摘 要：推理能力的發(fā)展應該貫穿于整個數(shù)學學習過程。文章以“兩位數(shù)退位減法”一課為例，從大膽猜想，推理驗證；利用直觀，啟發(fā)說理；適當開展推理訓練；培養(yǎng)良好的思維習慣四個方面闡述了如何在計算教學中提高小學生的推理能力。

關鍵詞：計算教學；推理能力；退位減法

作者簡介：胡艷艷（1988—），女，浙江省杭州市臨平區(qū)天長世紀小學。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)方面提出了“三會”的概念，其中之一就是“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”。數(shù)學為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實世界的思考方式，而數(shù)學思維在小學階段主要體現(xiàn)在運算能力、推理意識或者推理能力上。課標還明確指出，讓學生通過運算發(fā)展數(shù)學推理能力。由此可見，推理能力的發(fā)展在數(shù)學學習過程中十分重要。因此，教師在平時的教學中應注意有意識地培養(yǎng)學生的推理能力，幫助他們養(yǎng)成良好的思維習慣。

數(shù)與代數(shù)是義務教育階段學生數(shù)學學習的重要領域［1］，“兩位數(shù)退位減法”是人教版小學數(shù)學二年級上冊的內容。在此之前，學生已經掌握了兩位數(shù)加法和兩位數(shù)不退位減法的筆算方法，明確了筆算的算理。但小學二年級學生還處在以具體形象思維為主的階段，且課堂專注時間不長，所以教師在教學時應利用多媒體課件化抽象為具體，進行生動直觀的教學活動，以調動學生的學習積極性。下面筆者將以“兩位數(shù)退位減法”一課為例，探討如何在計算教學中培養(yǎng)學生的推理能力。

一、大膽猜想，推理驗證

波利亞在《數(shù)學與猜想》一書中提出，猜想是合情推理最普遍、最重要的思維方式，不完全歸納和類比都是得出猜想的途徑，是得出猜想的前提方法［2］。教師在日常教學中應鼓勵學生仔細觀察，大膽猜想結果，并引導學生推理驗證結果的正確性。例如，在教學兩位數(shù)退位減法的知識時，筆者先引導學生自己嘗試列式計算，課堂實錄如下。

師：同學們，我們已經學習了不退位減法的筆算方法，大家能試著列出運用退位減法計算“51-36”的豎式嗎？

生1： 生2：

師：我們一起來看一看這兩位同學列的豎式，大家有什么想說的？

生3：第二個同學算錯了。

師：哪里錯了？

生4：得數(shù)算錯了。

師：是的，我們一起來看一下，51-36，個位上應該是1減6，但是1減6不夠減，我們該怎么辦？

生5：向十位借1，個位上變成11減6。

師：是的，個位不夠減時，要向十位借1。我們借位時，怎么做標記呢？

生6：在十位上寫個“-1”。

師：你的想法非常有創(chuàng)意，但是這樣容易跟我們之前學的“進位1”混淆，而且“-”比較容易漏看。所以為了跟“進位1”有所區(qū)分，我們可在十位上打個“借條”，就是在十位的數(shù)字上點一個小圓點，它的名字叫作退位點。十位上退下來的1，在個位就變成了10，加上原來個位上的1，現(xiàn)在個位就變成11了，11減6等于5（師一邊講解一邊課件演示小棒圖）。個位算好了，那十位呢？

生：十位被借走了1，現(xiàn)在還剩下4，4減3等于1。

學生從已有的知識經驗出發(fā)，根據之前掌握的兩位數(shù)加法豎式和兩位數(shù)不退位減法豎式的格式，類比推理出退位減法該如何列式，再將兩位數(shù)減一位數(shù)的計算思路直接遷移到兩位數(shù)退位減法的筆算中，從而合情推理出“退位1”的觀點。在這樣的學習活動中，學生對舊知進行回顧，對新知進行大膽的猜想與推理，自主探究出了解決兩位數(shù)退位減法的方法，不僅推理能力得到發(fā)展，而且學好數(shù)學的信心也有所增強。

二、利用直觀，啟發(fā)說理

教材在“兩位數(shù)退位減法”一課中，設計了“2008年北京奧運會金牌榜”的情境（如圖1）。從圖中的表格可知，美國代表團獲得36枚金牌，英國代表團獲得19枚金牌，學生需要算出美國比英國多多少枚金牌。這道例題為教學提供了實際情景，使低年級的學生能從具體情況出發(fā)解決問題，并讓學生體會到數(shù)學源于生活。

幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學知識，在整個數(shù)學學習過程中發(fā)揮著重要的作用。圖1左下的小棒圖直觀地呈現(xiàn)了運算“36-19”的過程，能有效降低學生學習的難度，幫助學生理解算理。中間框中的豎式將直觀的小棒圖抽象成了數(shù)字，能讓學生對照小棒圖，理清計算的思路，使學生在筆算時，清楚運算順序。當學生熟練掌握計算方法后，可以簡化寫成方框外的筆算形式。在考查學生是否真正明白“退位減法”豎式的計算原理時，教師可以請學生說一說筆算的算理。說理的過程，就是學生在腦中再進行一遍計算推理的過程。

［例題1］? 50-24=

通過教材例題的學習，學生能基本掌握兩位數(shù)退位減法的筆算方法。這時筆者出示例題1，引導學生思考當被減數(shù)個位是0時，該如何處理。學生思考后得出結論：從一般算式到特殊算式，兩位數(shù)退位減法的算理同樣適用。

［例題2］

在學生已經能對照豎式說清楚算理后，筆者進一步提高問題難度，出示一道有空格的豎式（例題2），讓學生根據現(xiàn)有數(shù)位上的數(shù)字，運用合情推理和演繹推理，推算方框里的數(shù)字。在解答這道題時，學生根據筆算的順序，從個位算起。個位上2-□=5，因為2比5小，學生推斷此式為退位運算，故轉換個位式子為12-□=5，得到方框中應填7；結合已有條件，再得到十位上的方框中應該填6。這樣的變式練習，不僅能讓學生更加清楚兩位數(shù)退位減法的算理，而且能使他們更加關注“退位點”，了解它在計算中的重要性。

三、適當開展推理訓練

在一年級的數(shù)學學習過程中，教材已經逐步滲透推理的思想。如一年級下冊《找規(guī)律》中，要求學生根據圖形的排列規(guī)律，寫出下一個圖形或者一組圖形等?？梢?，推理是一種重要的數(shù)學思維方式。推理能力的形成和提高是一個長期的、循序漸進的過程［3］。在兩位數(shù)退位減法的練習中，筆者適時適量開展了推理訓練，以期提高學生的思維能力。課堂實錄如下。

［例題3］找規(guī)律，填數(shù)。

（1）29 38 47? ? 65? ? 83

（2）42? ? 28? ? ? ?7 0

師：這兩道題目同學們能做出來嗎？動腦筋思考一下它們各有什么規(guī)律，然后填一填。

生1：因為38-29=9，47-38=9，說明每個數(shù)都比其前一個數(shù)大9，那么47后面就應該是47+9=56，65后面是65+9=74，而74+9=83，說明填對了。

生2：第二組我們要先看最后面兩個數(shù)，7-0=7，說明每個數(shù)要比前一個數(shù)字少7，42-7=35，35-7=28，28-7=21，21-7=14，14-7=7。這樣就都對上了。

一年級時，學生已經接觸了20以內數(shù)的找規(guī)律，因此筆者編排了兩道題目，第一道涉及進位加法，第二道涉及退位減法，逐層遞加難度，但解題思路是一樣的。在找規(guī)律類型題中，學生可以通過自己的計算結果，反過來檢查自己的推理是否正確。

［例題4］如下圖（略），各題差的十位上是幾？

教材在練習三中編排了一道“求各題得數(shù)的十位上是幾”的題目，意在使學生根據個位上的數(shù)字，迅速地做出是否需要退位的判斷，繼而推理出十位上的數(shù)字。同時，學生體會到可以通過觀察算式的特點，利用掌握的算理知識，提高計算速度。

［例題5］將豎式補充完整。

筆者參考教材中“做一做”的練習內容，設計了拓展練習題，意在使學生能及時鞏固新知，掌握筆算的技巧。同時滲透驗算的思想方法，在學生做完題目后，引導他們通過“減數(shù)+差=被減數(shù)”的公式，來檢驗計算結果是否正確。

［例題6］在“□”里填上合適的數(shù)。

接著，筆者設計了提升題。課堂實錄如下。

師：請在空格中填上合適的數(shù)，并說一說你這樣填的理由。

生解式1：2減8不夠減，向十位借1當10，12-8等于4，故個位上的方框填4；十位上2+3=5，還要加上被借走的1，故填6。

生解式2：7-□=6，空格里填1，這里沒有發(fā)生退位情況，所以2+3=5，十位上的空格填5。

生解式3：4-□=8，這里肯定不是4，應該是

14，14-6=8，所以個位的空格填6；十位上7+1=8，8再加1等于9，空格里填9。

生解式4：這道題有多種答案，可以是75-31= 44，也可以是82-38=44。

師：還有別的答案嗎？

生1：78-34=44。

生2：80-36=44。

師：你們發(fā)現(xiàn)沒有？有些同學在做這題時，算式發(fā)生了退位，有些同學沒有考慮退位。所以，遇到這類題我們可以分兩種情況來討論，第一種情況是個位夠減，沒有發(fā)生退位；第二種情況是個位不夠減，發(fā)生了退位。誰能有序地將所有情況都寫出來？

生3：沒有發(fā)生退位的情況有74-30=44，75-31=44，76-32=44，77-33=44，78-34=44，79-35=44；如果發(fā)生退位，則有80-36=44，81-37=44， 82-38=44，83-39=44。

這組提升練習題意在讓學生通過適當?shù)耐评?，靈活運用算理，尋找答案。最后一小題是一道開放式的練習題，可以是退位減法，也可以是不退位減法，有多種可能性。筆者引導學生有序思考，盡可能地把所有情況寫出來。由于低年級學生的推理能力存在差異性［4］，通過一系列的分層練習，不同的學生都可以在推理能力方面得到良好的發(fā)展。

四、培養(yǎng)良好的思維習慣

在第一學段中，教師應注重培養(yǎng)學生的數(shù)學觀察能力、動手操作能力和提出簡單猜想的能力［5］。教師在教學過程中，應注意將數(shù)學問題與實際生活相聯(lián)系，將數(shù)形結合，使學生根據“看”的結果，經歷操作的過程，提出一些簡單的猜想。

發(fā)展小學生的推理能力，就要提高學生有理有據地進行數(shù)學表達的能力。對于推理能力，我們要求的不僅是內在的、隱性的思維過程，也要求將內隱的思維過程轉化為外在的、顯性的推理表達過程與結果［6］。

例如，在教學兩位數(shù)退位減法時，教師要注意用規(guī)范的、簡潔的語言進行算理的表述。筆者在講授教材例題的豎式時，先自己示范說理，然后讓學生同桌兩人互相說一說，再請個別學生站起來說一說，一定要在理解的基礎上引導學生說，這樣才能使其更好地內化知識。在進行之后的課堂練習時，教師也要提醒學生使用規(guī)范的數(shù)學語言進行說理。在說的過程中，學生能鞏固算理，教師也能了解學生的思維過程，從而及時地、科學地調整教學。

結語

綜上所述，在教學“兩位數(shù)退位減法”時，不論是大膽猜想，推理驗證；還是利用直觀，啟發(fā)說理；又或是適當?shù)亻_展推理訓練等，都是為了有效地創(chuàng)建學生推理能力發(fā)展的空間。學生的推理能力并不是一日形成的，需要教師在長期的教學過程中潛移默化地培養(yǎng)。教師在開展課堂教學時，應努力營造和構建有利于學生推理能力發(fā)展的教學環(huán)境，從而幫助學生形成理性精神［7］。

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