■陳澤民

三角函數(shù)求值問題的關(guān)鍵是找出條件中的角與結(jié)論中的角的聯(lián)系,依據(jù)函數(shù)名稱的變換特點(diǎn),選擇合適的公式求解。下面就三角函數(shù)求值題型進(jìn)行舉例分析,供大家學(xué)習(xí)與提高。

一、利用三角函數(shù)的定義求值

例1 已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為,則sinαtanα=____。

定義法求三角函數(shù)值的三種類型:已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),求角α的三角函數(shù)值,先求P到原點(diǎn)的距離,再利用三角函數(shù)的定義求解;已知角α的某個(gè)三角函數(shù)值,求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值,可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值;已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小,根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)。

二、利用誘導(dǎo)公式求值

誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則:負(fù)化正、大化小,化到銳角為終了。誘導(dǎo)公式用角度制和弧度制表示都可,運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意函數(shù)名稱的變化,以及正負(fù)號(hào)的選取。

三、利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系求值

例3 已知tanα=3,則sin2α-3sinαcosα+1的值為____。

已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值,求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值,這類問題用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解,一般分為三種情況:①一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值和這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置都是已知的,此類情況只有一組解;②一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是已知的,但這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置沒有給出,解答這類問題,首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置,然后分不同的情況求解;③一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的,此類情況要對(duì)字母進(jìn)行討論,并注意適當(dāng)選取分類標(biāo)準(zhǔn),一般有兩組解。

四、利用三角函數(shù)性質(zhì)求值

偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),f(x)=Acos(ωx+φ)圖像上相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為半個(gè)周期。

五、利用和差公式求值

給值求值問題,即給出某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題的關(guān)鍵在于“變角”,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等。解答給值求值問題的關(guān)注點(diǎn):把所求角用含已知角的式子表示,一定要注意角的范圍的討論。

六、利用倍角公式求值

三角函數(shù)式的化簡求值的關(guān)注點(diǎn):一看“角”,通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式;二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式;三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,找到變形的方向。