張志華

摘要：對稱結(jié)構(gòu)是數(shù)學中一個極具美感的特征結(jié)構(gòu)，對稱思維是數(shù)學中一個非常優(yōu)秀的思想方法.結(jié)合三角函數(shù)及其相關(guān)問題中對應要素的對稱關(guān)系，合理借助等差中項的性質(zhì)構(gòu)建對應的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列加以轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)三角函數(shù)問題的創(chuàng)新與求解.

關(guān)鍵詞：對稱；等差中項；等差數(shù)列；三角函數(shù)；開放

對稱結(jié)構(gòu)是一類意義重大、美感十足的原始模型，在建筑學、數(shù)學、藝術(shù)等方面，對稱都是其中一類非常典型的美.而在三角函數(shù)及其相關(guān)知識的綜合與應用中，經(jīng)常借助題設條件與結(jié)論中的不同角、不同三角關(guān)系式，以及對應的三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，以對稱的方式，借助等差中項的構(gòu)建，呈現(xiàn)出全新的角與角、式與式之間的關(guān)系等，使得問題往往變得更加直觀易懂，方便求解與應用[1].

1 利用角的對稱構(gòu)建等差中項

利用不同角之間的對稱關(guān)系，合理構(gòu)建其相應的等差中項，引入第三個角，結(jié)合角之間的關(guān)系進行合理變形與轉(zhuǎn)化，有時對于三角函數(shù)及其相關(guān)問題的破解有奇效，方向性強，直達目標.

點評：抓住題設中兩個不同的角與結(jié)論中所求的角，三者之間恰好構(gòu)成一個等差數(shù)列，構(gòu)建等差中項，引入對應的參數(shù)角，借助三角恒等變換公式可以快捷達到目的.

2 利用式的對稱構(gòu)建等差中項

利用不同三角關(guān)系式之間的對稱關(guān)系，合理構(gòu)建等差中項，結(jié)合等差數(shù)列的概念與性質(zhì)，合理引入?yún)?shù)，利用三角關(guān)系式的變形，結(jié)合三角函數(shù)及其相關(guān)知識的綜合應用來變換，實現(xiàn)問題的突破與求解.

點評：抓住題設中同角的正弦值與余弦值之和為常數(shù)的條件，合理構(gòu)造等差數(shù)列，借助公差這一參數(shù)的引入，合理換元處理，結(jié)合相關(guān)的三角函數(shù)關(guān)系式來轉(zhuǎn)化與應用.正確識別并快速反應，合理根據(jù)題目三角函數(shù)關(guān)系式聯(lián)想到等差數(shù)列，巧妙引入等差中項，綜合等差數(shù)列的概念與性質(zhì)來處理與求解相關(guān)的三角函數(shù)問題，出奇制勝.

3 利用問題條件構(gòu)建等差中項

結(jié)合問題條件，通過變形處理，利用對應元素之間的對稱關(guān)系，合理構(gòu)建相應的等差中項，借助參數(shù)的引入與等差數(shù)列的概念與性質(zhì)等，綜合三角函數(shù)及其相關(guān)知識來分析與求解.

分析：根據(jù)題設中三角關(guān)系式的恒等變形，借助等差中項合理構(gòu)建對應的等差數(shù)列，引入等差數(shù)列的公差d，將tan B與tan C均表示為tan A與d的關(guān)系式，進一步利用三角恒等變換公式及函數(shù)的性質(zhì)來確定tan2A的最值，最后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等來確定相關(guān)的最值問題.

點評：利用解三角形問題背景下對應角的三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征與恒等變形，合理構(gòu)建相應的等差數(shù)列.借助等差中項的性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化解三角形問題中的三角關(guān)系式，是解決問題的關(guān)鍵步驟，形式特殊，思維巧妙.

4 利用問題背景構(gòu)建等差中項

利用問題背景，通過相關(guān)角或式等對應元素之間的對稱關(guān)系，合理構(gòu)建相應的等差中項，巧妙引入?yún)?shù)，結(jié)合三角函數(shù)及其相關(guān)知識來破解對應的開放性、探究性等問題.

例4 （2020年高考數(shù)學北京卷·14）若函數(shù)f（x）=sin（x+φ）+cos x的最大值為2，則常數(shù)φ的一個取值為[CD#3].

點評：結(jié)合三角關(guān)系式中對應角的對稱結(jié)構(gòu)，借助等差中項引入?yún)?shù)，利用函數(shù)關(guān)系式的恒等變形與三角函數(shù)求值的轉(zhuǎn)化，得到一個獨特的解法.開放性問題，開放性思維，奇效性構(gòu)建，創(chuàng)新性應用，綜合起來，創(chuàng)建一個優(yōu)美的解決方案，令人稱奇.

在一些三角函數(shù)及解三角形等相關(guān)問題的破解中，利用題設條件中角、式結(jié)構(gòu)等方面的對稱關(guān)系，合理借助等差中項的性質(zhì)構(gòu)建對應的等差數(shù)列，巧妙利用等差數(shù)列引入相關(guān)參數(shù)，綜合數(shù)列與三角函數(shù)的相關(guān)知識來合理交匯，綜合應用，實現(xiàn)問題的巧妙轉(zhuǎn)化，以全新的思維與面貌展示數(shù)學結(jié)構(gòu)的對稱美，數(shù)學思維的巧妙美[2].

參考文獻：

[1]韓文美.巧借導數(shù)法，妙解三角題[J].教學考試，2021（2）：27-29.

[2]岳菲菲.巧構(gòu)等差數(shù)列 妙解數(shù)學問題[J].中學數(shù)學教學參考，2021（12）：58-59.