夏咪咪

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的根基，是問題解決的抓手，是思維培育的基石. APOS理論通過四個階段，即活動（A）、過程（P）、對象（O）、圖式（S）來指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，強調(diào)學(xué)生的積極主動性，是一種符合“學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理論. 文章基于APOS理論的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，結(jié)合初中“一次函數(shù)”的概念教學(xué)案例來進行分析，旨在提高數(shù)學(xué)概念教與學(xué)的效率.

［關(guān)鍵詞］ APOS理論；一次函數(shù)；數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生進行一切數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)（特別是“雙基”教學(xué)）的核心內(nèi)容，其重要性不言而喻. 李邦河教授認(rèn)為，從根本上看，數(shù)學(xué)是玩概念的，而不是技巧. 所以從某種意義上來說，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念掌握的深刻程度決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成效. 因此，對初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)進行探究必然會促進初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高，以及學(xué)生數(shù)學(xué)知識的內(nèi)化和再生長.

問題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出，“教學(xué)過程是一種動態(tài)的、發(fā)展的、富有個性化的創(chuàng)造過程［1］”，這就要求在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，教師要以學(xué)生為主體，關(guān)注核心素養(yǎng)的培育以及數(shù)學(xué)思維的啟發(fā). 但在當(dāng)前初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，教師仍存在教育理念落后、教學(xué)模式固化、課標(biāo)理解不深刻等問題，導(dǎo)致教學(xué)趨向于直接講解數(shù)學(xué)概念，然后側(cè)重于題目應(yīng)用. 在研習(xí)的過程中，筆者常常聽到學(xué)生抱怨：“數(shù)學(xué)是沒有道理的，就是把概念、公式記住，然后會用就行. ”在批改作業(yè)時，筆者常常聽到教師抱怨：“在課堂上我重點強調(diào)過這些概念的區(qū)別，但學(xué)生就是記不清楚，一做作業(yè)就錯. ”這說明機械地記憶數(shù)學(xué)概念、重復(fù)地練習(xí)運用，效果并不是很好. 因為學(xué)生既沒有將教師所講的知識內(nèi)化到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，又沒有深刻領(lǐng)會到數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).

基于上述問題，作為教師，我們必須要在數(shù)學(xué)概念課中打破“師講生聽”“機械記憶”“題海訓(xùn)練”等傳統(tǒng)模式，積極引導(dǎo)學(xué)生參與到數(shù)學(xué)概念課中，讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)課堂的主人.

基于APOS理論的初中數(shù)學(xué)

概念教學(xué)模式

20世紀(jì)八九十年代，美國教育家杜賓斯基等人提出了一種數(shù)學(xué)概念教學(xué)理論——APOS理論. 該理論主要闡述了理解概念的四個過程：A，P，O，S，最終達(dá)到把握概念本質(zhì)的目的. 具體來說，活動階段（action）是指通過操作活動讓學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的直觀感受聯(lián)系起來；過程階段（processes）是指學(xué)生在沒有具體操作的情況下，對所學(xué)事物特征的認(rèn)知和內(nèi)化；對象階段（objects）是指將心理活動壓縮為一個單獨的對象，并能參與到新的思維活動中；圖式階段（schemas）是指構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)化框架，學(xué)生基于這個綜合的知識框架能夠解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.

基于APOS理論的教學(xué)模式，從外部條件來看，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)與之相關(guān)的數(shù)學(xué)情境活動，并提供相應(yīng)的“先行組織者材料”；學(xué)生基于之前的操作活動和已有的數(shù)學(xué)知識，將所學(xué)概念的內(nèi)涵進行拓展衍生；在概念內(nèi)涵拓展的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生進行概念類比，從而明晰新概念的特點；最后將新概念同化，擴散形成新概念的認(rèn)知圖式（具體操作流程如圖1所示）. APOS理論指導(dǎo)下的初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)模式是以已有數(shù)學(xué)概念為中心，不斷進行拓展，從縱向上看，加深了對原有概念的理解；從橫向上看，擴充了原有概念的體系框架.

基于APOS理論的教學(xué)模式，提倡學(xué)生通過活動、合作、探究等方式來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，與建構(gòu)主義的觀點基本吻合. APOS理論通過引導(dǎo)學(xué)生參與，可以在數(shù)學(xué)概念教學(xué)前提高學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的興趣，可以在教學(xué)過程中實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)在動力的激發(fā)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情. 綜上所述，APOS理論符合學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的規(guī)律，注重將數(shù)學(xué)概念的教學(xué)視為完整的系統(tǒng)，對初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)有著極強的適用性.

基于APOS理論的“一次函數(shù)”概念教學(xué)探究

APOS教學(xué)理論，實際上就是使學(xué)生數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不是機械地復(fù)制知識，而是動態(tài)地形成“獨特的”知識體系. 教師在教學(xué)過程中可引導(dǎo)學(xué)生在問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念；在分析討論中拓展概念的生成過程；在解決典型例題中深度理解數(shù)學(xué)概念；最后借助思維導(dǎo)圖來擴散數(shù)學(xué)概念體系. 基于這四種教學(xué)策略的指導(dǎo)，學(xué)生才能成為學(xué)習(xí)的主人，才能讓學(xué)習(xí)過程中所掌握的數(shù)學(xué)概念富有生命力.

1. 活動階段：以問題情境為依托，生動發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念

著名教育學(xué)家布魯納說過：“學(xué)習(xí)的過程是生動發(fā)展的，對所學(xué)事物有興趣才能最大限度地刺激學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力. ［2］”在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中合理運用問題情境，一方面能使學(xué)生在充滿生活樂趣的氛圍中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念，從而樂于學(xué)習(xí)；另一方面生活經(jīng)歷能不斷強化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，使得所學(xué)概念是“活”的. 此外，經(jīng)過典型的問題情境活動，學(xué)生會善于分析數(shù)據(jù)，會在大腦中進行邏輯推理，從而促進數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

以“一次函數(shù)”這一概念的教學(xué)為例，教師在教授新概念之前，可以創(chuàng)設(shè)一個與“一次函數(shù)”相關(guān)的典型問題情境，為學(xué)生的思考和探索留出空間，讓學(xué)生進入新概念的學(xué)習(xí)狀態(tài).

活動1 你能寫出下列問題中的函數(shù)關(guān)系式嗎？

（1）圓的周長C與半徑r的函數(shù)關(guān)系式是______；

（2）大潤發(fā)超市每斤香蕉10元，銷售額y（單位：元）與售出斤數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式是______；

（3）張老師帶了500元錢去大潤發(fā)超市買文具盒，每個文具盒15元. 張老師買了n個文具盒，則剩余金額Q（單位：元）與文具盒個數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系式是______；

（4）張老師的手機話費由固定月租費和通話費兩部分組成，固定月租費48元/月，每分鐘通話費0.3元，則張老師每個月的總話費S（單位：元）與每個月的通話時間t（單位：min）之間的函數(shù)關(guān)系式是______.

目的 創(chuàng)設(shè)的情境學(xué)生都很熟悉，比如小學(xué)所學(xué)的圓的周長問題、生活購物問題、話費問題等，這些典型問題情境的引入，可以讓學(xué)生快速抓住“一次函數(shù)”概念的本質(zhì)特征，從而加強學(xué)生對“一次函數(shù)”概念的認(rèn)識與理解. 另外，這些問題情境對學(xué)生的具體實踐應(yīng)用以及新課的教授也有促進作用.

2. 過程階段：以分析探討為抓手，拓展概念生成過程

在拓展概念生成的過程中，教師要以分析探究為抓手，讓學(xué)生在放松而開放的氛圍下學(xué)習(xí)，這樣教學(xué)效果反而會事半功倍. 在此過程中，為了避免學(xué)生漫無目的地交流、討論，教師需要提供相應(yīng)的提綱并進行引導(dǎo).

活動2 填寫表格.

目的 通過表格，學(xué)生可以直觀地感受到各表達(dá)式自變量、自變量的系數(shù)，以及自變量的次數(shù)之間的關(guān)系. 接著教師可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出“一次函數(shù)”的概念，即一般地，形如y=kx+b（k，b都是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，稱為一次函數(shù)，其中k叫比例系數(shù)，b叫常數(shù)項. 特別地，當(dāng)b=0時，一次函數(shù)y=kx+b就變成y=kx（k為常數(shù)，k≠0），這叫正比例函數(shù)，其中k叫比例系數(shù)［3］.

鞏固概念：下列函數(shù)，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？假如是一次函數(shù)，比例系數(shù)k和常數(shù)項b的值各是多少？

（1）y=9x；（2）y=6x2-3x；（3）y= -3x+7；（4）t=２００/v；（5）y=（1-x）/2.

分析：教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)向一次函數(shù)過渡，從一次函數(shù)向正比例函數(shù)過渡，幫助學(xué)生運用類比思想進行知識遷移，從而拓展數(shù)學(xué)概念的生成過程. 此外，概念生成過程中的分析討論有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，能發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性.

3. 對象階段：以典型例題為導(dǎo)向，深度理解數(shù)學(xué)概念

在學(xué)生通過探究、遷移，初步了解“一次函數(shù)”的概念后，教師要為學(xué)生設(shè)置典型例題，使學(xué)生主動習(xí)得從概念定義延伸出的其他公式、定理等新知識，最終促進學(xué)生系統(tǒng)地、深度地理解數(shù)學(xué)概念［4］. 典型習(xí)題，一方面可以幫助學(xué)生在了解概念的基礎(chǔ)上明晰概念的抽象性質(zhì)，能促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展；另一方面，可以幫助學(xué)生在明晰概念抽象性質(zhì)的基礎(chǔ)上深入理解概念的應(yīng)用，從而實現(xiàn)“個性的”學(xué)習(xí)過程.

活動3? 已知函數(shù)y=xk+1+1是一次函數(shù)，求k的值.

該題的設(shè)置并不復(fù)雜，學(xué)生之前已經(jīng)了解了一次函數(shù)的定義，所以x的次數(shù)是1，即k+1=1，解得k=0.

變式1 已知函數(shù)y=（k+1）x+k2-1是正比例函數(shù)，求k的值.

變式3 已知y-3與x成正比例，并且當(dāng)x=4時，y=7，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

該題的難度在于要把y-3看成一個整體變量. 因為y-3與x成正比例，所以設(shè)y-3=kx. 因為當(dāng)x=4時，y=7，所以7-3=4k，解得k=1，即y-3=x，所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=x+3. 求解此題為待定系數(shù)法的教學(xué)做了鋪墊.

目的? 在學(xué)習(xí)完“一次函數(shù)”定義的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生對“一次函數(shù)”典型例題及其變式進行探究，這既促進了學(xué)生對“一次函數(shù)”概念的深度理解，又培養(yǎng)了學(xué)生的逆向思維能力.

4. 圖式階段：以思維導(dǎo)圖為工具，拓寬數(shù)學(xué)概念體系

思維導(dǎo)圖是一種表征知識的工具，它可以清晰地展示概念之間的聯(lián)系，能幫助學(xué)生厘清當(dāng)前所學(xué)概念的相關(guān)內(nèi)容以及新舊概念之間的關(guān)系，使學(xué)生牢固地掌握數(shù)學(xué)概念，生成并完善個性化的數(shù)學(xué)概念體系. 比如學(xué)生學(xué)完“一次函數(shù)”概念和“正比例函數(shù)”概念的相關(guān)內(nèi)容之后，可能會對兩者之間的關(guān)系產(chǎn)生混亂，此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過制作思維導(dǎo)圖來明晰它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，從而達(dá)到熟練掌握的目的. 如圖2所示，學(xué)生通過制作數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖，一方面可以檢測數(shù)學(xué)知識的掌握程度，從而提高數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)效率；另一方面可以通過整理相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，形成“系統(tǒng)化的”“個性化的”數(shù)學(xué)概念體系.

活動4 寫出下列各題中x與y之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷y是否為x的一次函數(shù)，是否為x的正比例函數(shù).

（1）開心農(nóng)場種植大豆，每平方米種大豆6棵，請寫出大豆棵數(shù)y與種植面積x（單位：m2）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）請寫出正方形的面積y與周長x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）已知等腰三角形ABC的底邊BC的長為y（單位：cm），腰AB的長為x（單位：cm），周長為18 cm，請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

目的 該例題同樣來源于生活，能讓學(xué)生再次形成函數(shù)概念是對生活問題的抽象這一意識，同時有助于學(xué)生明晰一次函數(shù)和正比例函數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系.

結(jié)語

APOS教學(xué)理論對初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有十分重要的促進作用，本文以其為理論基礎(chǔ)，結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，從發(fā)現(xiàn)概念、拓展生成、深度理解、形成體系這四個方面逐層遞進地對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)措施進行闡述，并以“一次函數(shù)”的概念教學(xué)為例進行輔助說明，凸顯了APOS理論對初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實用價值，旨在促進學(xué)生全面發(fā)展. 當(dāng)然，教學(xué)是一個長期的過程，如何提高初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實效性還需要一線教師繼續(xù)探索.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］陳大洋. APOS理論視角下的初中代數(shù)式概念教學(xué)［D］. 華中師范大學(xué)，2019.

［3］賀凌云. APOS理論指導(dǎo)下的中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計探究［D］. 上海師范大學(xué)，2012.

［4］鄧芳，劉成龍. 基于APOS理論的對數(shù)概念教學(xué)設(shè)計［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（21）：9-10+13.