顧新輝

摘要：一年級學(xué)生對等號概念的整體掌握程度不容樂觀，尤其是等號兩邊都有運(yùn)算的情境對于發(fā)展等號概念較為困難.文章試圖借助天平平衡模型幫助學(xué)生發(fā)展等號概念的教學(xué)，從三個(gè)角度加以闡述：一是通過操作活動(dòng)，把抽象的等號概念學(xué)習(xí)具體化；二是通過啟發(fā)性引導(dǎo)，促使學(xué)生思考具體活動(dòng)的數(shù)學(xué)化；三是通過強(qiáng)化等號概念的意義，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維.

關(guān)鍵詞：天平平衡模型；等號概念；教學(xué)分析

中圖分類號：G622文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號：1008-0333（2023）32-0083-03

大多數(shù)一年級的學(xué)生在數(shù)字運(yùn)算的表現(xiàn)上，經(jīng)驗(yàn)與掌握程度較為不足.學(xué)生對于等號概念的意義理解較為困難，這與等號概念的呈現(xiàn)方式、教材中對等號概念學(xué)習(xí)課時(shí)數(shù)及學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平有密切關(guān)系.所以，教師在進(jìn)行課程安排時(shí)，需建構(gòu)適切的模型呈現(xiàn)多元的等號概念內(nèi)涵，以此將抽象的問題具體化，便于學(xué)生更好地掌握等號概念.本文以天平平衡模型為例，談?wù)勌炱狡胶饽Ｐ驮诘忍柛拍顚W(xué)習(xí)中的建構(gòu)、鞏固及擴(kuò)展學(xué)生的等號概念的作用.

1 通過操作活動(dòng)，把抽象的等號概念學(xué)習(xí)具體化通常，模式識(shí)別并非某個(gè)個(gè)體的隨意猜想，而是采取掃描或者逐項(xiàng)查核才能正確.因此，只能在同時(shí)處理許多特征的認(rèn)知結(jié)果下才會(huì)發(fā)生[1].不同的情境特征可能呈現(xiàn)不同的模式特征，對于一年級學(xué)生來說，相似情境更易于對其引起注意，從而辨識(shí)出特殊的特征.天平模型的便利之處在于提供給學(xué)生一個(gè)極為清晰的辨識(shí)模式.天平模型是一年級學(xué)生掌握等號概念的辨識(shí)情境、事件及經(jīng)驗(yàn)的初始知識(shí).

將天平具體平衡的情境改成“想象”平衡的情境，將動(dòng)手操作改為思維操作，在腦海中呈現(xiàn)“兩邊一樣”“單邊操作”“雙邊操作”這些問題，發(fā)展直觀想象以及數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng)[2].在此過程中，教師應(yīng)指引學(xué)生書寫符合“反身性”“單邊運(yùn)算”“雙邊運(yùn)算”的算式.課上等學(xué)生寫出正確的算式后，再要求學(xué)生結(jié)合天平平衡的情境，闡述等式的意義，而后呈現(xiàn)算式，希望能利用實(shí)物表征和說明算式的情境.例如7＝7，學(xué)生要在左邊托盤上放上7個(gè)積木，右邊也應(yīng)該同樣如此，表示兩邊相等；或7＋6＝5＋8，學(xué)生操作天平：左邊托盤上有7個(gè)積木，右邊托盤上有5個(gè)積木，左邊又放上6個(gè)積木，變成13個(gè)積木，右邊也要有13個(gè)積木才會(huì)“相等”，所以右邊托盤上還要放上8個(gè)積木.上述活動(dòng)內(nèi)容以“等號”相關(guān)的知識(shí)加以引導(dǎo)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)由簡單到復(fù)雜，通過操作活動(dòng)激發(fā)其學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

具體而言，通過操作活動(dòng)實(shí)現(xiàn)等號概念學(xué)習(xí)具體化，可通過以下幾個(gè)階段實(shí)現(xiàn)：第一，告知學(xué)生天平平衡可以代表“=”，也可將平衡時(shí)的數(shù)量操作過程及結(jié)果用算式呈現(xiàn)，例如天平兩邊皆無積木時(shí)會(huì)呈現(xiàn)平衡，此時(shí)可寫成0=0；第二，呈現(xiàn)天平，讓學(xué)生操作，詢問學(xué)生當(dāng)兩邊托盤一樣高（平衡）時(shí)，代表何種意義？學(xué)生明白兩邊放的積木數(shù)量呈現(xiàn)“相等”（反身性，A=A兩邊為相同的對象）；第三，再呈現(xiàn)天平不平衡的現(xiàn)象，詢問學(xué)生如何讓它“平衡”.學(xué)生嘗試著操作兩邊托盤的積木數(shù)量，以解決問題，了解天平的平衡可表示托盤兩邊數(shù)量“相等”的概念.如，左邊托盤有8個(gè)積木，右邊托盤放5個(gè)積木，怎么操作，兩邊才會(huì)平衡？學(xué)生將右邊托盤再放上3個(gè)積木，總共等于8個(gè)，也可寫成8＝5+3.再分別呈現(xiàn)“托盤兩邊一樣”“托盤單邊操作”“托盤雙邊操作”的問題，提供學(xué)生思考操作.在此過程中，教師應(yīng)指引學(xué)生書寫反應(yīng)“反身性”“單邊運(yùn)算”“雙邊運(yùn)算”的算式表示.等學(xué)生寫出正確算式后，要求學(xué)生結(jié)合天平平衡的情境，說明等式的意義.

2 通過啟發(fā)性引導(dǎo)，促使學(xué)生思考具體活動(dòng)的數(shù)學(xué)化在小學(xué)階段，通常一個(gè)概念學(xué)習(xí)主要可劃分為：感知→體驗(yàn)→思維→應(yīng)用這四個(gè)階段，為了解學(xué)生對等號概念的掌握程度，活動(dòng)過程可借助于恰當(dāng)?shù)膯栴}進(jìn)行啟發(fā).如在感知等號意義的過程中，可提出“從天平兩端放置的積木，你看到什么變化？”“左右兩邊的積木數(shù)量有什么不同？”等問題，鼓勵(lì)學(xué)生對問題情境加以觀察，從不平衡或變化中，識(shí)別相等概念的情境.而在體驗(yàn)等號概念的意義的過程中，則從情境的變化中，要求學(xué)生記錄，并思考如何將相等的關(guān)系呈現(xiàn).在思維過程中，數(shù)學(xué)知識(shí)便可以從經(jīng)驗(yàn)中獲得，學(xué)生需要把既有的知識(shí)與能力和特殊情境加以整合.以6+4=7+3 是否正確為例，學(xué)生可運(yùn)用數(shù)字合成和分解的模型，通過等號兩邊數(shù)字增減變化的辨識(shí)與經(jīng)驗(yàn)獲得答案，亦可通過運(yùn)算結(jié)果驗(yàn)證兩邊是否相同，而獲得等號的意義.在該階段，可通過啟發(fā)式詢問學(xué)生：你會(huì)采用何種方式來幫助計(jì)算？在應(yīng)用過程中，則要求學(xué)生能夠以等號概念的關(guān)系實(shí)施問題解決，詢問學(xué)生：你能不能想辦法快速算出答案？總之，通過天平平衡四個(gè)階段活動(dòng)的表現(xiàn)與反應(yīng)加以分析、探討，可推論學(xué)生在每種等號概念情境學(xué)習(xí)的狀況.

同時(shí)，等號概念教學(xué)的內(nèi)涵，還包括為問題情境里的各元素呈現(xiàn)適切的配對關(guān)系.思考問題情境里主要的特征或者觀察概念周圍已經(jīng)發(fā)展的事件，思考的知識(shí)促進(jìn)個(gè)體創(chuàng)造現(xiàn)在問題的心智模型.通過現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)的闡述與表現(xiàn)，可將之前一般情境辨認(rèn)的經(jīng)驗(yàn)，轉(zhuǎn)移到知識(shí)的思考模式上.例如以數(shù)字20的合成為例，學(xué)生需同時(shí)注意兩數(shù)字合成后等于20的事實(shí)，其中，若有一數(shù)字改變，則另一數(shù)字也需同時(shí)改變，即滿足□+▲=20.若學(xué)生經(jīng)引導(dǎo)后能發(fā)現(xiàn)此法則，則教師可幫助學(xué)生歸納：一組數(shù)字逐漸增加時(shí)，另一組數(shù)字則會(huì)逐漸遞減的模式變化，同時(shí)了解分解與合成過程中的數(shù)字相互關(guān)系.

3 通過強(qiáng)化等號概念的意義，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維對等號概念或運(yùn)算能力的習(xí)得和轉(zhuǎn)化而言，符號化的問題結(jié)構(gòu)表達(dá)是最基本的[3]，因此必須提供不同情境的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生能掌握等號概念，在于如何運(yùn)用模型進(jìn)行建構(gòu)與推理，如果等號問題情境屬于物理狀態(tài)，那么就需要?jiǎng)?chuàng)造視覺表征，以促進(jìn)空間思考的模型建構(gòu)；若等號問題情境屬于數(shù)字或數(shù)量，為了推理，就需要建構(gòu)一種問題情境的模型.因此，針對等號概念的轉(zhuǎn)化，需將重點(diǎn)集中在“具體表征與抽象數(shù)字”和“情境新穎與熟悉的問題”之間明確連結(jié)的教學(xué)，才能幫助學(xué)生從不同的情境中，通過思考、計(jì)劃與執(zhí)行等過程整合等號概念的學(xué)習(xí).表1呈現(xiàn)的是等號概念教學(xué)情境的內(nèi)容.

一年級學(xué)生所學(xué)的等號概念包含數(shù)字分解、合成能力、以10為主的位值概念，以及運(yùn)算后獲得的數(shù)字保留概念.以天平平衡作為載體，結(jié)合等號“反身性”“單邊運(yùn)算”“雙邊運(yùn)算”概念的教學(xué)情境（如5＝5，6＝4+2，4+2=5+1），配合實(shí)物操作和數(shù)字關(guān)系的辨別、思考、計(jì)劃與執(zhí)行等模型知識(shí)，展現(xiàn)不同情境下的等號概念.

首先，提供呈現(xiàn)在等號兩邊運(yùn)算結(jié)果的情境.通過天平平衡情境，熟練等號單邊數(shù)字的分解與合成能力，在單邊運(yùn)算的情境里，學(xué)生通過天平“平衡”的觀察，把天平平衡與等號概念進(jìn)行連結(jié)，理解等號可表示“兩邊相等”的概念.同時(shí)教師提供與引導(dǎo)等式記錄的方式，讓學(xué)生理解并呈現(xiàn)問題情境的運(yùn)算結(jié)果，可置于等號的左邊或右邊.

其次，幫助學(xué)生了解等號表示兩邊對象一樣的意義.學(xué)生利用運(yùn)算方式判斷算式是否具有相等關(guān)系，在數(shù)字分解與合成的過程中，若受限于計(jì)數(shù)技巧不熟練及認(rèn)知資源不足，那么等號概念的理解將會(huì)變得困難.換言之，要對兩邊運(yùn)算命題產(chǎn)出正確解答，“等號單邊”運(yùn)算能力是基本的要求，單邊運(yùn)算能力是學(xué)生擴(kuò)展等號概念其它意義的基礎(chǔ)，也是幫助學(xué)業(yè)成績較低的學(xué)生驗(yàn)證雙邊運(yùn)算結(jié)果的必要能力.運(yùn)用等號解決問題的能力會(huì)受到學(xué)生對數(shù)字分解與合成能力掌握程度的影響，特別是運(yùn)用等號對開放式問題的等號算式的解決.因此，在等號概念的教學(xué)過程中，不僅要強(qiáng)調(diào)概念性的知識(shí)，還要配與一定的程序性知識(shí)訓(xùn)練，借助模型發(fā)展等號的概念和意義，使等號概念更為豐富.

當(dāng)進(jìn)入等號反身性教學(xué)情境時(shí)，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)具有“等號代表兩邊對象相等”的認(rèn)識(shí)，教師可通過引導(dǎo)學(xué)生思考“兩邊對象相等”的含義，讓學(xué)生明白等號是對象本身，也可以是具有相同運(yùn)算結(jié)果的對象.但不論對象是通過運(yùn)算得到的結(jié)果，還是本身的投射，即便是存在“0”的情境出現(xiàn)時(shí)，均是等號“反身性”的意義.

最后，驗(yàn)證等號兩邊可同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算，強(qiáng)化等號兩邊數(shù)字運(yùn)算的能力.兩邊運(yùn)算的情境，一般開始的時(shí)候會(huì)受限于計(jì)算解題所需的認(rèn)知資源，因此，需要熟練運(yùn)算數(shù)字技巧后方可進(jìn)行.在實(shí)際教學(xué)中，可以先呈現(xiàn)“等號單邊運(yùn)算”與“等號反身性”的情境教學(xué)，等學(xué)生理解等號是具有“兩邊對象相等”的關(guān)系概念后，再進(jìn)入雙邊運(yùn)算的教學(xué)情境.若無堅(jiān)實(shí)的運(yùn)算能力和正確的等號關(guān)系概念作為基礎(chǔ)，貿(mào)然地接觸雙邊運(yùn)算教學(xué)活動(dòng)，將會(huì)造成觀念混淆且易在學(xué)習(xí)上產(chǎn)生挫折.

總之，人類學(xué)習(xí)的困難之處在于如何應(yīng)用抽象的范疇去知覺真實(shí)世界的事物，模型便是一種紐帶，它能提供被知覺現(xiàn)象的表征，并于限制的內(nèi)在范疇下加以說明.利用天平平衡的模型來組織一年級學(xué)生理解等號概念學(xué)習(xí)，能夠有效地表征等號概念的特點(diǎn)，進(jìn)而幫助學(xué)生發(fā)展等號的符號意識(shí)和代數(shù)思維，將現(xiàn)實(shí)世界與客觀符號進(jìn)行有效連結(jié)，使學(xué)生更好地掌握和利用等號概念實(shí)施問題解決.

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［責(zé)任編輯：李璟］