[摘 要]基于教學－科研－思政三位一體的教育理念，高等院校針對實變函數(shù)教學課程進行了一系列的改革措施。文章以學生的思維發(fā)展為中心，采用比較式教學法、案例式教學法，利用思維導圖、專題教案、思政案例集、慕課網(wǎng)絡教學平臺等工具幫助學生提高學習認知能力、掌握科學思維能力，增強勇攀科學高峰的理想信念。

[關(guān)鍵詞]高效輸入；高效輸出；案例式教學；思政元素

黨的十八大以來，以習近平同志為核心的黨中央堅持實施創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，要求以改革創(chuàng)新精神推動高等教育發(fā)展，培養(yǎng)更多服務國家奉獻社會的優(yōu)秀人才?；A研究特別是基礎數(shù)學是發(fā)現(xiàn)重大科學技術(shù)必不可少的工具。因而如何將教學、科研與思政有機融合在課堂上，是新時代下每一位基礎數(shù)學專業(yè)老師必須思考的問題。

實變函數(shù)課程內(nèi)容抽象、邏輯嚴謹、理論性強、證明方法具有巧妙的構(gòu)造性，是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)和科研能力的理想課程。學生有了良好的數(shù)學素養(yǎng)和科研能力，一方面可以為研究生階段課程的學習打下堅實基礎，為人工智能、量子物理等交叉學科的應用提供保障[1]；另一方面，也是貫徹習近平總書記提出的高校應培養(yǎng)應用型和創(chuàng)新復合型人才的指示所必不可少的條件。

高校不僅要培養(yǎng)創(chuàng)新拔尖人才，也要引領(lǐng)學生思考有意義的人生、有價值的事業(yè)，這也是一項重中之重的工作。而課堂教學是鑄魂育人的主渠道，是落實立德樹人的主戰(zhàn)場。因而在實變函數(shù)教學中，教師要深入挖掘思政元素，讓思政切實落地生根，著力培養(yǎng)能擔當民族復興大任的時代新人。綜上所述，本論文主要探索如何在實變函數(shù)課程中做到教學－科研－思政三位一體，立足知行合一，建立知識育人、思政育人、科研育人體系。

一、實變函數(shù)課程教學現(xiàn)狀

在高等院校理科、工科、管科等專業(yè)教學中，實變函數(shù)是一門非常重要的數(shù)學基礎課程，作為一種在數(shù)學學習中使用的工具，其對提高高校學生的邏輯能力、思維能力和空間運算能力有很大幫助。在經(jīng)濟發(fā)展步入新常態(tài)的背景下，實變函數(shù)在金融、經(jīng)濟和信息等領(lǐng)域得到了越來越多的應用[2]。當前，由于受到傳統(tǒng)教育模式的制約，該領(lǐng)域的學習側(cè)重于知識信息的傳授，而忽視了對該理論背后思想和意義的學習。在課時少、抽象難懂的實變函數(shù)教學中，如何能改進教學方法，提升學生的學習興趣，讓學生更容易地對自己所學到的知識進行吸收，同時還可以利用它來解決現(xiàn)實生活中的問題就顯得十分重要了。

結(jié)合高校實際教學情況，每個數(shù)學專業(yè)的本科生都受過實變函數(shù)的“傷害”，大家經(jīng)常戲稱“實變函數(shù)學十遍”才能掌握精髓。以南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)大學為例結(jié)合多年的教學實踐，實變函數(shù)課程教學中存在的主要問題為：1.實變函數(shù)課程抽象性高，理論性強，幾乎都是概念和定理的證明，證明推導中的每一步又需要反復思考琢磨才能理解，耗時耗力，不受學生“待見”；2.實變函數(shù)的一些理論往往顛覆了學生認為顯然的事情，讓學生感覺不實用，如偶數(shù)集全體與正整數(shù)集全體元素個數(shù)一樣多；3.學生前期所學數(shù)學分析知識不是特別牢固，辯證思維能力不是很強，前幾課時所講的內(nèi)點聚點開集閉集知識點，包含了大量的邏輯證明，很容易讓學生喪失學習的興趣和信心，更別提在課堂上融入思政元素了；4.由于高校課程改革的不斷深入以及通識教育的逐步開展，實變函數(shù)課程學時縮減，在保證課時完整性的同時幾乎難以在課堂中開展思政教育，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，激發(fā)學生對基礎數(shù)學研究的興趣。

二、實變函數(shù)課程教學改革措施

基于教學－科研－思政三位一體的教育理念，南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)大學從課程實際教學改革設計出發(fā)，依據(jù)多年的教學經(jīng)驗、教學反思及學生的教學反饋，在教學內(nèi)容、教學方法、例題設計、考核方式和教師引導等方面進行了改革，形成了一套完整的實變函數(shù)教學體系，學生反饋效果不錯。

（一）依據(jù)學生認知能力和教學目標，重構(gòu)知識體系，編寫專題教案

南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)大學在大三上學期開設實變函數(shù)課程，此時大部分學生的重心放在考研復習上，而實變函數(shù)課程跟考研專業(yè)課數(shù)學分析的很多知識框架是相似的。例如，逐點收斂和一致收斂是數(shù)學分析課程的主要內(nèi)容，但該課程并沒有深刻闡釋兩者之間的關(guān)系，而實變函數(shù)課程中的葉果羅夫定理就詳細介紹了如何通過微創(chuàng)手術(shù)把逐點收斂轉(zhuǎn)化為一致收斂；在講勒貝格積分的性質(zhì)時，也可以與定積分重積分的性質(zhì)進行比較。通過這種學科之間的比較，一方面可以激發(fā)學生的學習興趣，另一方面可以讓學生對理論知識有一個直觀而深刻的認識，加強理解。教師將這類知識點進行專題匯總，并繪制了思維導圖使這類知識可視化，促進學生認知加工，同時配備了填空題、選擇題和判斷題，通過這種簡單的題型，進一步加深學生對知識的理解[3]。該專題開展的目的是通過“比較”教學法使學生逐步培養(yǎng)自主進行知識遷移的能力，同時產(chǎn)生創(chuàng)造性想法。

除了對可以進行學科比較的知識制作了專題，依據(jù)知識的難易程度和重點程度，對于較簡單但繁雜的概念性知識、證明方法邏輯性較強的知識、可以恰當融入思政元素的知識等編寫專題教案。對于不同的專題教案配備了思維導圖、課堂練習和課下習題、考研復試真題、名師課堂視頻等資料，同時將這些內(nèi)容上傳至學校的Mooc課網(wǎng)絡教學平臺，供學生的不同學習需求。

（二）高效輸入，高效輸出

一門課程想要取得好的教學效果，關(guān)鍵在于授課教師的“高效輸入”。只有教師“會講課”，能夠攫取學生的注意力、通過類比的方式幫助學生思考、利用可視化原則和方法幫助學生提高認知，學生才能“高效輸出”。因而任課教師應不斷學習新的教學方法和手段，探索以學生思維發(fā)展為中心的教學方式，盡力提高學生的認知能力和思維能力。

在授課過程中，改進知識講解方法。利用類比/生活化的比喻，幫助學生理解概念及相關(guān)性質(zhì)。例如，在講解勒貝格積分的定義時，將積分值比喻為“一塊布的面積”，抽掉這塊布的幾根線，并不影響布的面積，因而有有限個間斷點的函數(shù)是黎曼可積的。如果抽掉無限但可數(shù)條線，這塊布就不是一塊布了，因而有無限多間斷點的函數(shù)是非黎曼可積的。這就局限了可積函數(shù)類。為此，授課中可引入勒貝格積分，使得抽掉無限但可數(shù)條線的布“仍有價值”，這個價值怎么去度量呢，這就是課程中第三章需要引入測度的原因。這樣講解，不僅讓學生從幾何直觀感受上理解勒貝格積分的定義，更能激發(fā)學生學習測度、可測函數(shù)等知識的好奇心和強烈興趣。盡可能將部分知識點以案例的形式講解，讓學生先建立感知，然后再抽象出理論[4]。再如，講解可數(shù)集的定義及性質(zhì)時，引入“Hilbert”旅館問題，讓學生安排顧客的住宿問題，分析出現(xiàn)的問題及困難，討論解決方案，總結(jié)此方案合適的原因。

不同于高中時代的教學方式，大學數(shù)學教育一定要注重學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，要以學生為中心，教師做到高效輸入的同時，務必保證學生的高效輸出才是關(guān)鍵。為此，每次課后都要求學生畫知識總結(jié)或?qū)Ρ葓D表（要求明確本節(jié)課的目標，達成目標所需解決的問題，每個問題的解決方案）。學生在畫思維導圖的過程中，會自己總結(jié)對知識點概念的理解程度，思考知識點之間的聯(lián)系。通過訓練學生用圖示的方法來輸出知識點，實現(xiàn)將隱形思維提取并顯性化，在大腦里形成穩(wěn)固的圖式。有了穩(wěn)定的圖式，學生就可以將知識點聯(lián)系起來，并實現(xiàn)融會貫通和靈活使用。

教學改革中，任課教師可以搜集不同高校的考研復試題目，并將題目進行歸類，課堂講解一兩道題，剩下同一類型的題目交給學生以小組形式匯報。將認知模型與知識點有機結(jié)合起來，讓學生清楚這些知識點在具體場景是解決什么問題的，這樣才能讓學生把知識點學活，學以致用。例如，在實變函數(shù)課程中，設計幾個簡單的項目（如勒貝格積分在概率問題中的應用），讓學生做項目匯報[5]。題目講解和項目匯報是更高級別的輸出，是實變函數(shù)知識應用能力、思維領(lǐng)悟能力、PPT制作能力、語言表達能力、團隊溝通協(xié)助能力、吃苦耐勞精益求精等各種能力的綜合體現(xiàn)。

在教學過程中，依據(jù)學生的反饋，任課教師不斷評價反思改進自己的教學方法、教學手段，考核方式等，進行“高效輸入、高效輸出”，逐步加強對學生科學思維方法的訓練，培養(yǎng)學生探索未知、追求真理、勇攀高峰的責任感和使命感。

（三）挖掘數(shù)學思想，融科研于教學中

在數(shù)學專業(yè)課的教學中，重點不是教學生更多的方法，而是提煉出為數(shù)不多的思想和技巧，這些思想和技巧又具有很強的通用性覆蓋了數(shù)學的廣泛領(lǐng)域。在實變函數(shù)理論中，“里斯定理”“勒貝格控制收斂定理”“對角線方法”等作為核心技術(shù)貫穿了數(shù)學物理方程、廣義函數(shù)、高等概率論等課程。學生掌握了這些關(guān)鍵的想法和技巧，就可以順利進入研究生階段。為此，在教學實踐中采用“案例式”教學，挖掘知識背后的主要思想和方法，然后給出一個利用該思想與方法解決實際問題的案例。事實上，實變函數(shù)理論中的可測函數(shù)、勒貝格積分在工程中應用廣泛。工程中的很多函數(shù)性質(zhì)較差，如狄拉克函數(shù)、狄利克雷函數(shù)等，因而所求的解只需廣義解即可，而實變函數(shù)就為其提供了解的框架。在教學中，將自己所研究的輸運方程適當引入到勒貝格積分教學中，讓學生體驗從具體到抽象、再到應用科研的過程，提高學生的學習積極性和主動性，樹立正確的科學研究態(tài)度。

（四）有機融入科學史，讓思政生根發(fā)芽

如何在實變函數(shù)課堂上恰當?shù)娜谌胨颊?，也是課程組老師一直思考的問題。為此在授課過程中可以從科學家的故事、科學的發(fā)展史、科學家的吃苦耐勞、愛國奉獻精神以及一些定理所揭示的生活啟示出發(fā)，編寫思政案例集。由于講授這門課程的學期，學生正處于是否考研，能否考上，選取什么學校的迷茫糾結(jié)狀態(tài)。因而更容易把數(shù)學家的故事講得出彩動人，例如，歐拉在后天失明的艱難處境下，依然取得了非凡的成就，讓學生們逐步建立情感共鳴和理念認同，堅定考研目標，深入學習基礎學科的信念[6]。筆者也是通過考研道路不斷提升自己各方面能力，因此在授課過程中結(jié)合教學內(nèi)容和自身成長經(jīng)歷，激勵學生在焦慮中慢慢樹立信心，堅定前進的步伐。同時，通過實變函數(shù)中某些知識點在實際生活或者物理工程領(lǐng)域的應用，比如，“Hilbert旅館問題”，激發(fā)學生對數(shù)學知識的探索，鼓勵學生追求真理，勇攀科學高峰。

（五）運用慕課，微課等教學平臺開展線上線下交互式教學

伴隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，網(wǎng)絡上也出現(xiàn)了慕課、微課等在線教育方式，老師能夠獲得的教學資源日益豐富。由教育部主辦的“數(shù)學微課教學設計大賽”就是一個寶貴的資源平臺，匯集了國內(nèi)優(yōu)秀數(shù)學老師創(chuàng)作的寶貴微課視頻，這些微課視頻是教學內(nèi)容與信息技術(shù)相融合，進行創(chuàng)新性發(fā)展的杰出結(jié)果。在教授實變函數(shù)時，老師可以讓學生按照教材上的知識點觀看微課，來獲得新的知識，并做好隨堂筆記，在線提交作業(yè)，然后進行課后的測試，再由老師詳細地對所學的重點和難點進行說明，進一步地加深和擴展所學的內(nèi)容。慕課對傳統(tǒng)的教育方式進行了變革，給工科、理科、管科等高校的教育工作提出了新的機會和挑戰(zhàn)，不管是實變函數(shù)，還是高等數(shù)學，都具有很強的邏輯性和很強的前后關(guān)聯(lián)性，唯有將線上和線下教育有機地結(jié)合起來，開展交互的教育方式，方可獲得良好的教育效果。利用慕課、微課開展教育，讓學生不再只是在課堂上被動地聆聽老師的講解，獲得新知識，讓他們可以主動地接受新知識，而且還可以積極地參加到數(shù)學教學的研究中，這對提升他們的自主學習能力起了很大的作用，同時，教師還可以以他們的學習狀況為依據(jù)，在線上和線下對他們進行解答，幫助他們解答問題。

結(jié)束語

三位一體教學模式的建立是一個龐大而艱巨的任務，在新工科理念下，本文對突變函數(shù)教學改革進行了一些初步的探討，但是該課程仍然存在著許多亟待解決的問題，這些問題都會對教學質(zhì)量產(chǎn)生很大的影響。在三位一體教學模式大環(huán)境下，開展實變函數(shù)課程改革，還有待于廣大教育工作者結(jié)合實際進行可持續(xù)的推進與實施。

參考文獻

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[3]郭永興，曉榮，李娟等.大數(shù)據(jù)背景下高校思政課構(gòu)建“三位一體”教學模式研究[J].集寧師范學院學報，2023，45（02）：50-54.

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[6]馬麗，郭學良，魏廣香，等.地方高校生物科學師范專業(yè)“三位一體”實踐教學模式探討——以商丘師范學院為例[J].現(xiàn)代園藝，2022，45（23）：190-192.

作者簡介：高崚嶒（1973— ），男，漢族，安徽望江人，南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)大學公共基礎課部，副教授，碩士。

研究方向：數(shù)學的教學與研究、項目管理。