摘 要：變式及變式教學(xué)是中國數(shù)學(xué)教育教學(xué)的特征之一。基于中國知網(wǎng)（CNKI）數(shù)據(jù)庫，借助CiteSpace軟件，以中小學(xué)數(shù)學(xué)變式為主題，分別從發(fā)文作者、發(fā)文機(jī)構(gòu)、關(guān)鍵詞對(duì)該主題領(lǐng)域的研究主體、研究熱點(diǎn)和趨勢(shì)進(jìn)行可視化分析。從研究主體來看，研究機(jī)構(gòu)和研究人員之間的聯(lián)系比較松散，建議加強(qiáng)主體合作，構(gòu)建研究共同體。從研究熱點(diǎn)和趨勢(shì)來看，中小學(xué)數(shù)學(xué)變式以幾何為主要變式內(nèi)容，以教學(xué)為變式載體，以學(xué)生思維的提升為變式目的；研究?jī)?nèi)容走向多領(lǐng)域、多課型，應(yīng)立足課堂教學(xué)，滿足學(xué)生需要，同時(shí)深挖研究問題，突顯數(shù)學(xué)本質(zhì)；以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的變式教學(xué)是研究的一大趨勢(shì)，應(yīng)優(yōu)化變式（教學(xué)）研究，發(fā)展核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)變式；CiteSpace；文獻(xiàn)綜述；可視化圖譜；中小學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6;G521"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A""" 文章編號(hào)：1673-5072（2024）05-0553-09

“題海戰(zhàn)術(shù)”違背了數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)和規(guī)律，長(zhǎng)期大量刷題，不僅未能使學(xué)生達(dá)到“熟能生巧”，反而使學(xué)生“熟能生厭”，為解決“題海戰(zhàn)術(shù)”所帶來的弊端，“數(shù)學(xué)變式”應(yīng)運(yùn)而生。數(shù)學(xué)變式可以理解為：從不同方面、不同層次、不同形式上變換數(shù)學(xué)對(duì)象的非本質(zhì)特征，進(jìn)而更好地突出其本質(zhì)特征的教學(xué)形式和策略。變式是中國數(shù)學(xué)教育的重要特色［1］。顧泠沅在主持上海青浦實(shí)驗(yàn)的過程中，系統(tǒng)地開展了變式教學(xué)實(shí)驗(yàn)，并總結(jié)得到了具有中國特色的變式理論［2］。在對(duì)我國數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進(jìn)行變式分析以及對(duì)“中國學(xué)習(xí)者”悖論進(jìn)行充分解讀的基礎(chǔ)上，我們可以認(rèn)為，恰當(dāng)?shù)厥褂米兪?，?huì)使數(shù)學(xué)課堂變得有意義；反之，就會(huì)使數(shù)學(xué)課堂變?yōu)楸粍?dòng)灌輸和機(jī)械訓(xùn)練［3］。變式可以將表象變深刻，將狹隘變寬廣［4］。通過恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變式能夠提高“三基”（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法）的落實(shí)水平［5］，同時(shí)能夠加強(qiáng)思維的深度，拓寬思維的廣度，提升思維的靈活度，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解深入到本質(zhì)層面。當(dāng)前國內(nèi)外對(duì)于數(shù)學(xué)變式綜述的相關(guān)研究非常少，而數(shù)學(xué)變式只有基于已有的變式成果和變式經(jīng)驗(yàn)并且緊密聯(lián)系當(dāng)下數(shù)學(xué)教育的時(shí)代背景，才能更加有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)變式繼續(xù)向前發(fā)展，使數(shù)學(xué)變式更具時(shí)代意義。本文運(yùn)用文獻(xiàn)計(jì)量方法，對(duì)文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化分析，以探求近20年我國中小學(xué)數(shù)學(xué)變式的研究熱點(diǎn)和未來的研究趨勢(shì)，并給出一些結(jié)論與建議，為相關(guān)研究提供一定的參考。

1 數(shù)據(jù)來源與處理

1.1 數(shù)據(jù)來源

本文以中國知網(wǎng)（CNKI）為來源數(shù)據(jù)庫，通過高級(jí)檢索功能，以“數(shù)學(xué)變式”為主題，時(shí)間區(qū)間設(shè)定為2001—2021年進(jìn)行文獻(xiàn)檢索，共檢索到1134條相關(guān)期刊文獻(xiàn)，再人工剔除與中小學(xué)教育無關(guān)的期刊文獻(xiàn)，共得到966篇有效的期刊文獻(xiàn)。

1.2 數(shù)據(jù)處理

首先將966篇文獻(xiàn)以Refworks格式導(dǎo)出；再利用CiteSpace（6.1.R2）對(duì)導(dǎo)出數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換；接著通過可分析數(shù)據(jù)建立新的項(xiàng)目（project），對(duì)發(fā)文作者、發(fā)文機(jī)構(gòu)、關(guān)鍵詞進(jìn)行相關(guān)分析。

2 數(shù)據(jù)可視化及分析

2.1 作者共現(xiàn)分析

依據(jù)發(fā)文作者以及他們?cè)谕黄墨I(xiàn)中出現(xiàn)的合作關(guān)系，基于CiteSpace的作者共現(xiàn)分析，得到了該領(lǐng)域關(guān)于作者及相互之間合作關(guān)系的可視化網(wǎng)絡(luò)圖譜（圖1）。圖譜共有525個(gè)節(jié)點(diǎn)，79條連線，網(wǎng)絡(luò)密度僅為0.0006，結(jié)構(gòu)非常松散。大多數(shù)人都是單獨(dú)研究，主要作者之間僅形成了以張奠宙和孫旭花為中心的合作群體，此外，李嵐和姜珊珊以及馬曉丹和張春莉之間有一定的合作，但是合作程度并不高。所以，目前該領(lǐng)域的作者合作關(guān)系呈現(xiàn)出“整體分散、局部聯(lián)系、合作程度低”的特點(diǎn)。

發(fā)文量排名前5的作者如表1所示，發(fā)文量最大的是張奠宙（6篇），另外孫旭花發(fā)文4篇，均為核心期刊，且這兩位作者有合作研究，形成了一定的研究群體，所以張奠宙和孫旭花可被認(rèn)定為該領(lǐng)域較權(quán)威的作者。

2.2 機(jī)構(gòu)共現(xiàn)分析

依據(jù)所檢索文獻(xiàn)發(fā)文作者所處的機(jī)構(gòu)以及不同研究機(jī)構(gòu)在同一篇文獻(xiàn)中出現(xiàn)的合作關(guān)系，基于CiteSpace的研究機(jī)構(gòu)共現(xiàn)分析，得到該領(lǐng)域關(guān)于研究機(jī)構(gòu)及相互之間合作關(guān)系的可視化網(wǎng)絡(luò)圖譜（圖2）。圖譜共得到493個(gè)節(jié)點(diǎn)，68條連線，網(wǎng)絡(luò)密度僅為0.0006，結(jié)構(gòu)非常松散，說明該領(lǐng)域的研究機(jī)構(gòu)非常分散，相互之間的聯(lián)系不強(qiáng)。該領(lǐng)域的主要研究機(jī)構(gòu)形成了以華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系為中心的研究群體，其他一些研究機(jī)構(gòu)有一定的合作，但是合作的次數(shù)比較少，合作程度比較低。同時(shí)從總體來看，該領(lǐng)域的研究多集中在各大高校，中學(xué)也有一定的研究基礎(chǔ)。

發(fā)文量排名前5的研究機(jī)構(gòu)，如表2所示。在高校方面，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系（9篇）、北京師范大學(xué)教育學(xué)部（6篇）和數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（6篇）的發(fā)文量較高；在中小學(xué)方面，延邊第二中學(xué)（6篇）的發(fā)文頻次較高。同時(shí)，從最早發(fā)文年份來看，高校對(duì)于數(shù)學(xué)變式的研究更早，有更加扎實(shí)的研究基礎(chǔ)。

2.3 關(guān)鍵詞分析

關(guān)鍵詞是對(duì)文章的高度概括，它能反映一篇文章的主要內(nèi)容。分別對(duì)文獻(xiàn)關(guān)鍵詞進(jìn)行共現(xiàn)、聚類、突現(xiàn)3個(gè)方面的可視化分析，可揭示“中小學(xué)數(shù)學(xué)變式”這個(gè)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和研究導(dǎo)向。

2.3.1 關(guān)鍵詞共現(xiàn)分析

依據(jù)所檢索文獻(xiàn)中出現(xiàn)的關(guān)鍵詞以及不同關(guān)鍵詞在一篇文獻(xiàn)中共同出現(xiàn)產(chǎn)生的聯(lián)系，基于CiteSpace的關(guān)鍵詞共現(xiàn)分析，得到該領(lǐng)域關(guān)于主要關(guān)鍵詞以及關(guān)鍵詞之間相互聯(lián)系的可視化的網(wǎng)絡(luò)圖譜。圖譜共得到496個(gè)節(jié)點(diǎn)，622條連線，主要節(jié)點(diǎn)及連線如圖3所示。

出現(xiàn)頻次最高的20個(gè)關(guān)鍵詞如表3所示，由高到低分別是：變式教學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)、變式、數(shù)學(xué)、變式訓(xùn)練、初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)、培養(yǎng)、一題多變、數(shù)學(xué)概念、一題多解、教學(xué)、創(chuàng)新思維、核心素養(yǎng)、思維能力、發(fā)散思維、中學(xué)數(shù)學(xué)、小學(xué)數(shù)學(xué)、反思、創(chuàng)新意識(shí)。

關(guān)鍵詞的中心性是量化關(guān)鍵詞地位重要性的一個(gè)重要指標(biāo)，一般來說，當(dāng)關(guān)鍵詞的中心性0.1時(shí)，可以將其視為核心關(guān)鍵詞，表明這個(gè)關(guān)鍵詞在該領(lǐng)域中處于比較重要的地位。通過數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，變式教學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)、變式、數(shù)學(xué)、變式訓(xùn)練這5個(gè)關(guān)鍵詞可視為核心關(guān)鍵詞。

2.3.2 關(guān)鍵詞聚類分析

在關(guān)鍵詞共現(xiàn)分析的基礎(chǔ)上，依據(jù)檢索文獻(xiàn)中關(guān)鍵詞相互之間緊密聯(lián)系的程度，基于CiteSpace的關(guān)鍵詞聚類分析，得到該領(lǐng)域關(guān)于研究類塊和結(jié)構(gòu)特征的可視化的網(wǎng)絡(luò)圖譜，其中，每個(gè)聚類的標(biāo)簽是根據(jù)LLR（Log-likelihood Ratio）排序算法得出的排序最高的關(guān)鍵詞，結(jié)果如圖4所示。從聚類的結(jié)果中選擇前12種聚類，分別是：#0變式訓(xùn)練、#1小學(xué)數(shù)學(xué)、#2變式教學(xué)、#3變式、#4數(shù)學(xué)教學(xué)、#5創(chuàng)新思維、#6一題多變、#7圓錐曲線、#8反思、#9數(shù)學(xué)、#10發(fā)散思維、#11學(xué)生自主。該圖的參數(shù)聚類模塊值（Q）=0.8365gt;0.3，說明關(guān)鍵詞聚類結(jié)構(gòu)顯著，聚類平均輪廓值（S）=0.9589gt;0.7，說明聚類是令人信服的。所以，這12個(gè)聚類能夠真實(shí)的反映該領(lǐng)域的主題分布情況。

2.3.3 研究熱點(diǎn)分析

根據(jù)關(guān)鍵詞共現(xiàn)和聚類以及相關(guān)文獻(xiàn)的分析，對(duì)“中小學(xué)數(shù)學(xué)變式”領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)進(jìn)行一定的歸納和總結(jié)。

1）以幾何為內(nèi)容的變式研究

幾何領(lǐng)域的內(nèi)容由于具有很強(qiáng)的抽象性，需要學(xué)生強(qiáng)大的空間想象能力，所以易成為教學(xué)難點(diǎn)。著名的上海青浦實(shí)驗(yàn)對(duì)于變式教學(xué)的研究也是來源于幾何概念的教學(xué)。如果僅用標(biāo)準(zhǔn)圖形進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生很難認(rèn)識(shí)其本質(zhì)，而通過一系列的變式圖形可以將標(biāo)準(zhǔn)圖形一般化，從而產(chǎn)生更好的學(xué)習(xí)效果，特別是對(duì)于復(fù)雜幾何問題的解決效果尤為顯著［6］。近些年對(duì)于幾何領(lǐng)域的變式研究成果非常豐富，李?。?］以思維品質(zhì)為落腳點(diǎn)，從情境、題型、解法和過程4個(gè)維度對(duì)教材中的一道立體幾何問題進(jìn)行了變式研究。朱建良［8］從一道幾何作圖題出發(fā)，對(duì)如何通過變式揭示作圖的本質(zhì)進(jìn)行了研究。陳炳泉［9］通過將教材中的幾道拋物線題目鏈接高考試題的方式，對(duì)教科書中題目的變式進(jìn)行了研究。梁海藝和吳躍忠［10］從集合的觀點(diǎn)出發(fā)，提出了一種頗有數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的幾何變式問題的制作方法。

從學(xué)習(xí)幾何概念來看，以幾何為內(nèi)容的變式應(yīng)“加強(qiáng)聯(lián)系，注重對(duì)比”。幾何新概念應(yīng)從學(xué)生已知的舊概念或已有經(jīng)驗(yàn)變式而來，并且要注重幾何概念和幾何圖形的對(duì)應(yīng)與聯(lián)系，對(duì)于概念和非概念示例、原型概念圖形和非原型概念圖形應(yīng)注重比較。

從解決幾何問題來看，以幾何為內(nèi)容的變式應(yīng)立足教材，鏈接考題。教材和考題中的幾何圖形的變式應(yīng)依圖發(fā)揮，達(dá)到深度變式，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)。對(duì)于簡(jiǎn)單的幾何圖形，通過“正向變式”增添或改變數(shù)學(xué)元素的方式，使簡(jiǎn)單圖形走向復(fù)雜，使其變得更具數(shù)學(xué)味道和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值；對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，應(yīng)該追根溯源，通過“逆向變式”將復(fù)雜圖形一步步簡(jiǎn)單化、模型化，使變式的最終落腳點(diǎn)在基本圖形或數(shù)學(xué)模型上；對(duì)于復(fù)雜程度一般的幾何圖形，通過雙向變式，使變式既走向圖形的“來路”，也走向圖形的“去處”。通過變式學(xué)習(xí)，使學(xué)生形成對(duì)幾何圖形的模型化、結(jié)構(gòu)化，進(jìn)而提升學(xué)生解決新問題的能力。

從培養(yǎng)幾何素養(yǎng)來看，以幾何為內(nèi)容的變式應(yīng)兼顧可視化和操作化?？梢暬膸缀巫兪绞侵竿ㄟ^試卷、課件、圖片等直接向?qū)W生呈現(xiàn)可視化的變式內(nèi)容。僅在這種幾何變式下，學(xué)生只能被動(dòng)地接受已有變式內(nèi)容和變式經(jīng)驗(yàn)。而操作化的幾何變式強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探究變式的過程以及自我變式經(jīng)驗(yàn)的獲得。圖形化交互資源整合了做的經(jīng)驗(yàn)和看的經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)，同時(shí)也有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣［11］?；趫D形交互資源來展開幾何變式，學(xué)生不僅能夠獲得直接的變式結(jié)果，而且能夠體驗(yàn)整個(gè)變式過程，獲得直接的變式經(jīng)驗(yàn)，這樣更有利于學(xué)生將幾何知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為潛在的幾何素養(yǎng)。

2）以教學(xué)為載體的變式研究

變式教學(xué)是中小學(xué)數(shù)學(xué)變式研究的集中體現(xiàn)，且大多是圍繞具體的數(shù)學(xué)問題來展開，例如：對(duì)一些教材的例題、習(xí)題的變式［12-14］，對(duì)典型的中高考題的變式［15-20］。對(duì)于數(shù)學(xué)問題的變式設(shè)計(jì)，要有利于形成一題多變、一題多解、多題一解，同時(shí)要注重對(duì)比性問題變式的設(shè)計(jì)［21］。

此外，在數(shù)學(xué)概念課中，通過運(yùn)用正反兩方面的變式，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解［22］；在拓展概念外延和構(gòu)建概念體系的過程中，通過概念的變式，有利于牢固掌握概念，同時(shí)能夠從“標(biāo)準(zhǔn)”和“非標(biāo)準(zhǔn)”兩方面來理解概念［23］。在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念課中，通過概念多元表征的變式，可以使學(xué)生深層次地理解概念的內(nèi)涵和本質(zhì)，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生抽象能力的發(fā)展［24］。從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容出發(fā)，例如：以“基本不等式”為教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)變式情境、變式問題、解法變式、語言變式、圖形變式等過程來展開變式教學(xué)［25］；以“概率與統(tǒng)計(jì)”為內(nèi)容，從概念性變式、過程性變式、解題型變式3個(gè)角度來實(shí)施變式教學(xué)［26］。

變式教學(xué)可以理解為“變式的教”和“變式的學(xué)”兩方面。當(dāng)前的變式教學(xué)大多聚焦在“變式的教”，教師對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容展開變式，在數(shù)學(xué)課堂中向?qū)W生呈現(xiàn)變式問題，學(xué)生再解決變式問題，通過教師“變式的教”，學(xué)生能夠?qū)W會(huì)相關(guān)的變式內(nèi)容。雖然變式教學(xué)的目的之一是要使學(xué)生學(xué)會(huì)具體的變式內(nèi)容，但是學(xué)生變式思想的形成對(duì)于變式教學(xué)更為重要。變式思想的形成一定是在學(xué)生“變式的學(xué)”中潛移默化形成的，其有利于學(xué)生從“學(xué)變式”走向“會(huì)變式”。要想使學(xué)生在數(shù)學(xué)變式課堂教學(xué)中達(dá)到“變式的學(xué)”，“變式空間”的建立非常重要，“變式空間”是“變式的教”和“變式的學(xué)”中間的一個(gè)過渡區(qū)域，其為學(xué)生在變式教學(xué)中提供了思考變式的空間以及參與變式的機(jī)會(huì)，而教師是“變式空間”建立的主角，應(yīng)學(xué)會(huì)為變式留白，這就需要教師注重教學(xué)法的變式以及具有變式留白特征的教學(xué)法的運(yùn)用。

3）以思維為目的的變式研究

變式不僅是為了讓學(xué)生更加熟練的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法，更要促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升。過于標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)變式容易使學(xué)生的思維固化，而非標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)變式，能夠發(fā)散學(xué)生的思維，擺脫固有思維的困境［27］。從不同的角度進(jìn)行變式，可以促進(jìn)思維整體性的發(fā)展。對(duì)問題情境、解題方法進(jìn)行變式，能夠有效提升學(xué)生的抽象思維和發(fā)散思維的能力［28］。對(duì)幾何圖形進(jìn)行變式，在“變”中尋找“不變”的本質(zhì)，促進(jìn)形象思維的發(fā)展［29］。通過比較變式，促進(jìn)邏輯思維能力的發(fā)展；通過正反變式，促進(jìn)辯證思維能力的發(fā)展；通過遞進(jìn)變式，促進(jìn)創(chuàng)新思維能力的發(fā)展［30］。

在當(dāng)前大單元整體教學(xué)的背景下，中小學(xué)數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)化課程內(nèi)容和結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思維。通過結(jié)構(gòu)化課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)能夠有效促進(jìn)對(duì)學(xué)生結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，同時(shí)結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思維的形成也有利于學(xué)生有結(jié)構(gòu)地去理解數(shù)學(xué)知識(shí)。點(diǎn)狀思維只停留在表面，很難深入到本質(zhì)；線狀思維只關(guān)注思維的縱向，不考慮橫向聯(lián)系［31］。這兩種思維方式雖然能夠使學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)，但很難使學(xué)生達(dá)到對(duì)于知識(shí)的應(yīng)用和遷移。而結(jié)構(gòu)化思維是一種有序的網(wǎng)狀思維，既從縱向深入到本質(zhì)，又能從橫向產(chǎn)生聯(lián)系。在數(shù)學(xué)變式中需要通過形成結(jié)構(gòu)化變式來培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。結(jié)構(gòu)化變式需要形成有序的變式網(wǎng)，變式網(wǎng)的形成從縱向看需要有梯度，從橫向看需要有維度，從整體看需要對(duì)變式進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合。

2.3.4 關(guān)鍵詞突現(xiàn)分析

依據(jù)檢索文獻(xiàn)中關(guān)鍵詞在某一時(shí)間段出現(xiàn)較大變化的情況，基于CiteSpace的關(guān)鍵詞突現(xiàn)分析，得到該領(lǐng)域關(guān)于關(guān)鍵詞拐點(diǎn)出現(xiàn)及其持續(xù)時(shí)間的可視化的圖譜，如圖5所示。該領(lǐng)域共出現(xiàn)11個(gè)突變強(qiáng)度較高的關(guān)鍵詞，分別是：素質(zhì)教育（4.25）、培養(yǎng)學(xué)生（3.24）、變式訓(xùn)練（3.14）、創(chuàng)新能力（3.37）、數(shù)學(xué)教學(xué)（3.97）、數(shù)學(xué)課堂（3.2）、課堂教學(xué)（4.11）、初中數(shù)學(xué)（9.46）、高中數(shù)學(xué)（9.29）、小學(xué)數(shù)學(xué)（4.33）、核心素養(yǎng)（9.38）。

2.3.5 研究導(dǎo)向分析

根據(jù)關(guān)鍵詞突現(xiàn)及相關(guān)文獻(xiàn)的分析，可知數(shù)學(xué)變式已經(jīng)廣泛地運(yùn)用到中小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)變式也從零散的變式訓(xùn)練向系統(tǒng)的變式教學(xué)轉(zhuǎn)變，近20年數(shù)學(xué)變式有素質(zhì)教育和核心素養(yǎng)2個(gè)導(dǎo)向。

1）以素質(zhì)教育為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)變式

2001年全國基礎(chǔ)教育工作會(huì)議發(fā)布了《國務(wù)院關(guān)于基礎(chǔ)教育改革與發(fā)展的決定》，明確提出了加快構(gòu)建符合素質(zhì)教育要求的基礎(chǔ)教育課程體系。課堂教學(xué)是落實(shí)素質(zhì)教育的主戰(zhàn)場(chǎng)，而變式教學(xué)能夠發(fā)展學(xué)生的

思維和能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，所以變式教學(xué)是實(shí)施素質(zhì)教育的一個(gè)重要途徑。同時(shí)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是素質(zhì)教育必不可少的一部分，可以通過創(chuàng)設(shè)開放性的變式問題［32］，加強(qiáng)變式思維的訓(xùn)練［33］來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

2）以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)變式

數(shù)學(xué)課程的基本理念指出“落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”。所以數(shù)學(xué)變式不能僅停留在知識(shí)的獲得及技能的形成上，使學(xué)生的思維得到進(jìn)階，能力得到提升，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展才是其真正意義所在。在實(shí)際的教育教學(xué)中，應(yīng)該將發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)做為數(shù)學(xué)變式的高階目標(biāo)［5］，變式應(yīng)該成為核心素養(yǎng)視角下深度學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)［34］，同時(shí)核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)也需要注重變式［35］。

3 數(shù)學(xué)變式研究的特征與走向

3.1 研究的特征

3.1.1 研究?jī)?nèi)容從單一到豐富

變式在數(shù)學(xué)教學(xué)中的系統(tǒng)研究與運(yùn)用首先出現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)幾何概念的教學(xué)中，顧泠沅提出了概念性變式和過程性變式，概念性變式又可分為概念變式和非概念變式，通過概念性變式，使學(xué)生能夠從多角度理解概念，從而深入的理解到概念的本質(zhì)。過程性變式能夠?yàn)閷W(xué)生提供概念形成的動(dòng)態(tài)過程，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的建構(gòu)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，進(jìn)而有利于知識(shí)的運(yùn)用和遷移。變式對(duì)于我國數(shù)學(xué)教育具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，對(duì)它的研究也從理論層面逐漸走向?qū)嵺`層面，同時(shí)研究?jī)?nèi)容的廣度也在不斷的提升，不僅涉及了函數(shù)、代數(shù)、幾何和概率統(tǒng)計(jì)等課程內(nèi)容領(lǐng)域，對(duì)于初高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的變式研究與推廣也更加深入與廣泛。并且有學(xué)者從數(shù)學(xué)課型的視角，提出了不同課型的變式教學(xué)的基本范式［36］。所以，數(shù)學(xué)變式的研究?jī)?nèi)容從單一的幾何概念變式，逐漸走向豐富的多領(lǐng)域、多課型的多元變式。

3.1.2 研究載體從解題到教學(xué)

數(shù)學(xué)變式經(jīng)歷了從變式訓(xùn)練向變式教學(xué)的轉(zhuǎn)變。變式訓(xùn)練是一種解題訓(xùn)練方式，強(qiáng)調(diào)從怎樣解題出發(fā)來展開變式，通過編制變式題組，使形成一題多解、多題一解等，但是機(jī)械的變式訓(xùn)練容易造成新的題海戰(zhàn)術(shù)。而變式教學(xué)是一種教學(xué)方法，重在將數(shù)學(xué)變式融入到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中。變式教學(xué)不僅可以豐富課堂教學(xué)，為課堂教學(xué)添彩增色［37］，而且有利于學(xué)生建立起對(duì)數(shù)學(xué)概念的多角度理解，增長(zhǎng)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通［38］。

3.1.3 研究目的從熟練做題到培養(yǎng)思維

以往強(qiáng)調(diào)通過變式訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生解決問題的技能和技巧，使學(xué)生把握問題的本質(zhì)，學(xué)到解題的通性通法，達(dá)到熟練做題的程度。但是這種傳統(tǒng)的變式訓(xùn)練僅僅使學(xué)生的認(rèn)知水平停留在操作與識(shí)別層面，未能達(dá)到數(shù)學(xué)思想的高度［39］。變式教學(xué)是從問題的本質(zhì)特點(diǎn)出發(fā)，從不同的角度和方向抓住事物的特殊屬性，進(jìn)而概括出事物一般屬性的思維方式的教學(xué)方法［40］。變式教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)生思維的活力，使學(xué)生把握思維的本質(zhì)，理清思維的脈絡(luò)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)［6］，同時(shí)巧妙的變式教學(xué)設(shè)計(jì)能夠促進(jìn)學(xué)生高效思維的自動(dòng)化［41］。從不同的變式類型看，概念性變式有助于思維技能的準(zhǔn)確把握，過程性變式是促進(jìn)思維在不同情境間應(yīng)用和遷移的有效手段［41］。

3.1.4 研究導(dǎo)向從素質(zhì)教育到核心素養(yǎng)

素質(zhì)教育是針對(duì)應(yīng)試教育的弊端而提出的以提高國民素質(zhì)為根本宗旨的教育，有利于培養(yǎng)人的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，促進(jìn)人的全面發(fā)展。但是素質(zhì)教育在實(shí)踐的過程中還存在諸多的難題［42］，這嚴(yán)重制約著素質(zhì)教育的全面發(fā)展。而核心素養(yǎng)是對(duì)素質(zhì)教育的繼承和超越，它更加重視對(duì)新時(shí)代人的素養(yǎng)的培養(yǎng)，更有利于全面把握人的素質(zhì)結(jié)構(gòu)［43］。所以，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)變式研究更加具有時(shí)代特點(diǎn)，更有助于克服應(yīng)試教育的弊端，促進(jìn)素質(zhì)教育的全面發(fā)展與實(shí)施，同時(shí)也更有助于落實(shí)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

3.2 研究的走向

3.2.1 加強(qiáng)主體合作，構(gòu)建研究共同體

從研究主體看，該領(lǐng)域研究機(jī)構(gòu)和人員之間的聯(lián)系大多比較分散，相互之間的合作還有待加強(qiáng)，中小學(xué)一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)成為研究主力。事實(shí)上，由于數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性、應(yīng)用性等特征，中小學(xué)一線教師長(zhǎng)期與數(shù)學(xué)變式打交道，積累了豐富的數(shù)學(xué)變式及其教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。通過將一線中小學(xué)數(shù)學(xué)教師納入研究共同體，將他們的經(jīng)驗(yàn)聚沙為塔，進(jìn)而上升為具有廣泛實(shí)用性的模式、策略，這將極大地推動(dòng)中國數(shù)學(xué)變式研究走向世界。

3.2.2 立足課堂教學(xué)，滿足學(xué)生需要

隨著數(shù)學(xué)課程改革的逐步深入，那種“頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳”的曇花一現(xiàn)的研究形式已經(jīng)行不通了，數(shù)學(xué)變式研究的持續(xù)性和深度需要進(jìn)一步提高。課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)變式研究的主陣地，學(xué)生需要是數(shù)學(xué)變式研究的內(nèi)驅(qū)力，只有立足課堂教學(xué)、針對(duì)學(xué)生需要的數(shù)學(xué)變式研究才具有生命力，才能夠具有持續(xù)性，達(dá)到一定深度。

3.2.3 深挖研究問題，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

從研究熱點(diǎn)和趨勢(shì)看，中小學(xué)數(shù)學(xué)變式主要是以變式教學(xué)的方式來呈現(xiàn)，并且變式教學(xué)大多是從對(duì)問題的變式出發(fā)來展開的，同時(shí)也包括一些基本課型和具體教學(xué)內(nèi)容的變式研究。但是當(dāng)前的變式教學(xué)還存在諸多不足，這些不足應(yīng)成為變式研究的問題。一是變式源選取的意義和價(jià)值不大。真正有價(jià)值的變式源需要蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想、方法和原理，一定要有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，同時(shí)也一定要有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)。二是過于追求變式的數(shù)量和難度。這就導(dǎo)致變式問題“散、難、多”，進(jìn)而使課堂目標(biāo)不聚焦，同時(shí)忽視了學(xué)生的基本學(xué)情，使整個(gè)課堂效率低下，不利于多維課堂目標(biāo)的整體達(dá)成。三是在變式教學(xué)課堂中學(xué)生的主體性需要加強(qiáng)。教師對(duì)問題進(jìn)行變式、學(xué)生再解答變式問題的教學(xué)模式已不能完全滿足實(shí)際的教學(xué)需要。學(xué)生只能知道問題“到哪里去”，很難了解到問題“從哪里來”，這實(shí)際上是形成了新的題海。學(xué)生的思維也被老師牽著鼻子走，這不利于學(xué)生持續(xù)性、整體性的發(fā)展。同時(shí)要從“雙基”發(fā)展為“四基”，學(xué)生的變式經(jīng)驗(yàn)是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)必不可少的一部分。

3.2.4 優(yōu)化變式教學(xué)研究，發(fā)展核心素養(yǎng)

一要注重變式教學(xué)的針對(duì)性研究。所謂的針對(duì)性，是指變式教學(xué)需要對(duì)教學(xué)目標(biāo)聚焦，并且針對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行有目的的階梯式變式，從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的逐步達(dá)成。二要注重變式教學(xué)的整體性研究。所謂的整體性，是指變式教學(xué)需要預(yù)先的整體設(shè)計(jì)和規(guī)劃，由不同類型的數(shù)學(xué)變式，不僅促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)、技能和方法的深入理解，更要有利于學(xué)生思維整體性的發(fā)展。三要注重變式教學(xué)的生主性研究。所謂的生主性，是指學(xué)生不僅要成為“解題”的主體，也應(yīng)成為“變題”的主體，讓學(xué)生自主去發(fā)現(xiàn)并提出變式問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，學(xué)生自主提問的過程也是學(xué)生深入思考的過程，在這個(gè)過程中學(xué)生能夠明白變式的來龍去脈，抓住變式的本質(zhì)，同時(shí)學(xué)生變式的過程也是學(xué)生思維外化的過程，這將有利于教師充分了解學(xué)生，進(jìn)而更好的對(duì)課堂進(jìn)行宏觀調(diào)控和微觀調(diào)整。四要注重變式教學(xué)的高階性研究。所謂的高階性，是指通過變式教學(xué)使學(xué)生達(dá)到高階學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，從布盧姆教育目標(biāo)分類學(xué)來看，培養(yǎng)高階思維就是要使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅限于達(dá)到記憶、理解、應(yīng)用的低階水平維度，而需要更進(jìn)一步達(dá)到分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造的高階水平維度。同時(shí)高階的變式教學(xué)需要將促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展作為變式教學(xué)的高階目標(biāo)。

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Changes of Chinese “Mathematical Variation” Researchin the Past Two Decades：An Analysis Based on Visual Data

LUO Ke-yu，TANG Qiang

（School of Mathematics and Information，China West Normal University，Nanchong Sichuan 637009，China）

Abstract：Variation and its teaching are one of the characteristics of Chinese mathematics education and teaching.Taking the mathematical variation of primary and secondary schools as the theme，this paper visually analyzes the research subjects，hot spots and trends in this subject field from the perspective of authors，institutions and keywords，based on the database of China National Knowledge Infrastructure （CNKI） and with the help of the software Citespace.In terms of research subjects，the connection between research institutions and researchers is relatively loose，so it is necessary to strengthen the cooperation of subjects and build a research community.In the aspects of research hotspots and trends，the mathematical variation of primary and secondary schools takes geometry as its main content，teaching as its carrier，and the improvement of students’ thinking as its purpose.The research content is multi-field and multi-class，so it is necessary to rely on classroom teaching to meet the needs of students.At the same time，it is essential to dig deep into research problems and highlight the essence of mathematics.In addition，the core quality-oriented variation teaching is a major trend of research，and it is a must to strengthen the optimization of variation （teaching） research and development of core literacy.

Keywords：mathematical variation；CiteSpace；literature review；visualization map；primary and secondary schools