顧燕聲

摘 要：概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課堂的重要組成部分.對于有些高中的概念，學(xué)生在初中的學(xué)習(xí)中已經(jīng)有所鋪墊和積累，這樣的概念課需要在學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展與延伸. 這時，需要教師在課堂上能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到新知識與舊知識的異同性，以及在這種延拓的過程中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自主思維，向更深層次探尋數(shù)學(xué)問題的方式方法. 本文以《指數(shù)》這節(jié)概念課為例，探討怎樣能夠基于基本活動經(jīng)驗上好一堂概念課.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；概念課；活動經(jīng)驗；教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的思維形式，在該類對象的范圍內(nèi)具有普遍意義.^［1］數(shù)學(xué)概念課是重要的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之一，教師通過概念課的教學(xué)讓學(xué)生掌握某個知識點的概念，形成對某個知識點的基本的、概括性的認(rèn)識；能夠明確概念的內(nèi)涵和外延，熟悉其表述；了解概念之間的關(guān)系，會對概念進(jìn)行分類，從而形成概念系統(tǒng). 在概念課的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握概念的來龍去脈，正確運用概念解決問題.

《指數(shù)》這一節(jié)概念課不同于高中階段其它知識點，例如《對數(shù)》《橢圓》《雙曲線》等，以上這些對學(xué)生來說都是全新的內(nèi)容和體驗，而對于《指數(shù)》，學(xué)生在初中時就有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，已經(jīng)學(xué)習(xí)過二次根式和三次根式，以及整數(shù)指數(shù)冪的運算，因此這節(jié)課就不是單純的新知識的探索與講授，而是一種加深與拓展，即將整數(shù)指數(shù)冪拓展到有理指數(shù)冪.如何在學(xué)生原有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行再創(chuàng)造，特別是更深入的發(fā)現(xiàn)與挖掘，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)冪指數(shù)可以從整數(shù)范圍拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，這種拓展的延續(xù)性是什么？差異性是什么？在完成這一拓展之后，能不能讓學(xué)生主動去思考無理指數(shù)冪是否有意義？這都是這節(jié)課亟待解決的問題.

1 《指數(shù)》一課教學(xué)設(shè)計分析

在“問題情境”階段，筆者采用的是啟發(fā)引導(dǎo)式的教學(xué)方式，首先拋出問題引起學(xué)生興趣，讓學(xué)生感受到本節(jié)課要研究的是一個生活中會出現(xiàn)的有意思的問題，并且值得做深入的探討.

在此過程中，筆者尤其強調(diào)情境中的問題的形式結(jié)構(gòu)——“冪”，但是它與學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的整數(shù)冪存在差別，因此可以順理成章地向?qū)W生拋出三個問題，即“這樣以分?jǐn)?shù)為指數(shù)的冪，其意義是什么呢？它具有怎樣的運算性質(zhì)？它和整數(shù)指數(shù)冪有什么聯(lián)系和區(qū)別？”一方面，這是提醒學(xué)生，雖然已經(jīng)學(xué)過相似的結(jié)構(gòu)，但是它們是有區(qū)別的，仍然要認(rèn)真對待，仔細(xì)辨別.另一方面，讓學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考意識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.再者，也是教導(dǎo)學(xué)生，以后再遇到這種在已學(xué)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展延伸的問題時，應(yīng)該如何來思考、從哪里找出突破口.

在“問題情境”中喚醒了學(xué)生對冪的記憶，那么接下來就理應(yīng)幫助學(xué)生回憶整數(shù)冪的相關(guān)問題，這部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)主要是為了幫助學(xué)生達(dá)到“溫顧”的目的，也是充分暗示學(xué)生：“今天將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是有基礎(chǔ)和鋪墊的，大家要在原有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步理解今天的新問題.”

在做完以上一系列“熱腦運動”之后，下面即刻進(jìn)入今天學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容：

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過二次根式和三次根式，因此在教學(xué)時不再做過多贅述，而是直接引導(dǎo)學(xué)生從n次根式入手，再通過對比二次根式與三次根式，可以知道在n次根式中，n為奇數(shù)和n為偶數(shù)是不一樣的.在這個過程中，一方面我們實現(xiàn)了字母代替數(shù)，將具體問題進(jìn)行了抽象概括，提高了學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)問題的能力，另一方面，通過對“先開方后乘方”與“先乘方后開方”，即（na）ⁿ與naⁿ這兩種不同運算的辨析，進(jìn)一步強化了對n次方根的認(rèn)識.

當(dāng)然，所有的數(shù)學(xué)概念都是為數(shù)學(xué)應(yīng)用服務(wù)的，在與學(xué)生進(jìn)行了一系列概念的辨析之后，筆者給出了“例1”與“例2”這兩個與n次方根概念相關(guān)的例題進(jìn)行隨堂的鞏固訓(xùn)練，以達(dá)到更好地理解概念的效果.在例題的最后提出一個問題，即“當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)不同時，應(yīng)當(dāng)如何理解這類式子的意義？”這自然是為了引出這節(jié)課的難點——“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”的概念.

通過前面的課堂鋪墊，再與學(xué)生談?wù)摗爱?dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)不同時”這一問題也就變得順理成章了，于是筆者先與學(xué)生共同分析“5a¹⁰”與“4a¹²”這兩個式子，即“外小內(nèi)大”且能被乘除的情況，與初中的“乘方”與“立方”相掛鉤，再進(jìn)一步類比推理到“3a²”“b”“4c⁵”， 至此正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義就呼之欲出了，然后探討負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、0指數(shù)冪，這樣就完成了將學(xué)生初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪拓展延伸至有理指數(shù)冪的過程.進(jìn)而再類比推理有理指數(shù)冪的運算性質(zhì). 最后用兩個例題對概念進(jìn)行鞏固.

這節(jié)概念課涉及了多個知識點的概念，而這些概念之間互相有聯(lián)系，一遍過后很容易有不清晰和混淆的情況，因此要當(dāng)堂小結(jié)，幫助學(xué)生及時消化.

在進(jìn)行本節(jié)課的課堂小結(jié)之后，可以說學(xué)生對有理指數(shù)冪的概念應(yīng)該已經(jīng)掌握得很到位了，接下來可以借著這波熱情，將無理指數(shù)冪的問題提出來，讓學(xué)生在課后進(jìn)行探討、研究和深入思考.

2 教學(xué)啟示

《指數(shù)》這節(jié)概念課說好上也很好上，利用學(xué)生原來對冪的知識，讓其認(rèn)識到整數(shù)指數(shù)冪可以拓展到有理指數(shù)冪即可，但是說難上也很難上，這種由原來知識到更深入知識的拓展與延伸應(yīng)該如何進(jìn)行才能使得這個過程自然而然、順理成章？這就需要老師們對這節(jié)課進(jìn)行研究和設(shè)計.

在教學(xué)之前，筆者的教學(xué)目標(biāo)有兩個.知識點方面：（1） 通過具體實例，探究并理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性質(zhì)與運算; （2） 通過建立根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化; （3） 體會整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，并能熟練運用運算性質(zhì)進(jìn)行計算.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、數(shù)學(xué)計算能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，使學(xué)生能夠舉一反三，主動地對相似的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行拓展與研究，具備數(shù)學(xué)的研究精神與探險精神.

教學(xué)過后，筆者回看這節(jié)課，又有了許多新的感想. 就《指數(shù)》這節(jié)課而言，它的特殊性太明顯了，有種不上這堂課學(xué)生也能會的感覺，但是細(xì)細(xì)一想，這樣的會是真的會，還是一知半解？于是，對于這堂“不學(xué)就會”的課，如何能夠更好地吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生仍舊能夠保持學(xué)習(xí)的熱情和求知的欲望，并能積極的思考，體會數(shù)學(xué)概念延拓的重要性，這是本節(jié)課中除了掌握數(shù)學(xué)知識之外需要做到的最重要的事情.

第一，設(shè)計問題，讓學(xué)生帶著問題展開教學(xué). 這節(jié)課的開頭就應(yīng)該讓學(xué)生知道這不是一節(jié)初中的復(fù)習(xí)課，是“形似但神不似”的一堂新課，在這堂新課中我們需要關(guān)注的是它與原先學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪的不同之處有哪些. 這樣開門見山的引導(dǎo)一方面可以引起學(xué)生對新問題的重視，另一方面，學(xué)生能夠在問題的引導(dǎo)下，有明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，這樣才能有深入思考和探究的方向. 帶著問題的學(xué)習(xí)可以激活學(xué)生的思維，引發(fā)學(xué)生的思考，使學(xué)生的思維能力、探索欲望得到增強.^［2］筆者認(rèn)為問題教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生主動思考、主動參與課堂的最直接也是最高效的方式，除了概念課，其它如習(xí)題課、講評課都可以借鑒. 但是需要注意的是，提出怎樣的問題是老師們需要重點思考的，只有好的問題才能做到事半功倍.

第二，進(jìn)行類比，讓學(xué)生“跳一跳”就能獲得新知識. 在設(shè)計教學(xué)任務(wù)的過程中，首先需要了解學(xué)情，客觀正視最近發(fā)展區(qū)的存在；其次結(jié)合任務(wù)分析法，在準(zhǔn)確把握最近發(fā)展區(qū)的基礎(chǔ)上，制定科學(xué)有效的教學(xué)流程.^［3］例如對于“n次方根”，基于學(xué)生對平方根與立方根的認(rèn)識，完全可以讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)n次方根的特點. 在從特殊到一般的探索過程中，學(xué)生能夠獲得新的知識，也能獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感和滿足感，不但能夠大幅度提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，更能培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力和總結(jié)概括能力.

第三，變換形式，讓學(xué)生能夠體會新舊知識的聯(lián)系. 在《指數(shù)》這節(jié)課上如何過渡到新的概念以及分?jǐn)?shù)意義的指數(shù)冪的意義，這點尤為重要.筆者認(rèn)為以問題的形式，由淺入深，引導(dǎo)學(xué)生不斷思考問題、尋求突破，這個過程是學(xué)生體會新知識的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的過程，也正是“授予漁”的過程.只有學(xué)生學(xué)會了如何在現(xiàn)有知識的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新問題、解決新問題，才能獲得真正的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新思維，體會到思考的快樂.

第四，全盤總結(jié)，讓學(xué)生自主獲得新的概念.教師的課前提問、課堂引導(dǎo)固然重要，但課后的總結(jié)也是不可或缺的. 通過系統(tǒng)的總結(jié)可以將零散的知識點和概念聚攏起來，讓它們從看似無關(guān)，變得實則相關(guān)，在課堂最后告訴學(xué)生這堂課我們學(xué)了什么，可以讓學(xué)生的思維變得清晰、理解也更加到位.

不同的概念課，教學(xué)設(shè)計一定是有很多的差異的. 因課而異，因生而異，但概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，與學(xué)生一同發(fā)現(xiàn)概念，參與到概念的形成中去，這一點是一致的. 在這個過程中所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思維能力、問題研究方法、深入學(xué)習(xí)的意識，能夠很好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 崔紅.基于“最近發(fā)展區(qū)理論”的高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（19）：15-16.