【摘 要】很多小學(xué)名師曾研究過“平均數(shù)”，也打造了一些經(jīng)典課例。章勤瓊教授作為大學(xué)教授，精選學(xué)習(xí)素材，巧用“評委給選手打分”這一素材，采用“產(chǎn)婆術(shù)”式的引導(dǎo)，通過三個學(xué)習(xí)任務(wù)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷平均數(shù)認(rèn)識“三步曲”：初步形成代表量的意識，逐步感知平均數(shù)是相對合理的代表量，深入理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。

【關(guān)鍵詞】平均數(shù) 統(tǒng)計(jì)量 深度學(xué)習(xí)

福建師范大學(xué)教育學(xué)院章勤瓊教授在閩小數(shù)會第23屆年會上執(zhí)教的“得分是多少”，給與會教師留下了深刻印象。這個內(nèi)容是“平均數(shù)”第一課時，他精心創(chuàng)設(shè)“得分是多少”的情境，借助簡約的學(xué)習(xí)素材組織教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生由模糊走向清晰，由淺表走向深入，自主建構(gòu)對平均數(shù)的認(rèn)識，深度理解平均數(shù)的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)。

大學(xué)教授是怎樣與小學(xué)生交往互動，且教得深入淺出呢？文章將通過幾個片段展示章教授課堂設(shè)計(jì)與教學(xué)之精妙。

片段一：多維感悟，引導(dǎo)學(xué)生初步形成代表量的意識

出示學(xué)習(xí)材料1：

學(xué)校舉辦歌唱比賽活動，滿分為15分。以下是評委給1號選手打的分。

師：同學(xué)們，你們得到了哪些信息？

生：評委1給1號選手打12分、評委2給1號選手打10分。

師：有沒有不一樣的說法？

生：評委2給1號選手打的是最低分。

師：這里只有1個選手，為什么要有5個評委？不搞亂了嗎？

生：因?yàn)槊總€人的想法不同。如果評委一開心，就給他打更高的分。

師：為什么要5個評委？多煩呢！1個選手，1個評委，不就好了嗎？

生：可以聽到更多的細(xì)節(jié)。就是有些評委沒聽到的，另一位評委有可能聽到。

師：你的意思是可能更全面。（板書：全面）

師：只找1個評委可能會有什么問題？

生：給他估的分不準(zhǔn)，因?yàn)槊總€人的想法不同。

師：很好，想法不同。（板書：想法不同）

師：5個評委會更公平一點(diǎn)，可能更客觀一點(diǎn)。（板書：公平客觀）

師：如果只有1個評委，事情是好辦的?，F(xiàn)在有5個評委，怎么辦？

師：請拿出學(xué)習(xí)單，把5個評委的分?jǐn)?shù)在方格紙上表示出來。

（學(xué)生畫圖表示）

出示圖1，組織全班交流。

師：你們認(rèn)為1號選手的最終得分是多少？最終得分是什么意思？

生：就是最后的分?jǐn)?shù)。

師：5個評委給他打分，最后給他1個分?jǐn)?shù)還是5個分?jǐn)?shù)？

生：給他1個分?jǐn)?shù)。

師：這1個分?jǐn)?shù)能隨便給嗎？你覺得1號選手應(yīng)該得多少分？請你在方格紙上用一條橫線畫出來。

教師呈現(xiàn)將橫線畫在15分處的學(xué)生資源，組織全班交流。

師：大家畫的基本一樣。但這個同學(xué)畫的不一樣。請看，他為什么畫在15分這里？

生：可能是因?yàn)橛袀€評委打了15分。

師：如果我們把橫線畫在15分這里，合理不合理？

生：不合理。15分太高了！

師：雖然有一個評委打了15分，但是其他評委都沒有打到15分，所以說15分太高了。如果畫到10分這里呢？

生：10分太低了。

師：多數(shù)同學(xué)都畫在12分這里，你們是怎么想的？

呈現(xiàn)圖2，組織學(xué)生互動。

師：為什么選12？

生：因?yàn)檫@5位評委的分?jǐn)?shù)加起來再除以5等于12。

師板書算式：12+10+11+12+15=60，60÷5=12。

師：為什么先加起來再除以5？有沒有同學(xué)也是12，但理由不一樣？

生：因?yàn)橛袃蓚€評委選12，還有12在這些數(shù)的中間。

師：他一下子說了兩個理由，第一個理由是因?yàn)閮蓚€評委打12分，是不是12比其他數(shù)好像更有道理一些？第二個理由是因?yàn)?2在中間，好像也有道理。

生：我還想說，加起來除以5，是因?yàn)榭偣灿?個評委，可以算出平均分。

師：這些數(shù)跟12比，有的比它大，有的比它小。比12少的，可不可以把它補(bǔ)起來？

一名學(xué)生上臺補(bǔ)畫。

師：他做了什么動作？這個評委打分比較少，這個評委打分比較多，怎么辦？把多的移過去，這樣都移成12。評委打分有高有低，但是可以把所有評委的分?jǐn)?shù)都變成一樣，最后都變成12。將多的補(bǔ)給少的，很形象，我們可以叫移多補(bǔ)少。再來看除以5，現(xiàn)在誰能解釋一下除以5可不可以？除以5其實(shí)是在干什么？跟哪個方法一樣？

學(xué)生討論。

師：其實(shí)跟移多補(bǔ)少的方法一樣，把所有的數(shù)都變成一樣的！再問得分為多少，還覺得有困難嗎？

生：沒有困難，是12 。

師：這個12就叫作什么數(shù)？

生：平均數(shù)。

師（板書）：平均數(shù)。

師：大家現(xiàn)在明白選12有三個理由：有兩個評委打12分；12在中間，比較合適；12正好是平均數(shù)，可把所有的數(shù)都變成12。這三種想法都有道理。那么1號選手得幾分比較合適？

……

【賞析】新課標(biāo)指出，平均數(shù)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的情境中理解平均數(shù)所具有的代表性，通過刻畫一組數(shù)據(jù)的集中程度表達(dá)總體的集中狀況……初步體會平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，形成初步的數(shù)據(jù)意識。章教授設(shè)計(jì)的第一個學(xué)習(xí)任務(wù)，并沒有過多強(qiáng)調(diào)平均數(shù)，而是結(jié)合情境引導(dǎo)學(xué)生慢慢感悟用平均數(shù)可能更全面、更公平、更客觀。他設(shè)計(jì)的這組數(shù)據(jù)很講究，其中12是眾數(shù)，是中位數(shù)，還是這組數(shù)的平均數(shù)，讓12作代表順理成章。章教授通過一系列追問引導(dǎo)學(xué)生用“移多補(bǔ)少”法把每個評委的分?jǐn)?shù)都變成12，用一條橫線表示平均數(shù)12，直觀形象地凸顯平均數(shù)的意義，有利于學(xué)生初步理解平均數(shù)代表著一組數(shù)的整體水平。學(xué)生在觀察對比中體會到一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，一定小于這組數(shù)據(jù)里的最大數(shù)，大于這組數(shù)據(jù)里的最小數(shù)。這些學(xué)習(xí)活動幫助學(xué)生初步形成代表量的意識，為進(jìn)一步理解平均數(shù)的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)打下基礎(chǔ)。

片段二：由表及里，助推學(xué)生逐步感知平均數(shù)是相對合理的代表量

出示學(xué)習(xí)材料2：

以下是評委給2號選手打的分。

師：這是2號選手的5個分?jǐn)?shù)。誰直接說說你覺得2號最終得多少分？

生：我覺得是14分。

師：為什么他覺得是14分？

生：可能是因?yàn)橛?個評委打14分。

師：因?yàn)橛?個評委給他打14分，所以就選14分。如果他最終得14分，你們覺得合理不合理？

生：我覺得不合理，還有兩個評委不是打14分。

師：雖然有3個評委給他打了14分，但畢竟還有兩個評委沒給他打14分嘛。

教師在條形統(tǒng)計(jì)圖中畫出14分處的橫線，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較。

師：請看，14分是不是明顯偏高了一點(diǎn)？小組討論，覺得他應(yīng)該得多少分合適。也可以用筆算一算。（小組討論）

師：哪一組來分享？

生：我們組認(rèn)為是13分。因?yàn)?4分可以分1分給其他的數(shù)。

師：就是從2個14里各分1個1給11，得到13……用移多補(bǔ)少的方法，把每個評委打的分?jǐn)?shù)都變成了13分。

呈現(xiàn)圖3，教師在條形統(tǒng)計(jì)圖中畫出13分處的橫線，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較。

師：可不可以加起來除以5？用移多補(bǔ)少的方法或者算平均數(shù)的方法都能得到13分，對不對？

師：如果給2號選手打14分，對1號選手公平不公平？如果1號選手與2號選手，采用同樣的方法打分，都給他們算平均數(shù)，你們覺得哪位選手得分更高？

出示兩位選手的評分表。

生：我認(rèn)為2號選手得分更高。

對比呈現(xiàn)兩位選手的得分情況圖，如圖4，表示平均數(shù)12與13的兩條橫線高低一目了然。

師：為什么要用平均數(shù)呢？

生：因?yàn)槠骄鶖?shù)能把所有評委的分?jǐn)?shù)都變成一樣的。

師：同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)一個問題。2號選手的平均分是13分，可是5個評委沒有一個人給他打13分，最后卻給他13分，你們覺得可以嗎？誰來說服大家？

生：因?yàn)檫@個13分是一個平均數(shù)。

師：為什么用平均數(shù)能說服大家呢？

生：都算成一樣，都變成13分。

師：雖然評委們沒有一個人打13分，但把評委們的分?jǐn)?shù)都變成一樣后就得到了13，所以這個13分其實(shí)還是由這些評委打的分?jǐn)?shù)得到的！如果1號選手表示不服，他覺得有個評委給他打了15分，是他的最終得分高。該怎么說服1號？

生：不能只看一個評委的分?jǐn)?shù)！其他評委給你打的分?jǐn)?shù)比較低，你的平均分就低。

師：同學(xué)們，今天我們一起認(rèn)識了平均數(shù)。用平均數(shù)可以在生活中解決怎樣的問題？就像剛才的評委打分，為了更全面、更公平、更客觀地得到結(jié)果，我們會找很多人打分，有很多不同的分?jǐn)?shù)，這時不能直接比，就要拿平均數(shù)來代表最終得分，進(jìn)行比較。今天我們學(xué)的就是代表量跟平均數(shù)。代表量，就是拿一個數(shù)來代表一組數(shù)。

大屏出示：平均數(shù)可以代表一組數(shù)的整體水平。

師：這句話中，你們覺得哪個詞很重要？為什么？

……

【賞析】認(rèn)識平均數(shù)，學(xué)習(xí)求平均數(shù)，學(xué)習(xí)用平均數(shù)描述、分析一組數(shù)據(jù)的狀況和特點(diǎn)，或者對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。章教授精心設(shè)計(jì)的第二組數(shù)據(jù)，其中有3個14，1個11，1個12。如果學(xué)生沒有深入思考，第一感覺往往會認(rèn)為是14，而這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)卻是13，認(rèn)知沖突與好奇由此產(chǎn)生。章教授通過一組追問，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，主動辨析，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知進(jìn)階—雖然13不是這一組數(shù)據(jù)中的某一個數(shù)據(jù)，但是可以代表這一組數(shù)據(jù)。隨著交流的深入，學(xué)生能逐步理解平均數(shù)的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)—“平均數(shù)是一個‘理想中的數(shù)’，它既與一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)有關(guān)，又不是一組數(shù)據(jù)中的某個數(shù)據(jù)”。這樣的學(xué)習(xí)過程深刻、通透。

片段三：有向練習(xí)，深化學(xué)生對平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義的理解

出示學(xué)習(xí)材料3：

這是兩個小組學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績。你們感覺哪個小組考得好。

第1組：94、96、95、100、95、84

第2組：93、96、97、94、95

師：觀察數(shù)據(jù)，說說你們感覺哪個小組考得好？

生：我認(rèn)為第一小組考得好，因?yàn)橛袀€同學(xué)考了100分。

生：我也認(rèn)為第一小組考得好，第1組總分高。

師：一個人100分，就能說第1組考得好嗎？人數(shù)不一樣，可以比總分嗎？

生：人數(shù)不一樣，不能直接比。

師：比什么會不公平？比什么才公平？

生：比總分不公平，比平均分比較公平。

師：為什么可以比平均分？

生：平均分是一個有代表性的分?jǐn)?shù)，是把小組內(nèi)所有人的分?jǐn)?shù)變成一個同樣的分?jǐn)?shù)。

……

【賞析】章勤瓊教授結(jié)合生活實(shí)際，設(shè)計(jì)兩個小組比測試成績的問題情境，有現(xiàn)實(shí)意義。兩個小組人數(shù)不同，比總分不合理。他引導(dǎo)學(xué)生思考，從比總分不合理轉(zhuǎn)向比平均分較為合理。章教授善于借助錯誤資源引導(dǎo)學(xué)生思辨、修正，加深學(xué)生對平均數(shù)的理解，同時對計(jì)算平均數(shù)進(jìn)行了必要的練習(xí)。教學(xué)設(shè)計(jì)前后呼應(yīng)，進(jìn)一步深化學(xué)生對平均數(shù)作為統(tǒng)計(jì)量的認(rèn)識。

章勤瓊教授的課簡約而豐厚，質(zhì)樸而雋永。他借助一個素材，三個學(xué)習(xí)活動，采用“產(chǎn)婆術(shù)”式的引導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生由淺入深地理解平均數(shù)的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)及統(tǒng)計(jì)意義，形成初步的數(shù)據(jù)意識。

【參考文獻(xiàn)】

中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.