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        直擊本質(zhì) 觸類旁通

        2023-12-03 09:37:28劉靜
        初中生世界 2023年43期
        關(guān)鍵詞:年級組平均數(shù)中位數(shù)

        文/劉靜

        本章內(nèi)容與實(shí)際問題緊密相連,因此問題的背景會千變?nèi)f化,問題的表述也會千差萬別。但面對實(shí)際情境,我們只要抓住本質(zhì),便能將知識遷移到不同的問題中,做到舉一反三,觸類旁通。

        情境:某校七、八年級開展了一次實(shí)踐活動,對學(xué)生的活動情況按10 分制進(jìn)行評分,成績(單位:分)均為不低于6 的整數(shù)。現(xiàn)從這兩個年級各隨機(jī)抽取10 名學(xué)生的活動成績作為樣本進(jìn)行整理,并繪制統(tǒng)計圖表,部分信息如下:

        七年級10名學(xué)生活動成績扇形統(tǒng)計圖

        問題1:樣本中,七年級學(xué)生的活動成績?yōu)?分的有幾人?

        【解析】由扇形統(tǒng)計圖可得成績?yōu)?分的學(xué)生數(shù):10×(1-50%-20%-20%)=1。

        問題2:你可以從哪些角度分析這組數(shù)據(jù)?

        【解析】可以分析這組數(shù)據(jù)的集中趨勢。因為一個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)或者這個數(shù)所占的百分比都可以表達(dá)這個數(shù)的重要程度——“權(quán)”,所以可以這樣理解:扇形統(tǒng)計圖中的百分?jǐn)?shù)是對應(yīng)分?jǐn)?shù)的“權(quán)”,則平均成績?yōu)椋?×10%+8×50%+9×20%+10×20%=8.5(分)。將這組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列,因為共有10個數(shù)據(jù),第5和第6個數(shù)據(jù)都是8,所以中位數(shù)為8。10 個數(shù)據(jù)中,8 出現(xiàn)5 次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以眾數(shù)是8。當(dāng)然,我們從扇形統(tǒng)計圖中也能直觀地看到8 占50%,權(quán)重最大,所以眾數(shù)為8。

        問題3:如果七年級共900 人,你能估計全年級的情況嗎?

        【解析】用樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)可以估計總體的相關(guān)情況。

        問題4:若小明記錄數(shù)據(jù)時,誤將一個8分寫成9分,這對這組數(shù)據(jù)的集中趨勢會產(chǎn)生哪些影響?

        【解析】這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)比原數(shù)據(jù)的平均數(shù)大,新數(shù)據(jù)的中位數(shù)變大為8.5,眾數(shù)不變。

        情境:再看八年級10 名學(xué)生活動成績統(tǒng)計表:

        已知八年級10 名學(xué)生活動成績的中位數(shù)為8.5分。

        問題5:求a、b。

        【解析】將八年級10 名學(xué)生的活動成績按從小到大順序排列,它的中位數(shù)是第5和第6個數(shù)的平均數(shù),由此可知這兩個數(shù)的和為8.5×2=17=8+9,所以第5、第6 個數(shù)據(jù)分別為8、9,則成績?yōu)? 分的有2人,成績?yōu)?分的有3人,即a=2,b=3。

        問題6:若七、八年級各增加一個學(xué)生成績:8 分,那么這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)會發(fā)生改變嗎?若想要七年級(八年級)學(xué)生成績的中位數(shù)(平均數(shù)或眾數(shù))不改變,你覺得添加一個成績可以是多少?

        【解析】兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都變小。七年級組的中位數(shù)不變,八年級組的中位數(shù)變?yōu)?。七年級組眾數(shù)不變,而八年級組的眾數(shù)變?yōu)?和9。若添加的數(shù)使得排序后“中間”的數(shù)不變,那么中位數(shù)不改變;若添加與平均數(shù)相同的數(shù)據(jù),那么平均數(shù)不改變;若添加的數(shù)使得出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)不變,那么眾數(shù)不變。

        問題7:對七、八年級的成績,說說你的想法。

        【解析】可以用極差和方差描述數(shù)據(jù)的離散程度。

        由此可知七年級的極差、方差較小,數(shù)據(jù)更穩(wěn)定,學(xué)生成績相對集中。

        問題8:還有沒有其他角度分析數(shù)據(jù)呢?

        【解析】比如,活動成績不低于9 分為“優(yōu)秀”,那么七年級的優(yōu)秀率為,八年級的優(yōu)秀率為。從這個角度可以說明八年級優(yōu)秀率更高。

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