相等，平衡尺平衡。

生2：我猜想“左邊鉤碼數(shù)×距離=右邊鉤碼數(shù)×距離”。

師：我們就根據(jù)同學(xué)們的兩個猜想，來開展數(shù)學(xué)實驗，先來驗證第一個猜想。

【設(shè)計意圖】學(xué)生對問題進行思考，提出具體操作方案，一種是特殊情況的操作，一種是一般情況的操作，進而依據(jù)這兩種操作思路，提出自己的猜想。教師借助問題激發(fā)學(xué)生求知欲，有計劃地開展數(shù)學(xué)實驗，完善知識結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生推理能力的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

（二）實驗驗證，體現(xiàn)可視化思維

活動一：探索特殊條件下平衡尺保持平衡的規(guī)律

（1）做出猜想：鉤碼質(zhì)量相同，距離相等，杠桿平衡。

（2）實驗驗證：同桌合作，按照猜想掛放鉤碼，使得平衡尺保持平衡。

（3）得出結(jié)論：跟同桌說一說自己的想法。

收集、呈現(xiàn)學(xué)生的實驗數(shù)據(jù)。

生3：我們發(fā)現(xiàn)鉤碼質(zhì)量相同，距離相等，杠桿平衡。

師：通過同學(xué)們的實驗操作，驗證了第一個猜想，所以我們的猜想是正確的，從而得出“鉤碼質(zhì)量相同，距離相等，杠桿平衡”這一結(jié)論。

活動二：探索一般條件下平衡尺保持平衡的規(guī)律

（1）作出猜想：左邊的鉤碼數(shù)量×左邊刻度數(shù)=右邊的鉤碼數(shù)量×右邊刻度數(shù)。

（2）實驗驗證：在平衡尺左邊刻度10cm處放6個鉤碼，右邊如何掛放鉤碼，使得平衡尺平衡？同桌合作，并把實驗數(shù)據(jù)記錄在表格中。

（3）得出結(jié)論：小組內(nèi)交流自己的想法。

【設(shè)計意圖】在本次活動中以平衡尺為介，通過調(diào)節(jié)鉤碼數(shù)量和鉤碼位置探究平衡現(xiàn)象，學(xué)生通過操作感知特殊情況下的杠桿平衡，即對稱平衡，為下一步不對稱平衡的操作打下基礎(chǔ)，并獲得小組合作的成就感。第二次實驗是本節(jié)課的重點，也是一個開放性的實驗，學(xué)生自主開展實驗探究。因平衡尺的距離受孔限制，只能在5cm、10cm、15cm、20cm處加以嘗試，對于其他距離的可能性無法直觀檢驗。但部分愛思考勤鉆研的學(xué)生大膽推理其他的可能性，在現(xiàn)有的結(jié)論中突破個例現(xiàn)象，從特殊到一般，思維更寬廣、更有深度。

（三）小組合作，提升發(fā)散性思維

生1：我們小組通過實驗操作得出，在左邊5cm處要掛12個鉤碼，則要在右邊10cm處掛6個鉤碼，15cm處掛4個鉤碼，20cm處掛3個鉤碼。

生2：我們發(fā)現(xiàn)無論左邊還是右邊，用鉤碼數(shù)×刻度數(shù)都是60，所以是左邊鉤碼數(shù)量×左邊刻度數(shù)=右邊鉤碼數(shù)量×左邊刻度數(shù)。

生3：它們乘積一定，說明鉤碼數(shù)和刻度數(shù)是成反比例的。

生4：我們小組還發(fā)現(xiàn)，刻度數(shù)變大，所需鉤碼數(shù)量就會變??；刻度數(shù)變小，所需鉤碼數(shù)量就會變大。

師：同學(xué)們來評價一下這一小組的交流分享。

生5：我覺著他們會合作，匯報的思路清晰，能結(jié)合操作用數(shù)學(xué)語言完整表達小組的發(fā)現(xiàn)，我要給他們點贊。

師：這一小組從縱向觀察，知道了左邊鉤碼數(shù)量×左邊刻度數(shù)=右邊鉤碼數(shù)量×右邊刻度數(shù)。橫向比較鉤碼數(shù)量和刻度數(shù)的變化情況發(fā)現(xiàn)刻度數(shù)和鉤碼數(shù)量成反比例關(guān)系，刻度數(shù)變大，鉤碼數(shù)量就會變小，則省力；反之，刻度數(shù)變小，鉤碼數(shù)量就會變大，則費力。這一小組匯報非常精彩，同伴的點評也很到位。其他小組還有補充嗎？

生6：我們小組還發(fā)現(xiàn)了刻度數(shù)上10是5的2倍，那么鉤碼數(shù)上6是12的，其他也是。

師：你聚焦到了具體數(shù)的變化情況，刻度數(shù)（ ）是（ ）的幾倍，那么鉤碼數(shù)（ ）是（ ）的幾分之一。

師（出示圖）：對比200g大鉤碼+2個20g小鉤碼和12個小鉤碼，有什么相同之處？（圖略）

生：都是表示240g，質(zhì)量相同。

師：鉤碼數(shù)量在本質(zhì)上指的是鉤碼質(zhì)量。所以我們也可以說：乘積一定，刻度數(shù)越大，鉤碼質(zhì)量越??；刻度數(shù)越小，鉤碼質(zhì)量越大?？潭葦?shù)和鉤碼質(zhì)量成反比例關(guān)系。

思考：活動二的發(fā)現(xiàn)也同樣適用于活動一嗎？

小結(jié)回顧：今天通過“有趣的平衡”實驗，你學(xué)習(xí)到了什么？跟同學(xué)說一說。

【設(shè)計意圖】本節(jié)課的兩個數(shù)學(xué)實驗都是通過合作的方式開展，在實驗操作中，有分工、有合作、有交流。從眾多變化數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)不變量，即乘積一定，同時橫縱向?qū)Ρ?，發(fā)現(xiàn)距離與質(zhì)量在積不變條件下成反比例關(guān)系。同伴間的合作與相互啟發(fā)使問題不斷深入，組和組之間的智慧碰撞開闊了視野，也讓學(xué)生享受到思維碰撞的樂趣。步步深入，層層遞進，通過實驗操作，學(xué)生們的體會是深刻的，思考是全面的，喜悅是發(fā)自內(nèi)心的。運用希沃白板，支持學(xué)生資源生成，提高生成的質(zhì)量，體現(xiàn)教與學(xué)的同生共長，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

二、融會貫通，促進思維進階

（一）變式訓(xùn)練，改變思維方式

我來畫：根據(jù)平衡尺左側(cè)放鉤碼的質(zhì)量和位置，想一想，在右側(cè)的什么位置放多重的物體，才能保證平衡尺平衡？有幾種方案？見圖1。

生：1cm處掛18g，2cm處掛9g，3cm處掛6g，6cm處掛3g，9cm處掛2g。

師：同學(xué)們很棒，能有序地列舉出這幾種方案。這幾種方案有什么共同點？

生：刻度數(shù)×鉤碼質(zhì)量=18g。

拓展1：如果是掛在0～1的中間處呢？

生：只要想（ 0.5 ）×（ ）=18，這兩個量成反比例關(guān)系，乘積都是18。

拓展2：仔細觀察，兩邊刻度數(shù)與物體質(zhì)量之間的關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：右邊刻度數(shù)是左邊刻度數(shù)的幾倍，右邊物體質(zhì)量就是左邊物體質(zhì)量的幾分之一。

生2：我不是對應(yīng)右邊刻度數(shù)和右邊鉤碼質(zhì)量去看的，我還能發(fā)現(xiàn)—右邊刻度數(shù)是左邊刻度數(shù)的幾倍，左邊物體質(zhì)量就是右邊物體質(zhì)量的幾倍，如9∶3=6∶2。

生3：我還可以用比例的基本性質(zhì)來理解，這里左邊的3cm、6g就是內(nèi)項，9 cm、2 g就是外項，也能寫出比例9∶3=6∶2。

師：同學(xué)們從不同的角度去分析理解，抓住了比例的基本性質(zhì)、正比例與反比例之間的聯(lián)系，深入分析了它們之間的關(guān)系。

快速判斷：圖2中OA=4cm，OB=8cm，則鐵塊的質(zhì)量是石塊質(zhì)量的幾倍？

【設(shè)計意圖】這一活動有三個層次，第一層次是基礎(chǔ)訓(xùn)練，學(xué)生能有序列舉出整數(shù)情況下，平衡尺保持平衡的情況。第二層次是打破思維方式，如果刻度數(shù)不是整厘米數(shù)呢，引發(fā)了學(xué)生的思考，改變思維方式，發(fā)現(xiàn)刻度數(shù)、物體質(zhì)量可以是小數(shù)或者分?jǐn)?shù)，只要這兩個量乘積是18就可以了。第三層次用數(shù)學(xué)語言表達對兩邊刻度數(shù)、物體質(zhì)量之間關(guān)系的理解。學(xué)生在這一環(huán)節(jié)大膽表達，思路清晰，有條理性，激發(fā)了表達興趣。學(xué)生從不同的角度去理解，源于對知識間關(guān)系的理解和掌握，通過訓(xùn)練，促進學(xué)生思考能力的提升。

（二）聯(lián)系生活，提升思維能力

“缺斤少兩”一般指賣出的東西分量不對。請你從數(shù)學(xué)的角度來分析，商販如何操作可以把物體的重量變大賣給顧客，從而多賺錢的，并評價這一行為。

生1：我覺著是通過減輕秤砣的質(zhì)量，為了使桿秤平衡，刻度線要變大，重量就比實際重了。

生2：我知道生活中還有一種情況，有的商販會在秤盤下面放塊吸鐵石，這樣物體總質(zhì)量就變重了。對這些黑心商販，我想奉勸他們，只有誠信經(jīng)營，才能有回頭客。

生3：我聽我奶奶說，有的商販會在桿秤刻度數(shù)上做手腳。用今天學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識來解釋，就是比如刻度數(shù)是5kg，但是他會稍微縮小點刻度數(shù)，顯示出來就比5kg多了。

師：同學(xué)們能活學(xué)活用，把我們今天學(xué)習(xí)的知識運用到生活中去分析背后的數(shù)學(xué)原理，值得表揚。

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活。在深度理解杠桿原理的基礎(chǔ)上，嘗試結(jié)合桿秤，分析無良商家是如何做到“缺斤少兩”的呢？學(xué)生對距離與質(zhì)量兩要素進行交流，在語言表達的同時充分利用現(xiàn)代化技術(shù)，同步動態(tài)呈現(xiàn)秤砣變輕或桿上刻度點變密后，會使物體的實際重量變大這一現(xiàn)象。這類動態(tài)呈現(xiàn)表現(xiàn)得較為直觀，契合數(shù)形結(jié)合的思想，緊扣積不變這一本質(zhì)。最后還激烈研討如果改變支點位置也同樣可以，思維充分打開，對杠桿原理中的每個要素嘗試作分析。運用希沃白板，支持學(xué)生資源生成，促進交流討論的深入，提高生成的質(zhì)量，體現(xiàn)教與學(xué)的同生共長，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

（三）學(xué)科融合，提升思維品質(zhì)

站在阿基米德的立場上，要想撬動地球，需要解決哪些問題？

組織學(xué)生課后成立學(xué)習(xí)小組，開展混融性學(xué)習(xí)研究。

杠桿是簡單機械中最基本的一種，杠桿知識是學(xué)習(xí)其他簡單機械知識的基礎(chǔ)。

現(xiàn)實中的問題往往是復(fù)雜的，需要融合具體學(xué)科中的多個主題以及不同學(xué)科的知識，整體性地加以解決。讓學(xué)生在融會貫通中發(fā)展思維是“聯(lián)數(shù)學(xué)”這類作業(yè)設(shè)計的理論依據(jù)。本節(jié)課有多處體現(xiàn)了學(xué)科融合，課始復(fù)習(xí)科學(xué)課上學(xué)的杠桿知識“認(rèn)識杠桿的結(jié)構(gòu)特點”，通過科學(xué)實驗找到杠桿省力或費力的秘密，了解杠桿在生活中的應(yīng)用，喚醒學(xué)生的記憶，為從數(shù)學(xué)的角度開展實驗研究做好鋪墊。后面的探究中，也會把數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和科學(xué)上的知識結(jié)合起來表達。數(shù)學(xué)上用相同的步驟來探究平衡尺在什么情況下能夠保持平衡，用數(shù)學(xué)的知識進行分析，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力，積累實驗經(jīng)驗，豐富活動體驗。既有學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中原有反比例知識的基礎(chǔ)支持點，還有五年級科學(xué)省力杠桿、費力杠桿的激發(fā)點，更有初中物理阻力點、動力點、阻力臂、動力臂的延伸點，三門學(xué)科的融合，環(huán)環(huán)相扣，層層拓展，促進了學(xué)生關(guān)鍵能力的自由生長。

學(xué)生課后可以成立學(xué)習(xí)小組，借助書本、網(wǎng)絡(luò)等查詢相關(guān)資料，這個研究性問題體現(xiàn)了混融的理念，學(xué)生需要了解天文學(xué)、物理學(xué)等方面的知識來支持自己的想法?？此崎_放的問題，實則指向原理中的基本結(jié)構(gòu)思考。同時看似完全符合杠桿原理，實則無法實現(xiàn)。促發(fā)學(xué)生運用多元的探究方式去嘗試?yán)斫馄渲械膴W秘，打破原有的認(rèn)知，明白理論與實踐并非對等，進一步突顯科學(xué)、數(shù)學(xué)這一類理性學(xué)科追求的是思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提升思維的品質(zhì)。

【參考文獻】

劉善娜.單元整體視角下小學(xué)數(shù)學(xué)探究性作業(yè)的設(shè)計[J]. 教學(xué)月刊（小學(xué)版）數(shù)學(xué)，2021（10）.