徐道奎

［摘? 要］ 隨機(jī)變量的概念是學(xué)習(xí)隨機(jī)變量分布列、隨機(jī)變量數(shù)字特征（方差、均值）的基礎(chǔ).要重視隨機(jī)變量概念抽象的過程，分析學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)變量存在的困難和問題.文章通過問題引領(lǐng)，著眼于問題解決，分析典型案例，把握隨機(jī)變量抽象的一般方法.

［關(guān)鍵詞］ 隨機(jī)變量；概念抽象；問題解決

問題的提出

隨機(jī)變量的概念是學(xué)習(xí)隨機(jī)變量分布列、隨機(jī)變量數(shù)字特征（方差、均值）的基礎(chǔ). 概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的科學(xué)，在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們往往“不關(guān)心試驗(yàn)結(jié)果的本身，而更加關(guān)注與試驗(yàn)結(jié)果相聯(lián)系的某個(gè)數(shù)”. 因此，需要把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果量化，進(jìn)一步借助數(shù)學(xué)的工具和方法系統(tǒng)解決更為復(fù)雜的概率問題.

隨機(jī)變量的概念是俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫（Chebyshev，1821—1894）在19世紀(jì)中葉建立和提倡使用的. 通過隨機(jī)變量建立數(shù)學(xué)模型，研究隨機(jī)試驗(yàn)，我們不僅可以函數(shù)的方法和視角研究隨機(jī)事件，全面準(zhǔn)確地研究隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)現(xiàn)象，而且量化后的試驗(yàn)結(jié)果能夠更好地揭示統(tǒng)計(jì)規(guī)律，更好地描述隨機(jī)現(xiàn)象，使得概率論從研究定性事件和概率，延伸為研究定量的隨機(jī)變量及其分布，“使概率論真正成為一門數(shù)學(xué)學(xué)科”.

對(duì)于高中生而言，與概率相關(guān)的內(nèi)容都是難點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量及其分布列出現(xiàn)的問題大都是由隨機(jī)變量概念不清而引起的. 如果不注重概念的抽象過程，就會(huì)給后續(xù)學(xué)習(xí)帶來更多的困難. 因此，教師要讓學(xué)生明白為什么引入隨機(jī)變量，怎樣建立隨機(jī)變量，要知道學(xué)生在分析抽象隨機(jī)變量的過程中會(huì)遇到什么困難，有什么認(rèn)識(shí)誤區(qū).

隨機(jī)變量使概率問題數(shù)學(xué)化更進(jìn)了一步，學(xué)生一開始的迷茫困惑是正常的，隨機(jī)變量概念形成的過程是具體問題數(shù)學(xué)化的過程，對(duì)學(xué)生抽象思維能力要求較高，要以問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生分析、解決問題，帶著問題進(jìn)行教學(xué).

人教A版教科書中的隨機(jī)變量概念的建立和抽象過程內(nèi)涵豐富，相應(yīng)的教學(xué)用書全面闡明了編寫意圖并給了很好的教學(xué)建議. 下文是筆者研習(xí)和教學(xué)的體會(huì)，不妥之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

對(duì)隨機(jī)變量及其抽象過程的認(rèn)識(shí)

1. 隨機(jī)變量與隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的關(guān)系是什么？

對(duì)于任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，根據(jù)研究問題的需要，我們總能夠找到一個(gè)用以表示樣本點(diǎn)的數(shù)，把每一個(gè)樣本點(diǎn)都與一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，建立起取值依賴于樣本點(diǎn)的變量，使樣本點(diǎn)數(shù)量化、數(shù)字化. 由于樣本點(diǎn)是在隨機(jī)試驗(yàn)中產(chǎn)生的，其出現(xiàn)具有隨機(jī)性，相應(yīng)的，刻畫樣本點(diǎn)的數(shù)值稱為隨機(jī)變量. 如果該隨機(jī)變量可以一一列舉出來，即為離散型隨機(jī)變量. 顯然，隨機(jī)變量的本質(zhì)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，與函數(shù)相同，都是映射.

2. 怎樣建立隨機(jī)變量？

建立隨機(jī)變量的關(guān)鍵是：找到樣本點(diǎn)與隨機(jī)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系和對(duì)應(yīng)規(guī)則.

在現(xiàn)實(shí)中，有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是數(shù)值形式，而我們研究的問題（關(guān)心的問題）與這些數(shù)值有一定的聯(lián)系，有些結(jié)果不以數(shù)值的形式出現(xiàn)，甚至根本不具備數(shù)字特征，這時(shí)我們可以根據(jù)問題研究的需要，通過建立一定的對(duì)應(yīng)規(guī)則，把試驗(yàn)的結(jié)果用數(shù)值表示出來.

這里需要特別強(qiáng)調(diào)的是，雖然有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是數(shù)值的形式，但隨機(jī)變量并不一定都是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果本身數(shù)值的直接顯現(xiàn)（之后通過具體案例進(jìn)行分析），而只是與隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

隨機(jī)變量涉及隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是在分析隨機(jī)試驗(yàn)中逐步抽象出來的. 在高中階段，我們主要研究的是離散型隨機(jī)變量.

3. 為什么要通過樣本空間、樣本點(diǎn)研究隨機(jī)變量？

人教A版新教材引入了樣本空間，把隨機(jī)事件看成樣本空間的子集，用集合的語言或工具研究概率問題. 樣本空間和樣本點(diǎn)使得事件明確具體，描述概率問題簡練準(zhǔn)確. 同時(shí)，類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，能夠更好地揭示隨機(jī)變量的本質(zhì)，理解事件的關(guān)系與運(yùn)算.

樣本空間和樣本點(diǎn)有利于分析和研究隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件. 第一，通過樣本空間和樣本點(diǎn)研究隨機(jī)現(xiàn)象及其數(shù)量規(guī)律是概率論的基本方法，研究隨機(jī)變量也不例外. 第二，通過樣本空間研究每一個(gè)樣本點(diǎn)的數(shù)量指標(biāo)能夠凸顯樣本空間中隨機(jī)變量的整體特征，便于全面把握所研究的問題. 第三，研究隨機(jī)變量是研究整個(gè)樣本空間中我們所“關(guān)心”的、“感興趣”的隨機(jī)事件的數(shù)值. 一般而言，同一樣本空間，不同的角度和不同的問題研究方向，樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量不一定相同.

分析樣本空間時(shí)，要分析樣本空間中樣本點(diǎn)的組成，但不一定要把每一個(gè)樣本點(diǎn)一一舉列出來. 例如，一個(gè)學(xué)生練習(xí)投籃，每一次投籃都有“投中”“投不中”兩種可能，求10次投籃中投中的次數(shù)X的值. 顯然，樣本點(diǎn)是10次投籃“投中”或“投不中”的情形，共有210種可能，即樣本空間有210（即1024）個(gè)樣本點(diǎn)，如（中，中，中，不中，不中，中，中，中，不中，中）（注：括號(hào)內(nèi)的“中”與“不中”分別代表10次投籃中每一次投籃的結(jié)果是“中”還是“不中”，是有序的）就是其中的一個(gè)樣本點(diǎn).顯然，投籃10次，一次都沒有投中的只有一種情形，即樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是C=1（該樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量X=0）；投籃10次，只有1次投中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是C=10（這10個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量X=1）；投籃10次，有2次投中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是C=45（這45個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量X=2）……

當(dāng)然，在實(shí)際問題中，要把樣本空間中的樣本點(diǎn)一一列舉出來有時(shí)是很麻煩的，也不需要，但隨機(jī)變量的取值反而容易被觀察或測量［1］. 另外，當(dāng)我們明確隨機(jī)變量的意義及可能取值后，就不再關(guān)注對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間了［2］，這也從另一個(gè)層面說明了兩個(gè)問題，一是隨機(jī)變量之于隨機(jī)試驗(yàn)的重要性，二是研究隨機(jī)變量要靈活地分析和運(yùn)用樣本空間.

4. 學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)變量所存在的問題

學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)變量存在四個(gè)方面的問題，一是對(duì)從隨機(jī)試驗(yàn)中抽象出來的隨機(jī)變量的不理解或?qū)﹄S機(jī)變量概念的理解出現(xiàn)了錯(cuò)誤. 例如，認(rèn)為隨機(jī)變量就是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果本身的數(shù)值；認(rèn)為不同的樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量不同；認(rèn)為一個(gè)樣本空間中的同一個(gè)樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量是固定不變的. 二是不習(xí)慣在樣本空間中思考問題，“直奔主題”分析隨機(jī)變量，往往容易疏漏，考慮不周.三是把樣本點(diǎn)向“數(shù)值”（隨機(jī)變量）轉(zhuǎn)化存在障礙，不理解隨機(jī)變量的取值與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果之間的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”“對(duì)應(yīng)法則”和“某種一致性”. 四是對(duì)樣本空間中，從隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）構(gòu)成的集合到實(shí)數(shù)集的映射的理解出現(xiàn)了錯(cuò)誤，如將其理解為函數(shù)或一一映射等.

基于問題導(dǎo)向的隨機(jī)變量概念教學(xué)

1. 案例分析，經(jīng)歷隨機(jī)變量的抽象過程

在具體的情境中，通過案例分析隨機(jī)變量的抽象過程，理解“事件”“變量”以及“事件”與“變量”的關(guān)系，掌握樣本空間中由樣本點(diǎn)分析隨機(jī)變量的方法.

分析案例時(shí)，以問題鏈進(jìn)行引導(dǎo)，主要回答“五個(gè)什么”.

（1）情境向我們描述了什么試驗(yàn)？（做什么？）

（2）試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）是什么？（是什么？）

（3）我們研究的問題（隨機(jī)事件）是什么？（研究什么或關(guān)注什么？）

（4）研究的隨機(jī)事件所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量是什么？（量化什么？）

（5）從樣本點(diǎn)得到隨機(jī)變量的法則是什么？（怎樣量化？）

案例1 某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練，靶上顯示不同區(qū)域的環(huán)數(shù)依次為2，4，6，8，10，若沒有擊中目標(biāo)或目標(biāo)上規(guī)定的區(qū)域，則規(guī)定為0環(huán). 求該運(yùn)動(dòng)員射擊一次命中的環(huán)數(shù)X可能的取值.

設(shè)計(jì)意圖 樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)具有數(shù)字特征，隨機(jī)變量即該數(shù)值.

分析 樣本空間為Ω=｛0，2，4，6， 8，10｝，隨機(jī)變量的可能取值為0，2， 4，6，8，10，隨機(jī)變量組成的集合為｛0， 2，4，6，8，10｝.

案例2 隨機(jī)投擲一顆骰子兩次，求以下情形中隨機(jī)變量可能的取值.

（1）點(diǎn)數(shù)之和X；（2）點(diǎn)數(shù)之積Y；（3）點(diǎn)數(shù)較大的骰子的數(shù)值Z：（4）點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值W.

設(shè)計(jì)意圖 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果具備數(shù)字特征，而研究的事件對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量與試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值有聯(lián)系，但不是數(shù)值結(jié)果的直接顯示. 同一樣本空間，可以研究不同的隨機(jī)事件.

分析 設(shè)第一次投擲的結(jié)果為a，第二次投擲的結(jié)果為b，則該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω=｛（a，b）

a，b=1，2，…，6｝，共36個(gè)樣本點(diǎn). 上述四個(gè)事件中，我們感興趣的（關(guān)心的、研究的）事件分別是：點(diǎn)數(shù)之和、點(diǎn)數(shù)之積、點(diǎn)數(shù)a，b中的較大值以及點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值. 要針對(duì)每一個(gè)感興趣的（關(guān)心的、研究的）事件，對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行逐一分析，同一個(gè)樣本點(diǎn)，在不同的事件中，其對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量不一定相同.

第（1）問，隨機(jī)變量X與試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值的關(guān)系是X=a+b，X的可能取值為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11個(gè)值；第（2）問，隨機(jī)變量Y與試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值的關(guān)系是X=a·b，Y的可能取值為1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15， 16，18，20，24，25，30，36，共18個(gè)值；第（3）問，隨機(jī)變量Z是每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（a，b）中的a，b兩數(shù)的較大值，Z的可能取值為1，2，3，4，5，6，共6個(gè)值；第（4）問，隨機(jī)變量W與試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值的關(guān)系是W=a-b，W的可能取值為0，1，2， 3，4，5，共6個(gè)值.

從上述分析可以看出，在隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間中，無論你感興趣的事件是什么，對(duì)于樣本空間Ω中的每一個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一實(shí)數(shù)X（或Y或Z或W）與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)實(shí)數(shù)X（或Y或Z或W）即隨機(jī)變量.

案例3 （1）隨機(jī)拋擲一枚硬幣一次，用隨機(jī)變量表示哪一面朝上.

（2）隨機(jī)拋擲一枚硬幣三次，記正面朝上的次數(shù)為X，求X可能的取值.

設(shè)計(jì)意圖 （1）試驗(yàn)的結(jié)果不含數(shù)值，研究隨機(jī)變量時(shí)賦予數(shù)值.

（2）試驗(yàn)的結(jié)果不含數(shù)值，隨機(jī)變量自然而然地顯現(xiàn)數(shù)值.

分析 （1）樣本空間Ω=｛正，反｝，含2個(gè)樣本點(diǎn). 樣本點(diǎn)本身不含數(shù)值，但可以用實(shí)數(shù)把樣本點(diǎn)表示出來. 如正面朝上用實(shí)數(shù)0表示，反面朝上用實(shí)數(shù)1表示，則隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的集合為｛0，1｝.

（2）樣本空間Ω=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）｝，含8個(gè)樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)本身不含數(shù)值，而研究的事件（正面朝上的次數(shù)）含數(shù)值，樣本空間中每一個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的取值為3，2，2，2，1，1，1，0，隨機(jī)變量組成的集合為｛0，1，2，3｝.

案例4 倉庫里放有五件產(chǎn)品，其中含有兩件次品（用1，2表示），三件正品（用3，4，5表示），現(xiàn)從中任抽兩件（不放回抽樣），求抽到的兩件產(chǎn)品中次品的件數(shù)X.

設(shè)計(jì)意圖 試驗(yàn)的結(jié)果本身含有數(shù)值，但我們并不關(guān)心抽到的是哪一件產(chǎn)品（哪一個(gè)數(shù)值），感興趣（關(guān)心的、研究的）的只是試驗(yàn)的結(jié)果（抽到的兩件產(chǎn)品中次品的件數(shù)），這個(gè)“次品的件數(shù)”不是試驗(yàn)結(jié)果本身“數(shù)值”的“直接”反映.

分析 隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω=｛（i，j）

1≤i<j≤5，i，j∈N*｝，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，隨機(jī)變量X組成的集合為｛0，1，2｝.

2. 問題引導(dǎo)，把握隨機(jī)變量的抽象方法

對(duì)上述案例隨機(jī)變量的抽象過程進(jìn)行總結(jié)，同樣以問題鏈引導(dǎo)學(xué)生思考.

第一，我們是怎樣抽象隨機(jī)變量的？

（1）關(guān)鍵是分析隨機(jī)變量的什么？（分析樣本空間、樣本點(diǎn)）

（2）樣本空間的構(gòu)成“元素”代表什么？（隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果）

（3）同一隨機(jī)試驗(yàn)，同一樣本空間，隨機(jī)變量的取值取決于什么？（研究問題的角度即我們研究的、關(guān)心的、感興趣的隨機(jī)事件）

（4）同一個(gè)樣點(diǎn)在不同的事件中，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量相同嗎？（不一定）

（5）隨機(jī)變量是否為試驗(yàn)結(jié)果本身的數(shù)值？（不一定）

（6）一個(gè)樣本點(diǎn)，可以有兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量嗎？假如一次隨機(jī)試驗(yàn)是投擲兩次骰子，隨機(jī)變量是兩個(gè)嗎？（根據(jù)具體的研究事件確定，“一維”隨機(jī)變量一般是一個(gè)數(shù)值，一個(gè)樣本點(diǎn)只對(duì)應(yīng)一個(gè)隨機(jī)變量，本節(jié)課中的離散型隨機(jī)變量只涉及“一維”，但新課標(biāo)高中選修課程A類涉及“二維”隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布）

（7）樣本點(diǎn)不同，隨機(jī)變量不同嗎？（不一定，可以相同）

（8）樣本點(diǎn)與隨機(jī)變量的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？（是映射關(guān)系，不一定是函數(shù)關(guān)系）

（9）怎樣由樣本點(diǎn)求隨機(jī)變量？（尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系、對(duì)應(yīng)法則）

（10）隨機(jī)變量建立的過程是什么？（隨機(jī)試驗(yàn)→樣本點(diǎn)、樣本空間→我們感興趣的〈關(guān)心的、研究的〉隨機(jī)事件中每一個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)→隨機(jī)事件與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的關(guān)系→隨機(jī)變量的取值集合）

第二，基于上述分析，你得到的啟示是什么？

教師設(shè)置問題，加強(qiáng)知識(shí)鞏固.

（1）隨機(jī)變量的取值依賴于什么？（樣本點(diǎn)）

（2）在具體研究的隨機(jī)事件中，每一個(gè)樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量是否具有隨機(jī)性？（研究的事件一定，隨機(jī)變量的取值就是明確的、確定的）

（3）隨機(jī)變量的取值集合與樣本空間是什么關(guān)系？（隨機(jī)變量是樣本空間中樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)集中實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)，一個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)唯一的實(shí)數(shù)，不同樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)可能不同，也可能相同）

3. 運(yùn)用類比，凸顯隨機(jī)變量的函數(shù)思想

教學(xué)中要滲透樣本點(diǎn)與隨機(jī)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，滲透函數(shù)思想.

第一，類比函數(shù)理解樣本點(diǎn)與隨機(jī)變量之間的關(guān)系. （1）任意一個(gè)樣本點(diǎn)，都有唯一一個(gè)反映隨機(jī)事件的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系與函數(shù)概念類似，“隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的集合相當(dāng)于定義域，隨機(jī)變量的取值構(gòu)成的集合相當(dāng)于值域”“通過對(duì)應(yīng)法則實(shí)現(xiàn)兩者之間的聯(lián)系”［2］. 因?yàn)闃颖究臻gΩ中的元素（樣本點(diǎn)）不一定是數(shù)，所以Ω不一定是數(shù)集，因此這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系不一定是函數(shù)，而是一個(gè)映射. （2）由樣本點(diǎn)求隨機(jī)變量或由隨機(jī)變量求樣本點(diǎn)與函數(shù)中由自變量求函數(shù)值或由函數(shù)值求自變量類似. 理解樣本點(diǎn)與隨機(jī)變量之間的關(guān)系時(shí)，要進(jìn)行隨機(jī)變量與樣本點(diǎn)之間正反兩個(gè)方向的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，尤其由隨機(jī)變量求樣本點(diǎn)（事件）能夠使學(xué)生深刻領(lǐng)悟隨機(jī)變量的含義，體悟樣本點(diǎn)與隨機(jī)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

如案例4中，（1）由樣本點(diǎn)求隨機(jī)變量：如樣本點(diǎn)（1，5），（1，2），（2，3），（3，5）對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量X的取值分別為1，2，1，0. （2）由隨機(jī)變量求樣本點(diǎn)：事件“沒有抽到次品”（X=0）是樣本空間的一個(gè)子集A，由隨機(jī)變量X的含義可知，A=｛ω

X（ω）=0｝=｛（3，4），（3，5），（4，5）｝；事件“0<X≤2”表示“抽到了次品”，其樣本點(diǎn)為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），共7個(gè).

第二，建立隨機(jī)變量的概念后，又可以用隨機(jī)變量（如X）的表達(dá)式（如aX+b）來表示其他的隨機(jī)事件［2］，進(jìn)一步地，可用類比函數(shù)的方法來表示離散型隨機(jī)變量的分布列，可以計(jì)算隨機(jī)變量的數(shù)字特征（如均值、方差），也可以按照隨機(jī)變量的類型，建立各種概率分布模型.

4. 模型運(yùn)用，典型分布的隨機(jī)變量分析

從單元和整體視角考慮，兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、幾何分布（隨機(jī)變量無限個(gè)，可以用作隨機(jī)變量分析）是本章（隨機(jī)變量及其分布）中比較重要的概率分布模型，為了強(qiáng)化隨機(jī)變量概念的抽象和建立，學(xué)習(xí)可以提前介入. 事實(shí)上，隨機(jī)變量分析好了，分布列自然能夠得出，理解隨機(jī)變量是分析分布列的基礎(chǔ).

二項(xiàng)分布、超幾何分布等非常重要，其隨機(jī)變量的分析可以放在隨機(jī)變量概念抽象時(shí)進(jìn)行，讓學(xué)生經(jīng)歷隨機(jī)試驗(yàn)的特征和隨機(jī)變量的取值的抽象概括過程.

案例5 （1）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，求正面朝上的次數(shù)X的取值集合.

（2）某婦產(chǎn)醫(yī)院一天出生了8個(gè)嬰兒，女嬰的個(gè)數(shù)X的取值有哪些？

（3）某校有1000名學(xué)生購買“人身意外傷害保險(xiǎn)”（保險(xiǎn)期限一年），請(qǐng)分析保險(xiǎn)期限內(nèi)獲得賠償?shù)娜藬?shù)X的可能取值.

問題：（1）上述試驗(yàn)的特征是什么？（n重伯努利試驗(yàn)：同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立）

（2）每一次試驗(yàn)有幾個(gè)可能的結(jié)果？（2個(gè)）

（3）上述試驗(yàn)分別研究什么事件？（正面朝上的次數(shù)X的可能取值、女嬰的個(gè)數(shù)X的可能取值和獲得賠償?shù)娜藬?shù)X的可能取值）

（4）上述試驗(yàn)的隨機(jī)變量的取值情況怎樣？（共（n+1）個(gè)結(jié)果，可能取值為0，1，2，…，n）

n重伯努利試驗(yàn)（每一次事件A發(fā)生的概率是p）的樣本空間有2n個(gè)樣本點(diǎn)，但我們關(guān)注的是事件A發(fā)生的次數(shù)X，X的可能取值為0，1，2，…，n，共（n+1）個(gè). 學(xué)生分析時(shí)存在兩個(gè)方面的障礙：一是對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)和概率的含義的理解有誤，認(rèn)為在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率是固定的，為np；二是過于依賴樣本點(diǎn)，囿于樣本空間中的樣本點(diǎn)較多，學(xué)生抓不住隨機(jī)試驗(yàn)所反映的隨機(jī)變量的本質(zhì)，不理解隨機(jī)變量X的含義，逐一分析樣本點(diǎn)，望而卻步. 提前引出n重伯努利試驗(yàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜情境中分析隨機(jī)變量的能力.

研究超幾何分布和幾何分布對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量時(shí)，教材安排了一個(gè)探究活動(dòng)，目的是通過對(duì)比問題情境，分析隨機(jī)變量. 筆者稍微改變一下表述方式，突出隨機(jī)變量的抽象過程.

試驗(yàn)1 從100個(gè)電子元件（含3個(gè)以上次品）中隨機(jī)抽取3個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，求抽取的元件中的次品數(shù)X的取值.

問題：（1）什么試驗(yàn)？（2）抽樣時(shí)有無放回？（3）隨機(jī)變量X代表什么？（4）X的取值有哪些？

N件產(chǎn)品中含有M件次品，從中不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品（n≤M，n≤N-M），X表示抽取的次品數(shù)，其可能取值為0，1，2，…，n. （引導(dǎo)學(xué)生將其與n重伯努利試驗(yàn)中的隨機(jī)變量進(jìn)行比較）

試驗(yàn)2 拋擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面朝上，求拋擲次數(shù)Y的可能取值.

問題：（1）想象試驗(yàn)的情境，你能夠知道拋擲的次數(shù)嗎？最少需要幾次？（2）隨機(jī)變量Y的可能取值有哪些？

在幾何分布中，隨機(jī)變量Y的取值是無限的，為1，2，…，n，….

問題引導(dǎo)比較：上述兩個(gè)試驗(yàn)中，樣本點(diǎn)、樣本空間分別是什么？樣本點(diǎn)與隨機(jī)變量是如何對(duì)應(yīng)的？

在現(xiàn)實(shí)生活中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果量化成離散型隨機(jī)變量的例子有很多，要盡可能地讓學(xué)生去接觸，促使其充分理解樣本點(diǎn)與隨機(jī)變量之間的關(guān)系.

<D：＼DW＼數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（下旬）＼2023年＼2023年中等教育下旬8期＼aa-2.tif> 結(jié)束語

隨機(jī)變量建立后，樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)隨機(jī)變量，我們可以運(yùn)用隨機(jī)變量研究隨機(jī)事件，使問題變得簡單明了，實(shí)現(xiàn)概率問題數(shù)學(xué)化，之后學(xué)習(xí)分布列及隨機(jī)變量的數(shù)字特征就會(huì)變得輕松高效.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 郭明樂，黃旭東. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］. 合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2011.

［2］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書教師教學(xué)用書·數(shù)學(xué)（選擇性必修第三冊(cè)A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.